Димитриенко Ю.И. - Тензорное исчисление (1050322), страница 35

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 35)

.»}.E.507)(к)5.15.ОпределениескалярнойфункцииЭтотучетомчастичныйимееттензорE.508)ик-омупотензоровтензорномуар-тензор:жетотчторанг,E.89)определенияскалярнойдифференциалпроизводнойчастнойпследующийназываютаргументуТензоромотидифференциалафункцииСткТ^)-аргумент-тензорчастич-тензора,можновпредставитьвиде,E.92):аналогичномdkfДляслучаяmkhw=тензоров••••второго•rf(»*T(i))<""-1).E.509)(га*ранга2)=этаформулаимеетвид:dkfПолныйсобойfT{k)..dTjk),=дифференциалскалярнойот4f(TO*TA,. .т»т(п))Например,дляfc=lскалярнойслучаяфункциидвух(птензоров=E.511)2) вто-имеем:рангаВ)d/(T,Еслипроизводнойпредставляет=к=1второгоE.510)E.476)функциидифференциалов:частичныхсумму{1,2}.feeТтензоры/ти/видолжноВ-=симметричные,осуществляться/т•-<ЙГТ/в+то•-сШт.вычислениепоправиламE.512)произ-тензоровE.94)иE.96).Скалярные§ 5.9.функциинесколькихДифференцирование5.9.7.вJa/Очевидно,G,.совпадатьбудутсJaинвариантовПоэтому.такихвидакакой-либоком-содержитобычныхпроизводныхтолькоотинвари-п.5.9.4,вприведенныхТ и В.классов,тензоровВозможныдваинвариантов:/=(Т®В)..

.4Псовместныйквадратичный-E.513)ибПсовместный,кубический-G3группыотносительноДляТE.514)можно4Пи6П-гдеквадратичный/клинейной/=/в,рассмотримE.513)функциискалярныеВ:относительноB..ft,П*П-Т=иE.515)В:(В=В)0••4П4П,•E.118)правилаиспользуяквадратичныхиотноситель-производнойтогдасвестиТогда,индифферентныечастнойтензорафиксированный,какотносительнолинейныхE.514)тензоры.вычислениятензорибу-нихотпроизводныхпроизводныебазисовобоихкомпонентысодержаткоторыетензорытензорамивычислимфункциональныхизсовместныеотносительноинварианттотензора,E.475)/Висовместныйесличтосоответствующими/аинвариантовфункцииТтензороводноготолькокомпонентыдвух391инвариантовскалярнойкачестве=группыаргументовсовместныхРассмотриминвариантытензорныхфункций,бП=E.120)и•E.516)-Т.дифференцированияли-получаем:E.517)атакже^¦(ТВ®Еслисовместный/гдеА6П)<8> ВиСпринимает(в-Т)•-(С-В)(Т=симметричные-В®•E.517)инвариант(А=А=••-4П)=имеетВ)0тензоры•-24П<->•вида:структуру-второго-(А0E.517')-В.С)'1432»,торанга,E.518)E.517)формулавид:А((А•Т)•-(С•В))=i((А®С)<1432>+(А®С)<4132>)•-Т.E.519)Глава392Частные5.9.8.Применимбазисовправилаполученныесовместныхотвычислениядлячастныхтензоровбазисовфункциональныхинвариантовклассахразличныхвсимметрии.нетклассетриклинноминвариантов,компонентысодержащихтензоров.Вклассемоноклинном(в?+силуклассеортотропном^§±{Ог=ДляО!)0-Т=i(O2®О2)®E.520)Т•1=,(((ЕVu-дВ2el) 3J-инварианта:^-Т,-класса,1т(т)Для•\ ((ё>=аналогичныхдватетрагональногол±(О2=О2)0•-Т.E.521)имеем<g>ё*)<1432)Ъ)+((Еui-Кз-класса:j(K)В~ЯДляё§)D132))инвариант:Т.симметрииВсовместный-(ё§ •в))•т)'0такойодинесть^((ё?=НгаПвсовместныхфункциональныхпроизводныхобоихфункцииотпроизводныеинвариантовВТензорные5.1=2/(Л1"2(Ql®°i+°2®Ог)О2®-)OfcЛ-класса:д№1.О2)•-Т,•-Т.E.523)§5.9.Скалярныефункциинесколькихтензорныхаргументов393В-класса:ДлядТ{В)1^ов(О10О1(О0О=4(В)/Jf-класса:7Oftяг8-С.((T••.Oh)Oft••(T•Oft=В=дВ19Т^gДляE.525)4,квазиизотропного=1^^=-D3--T,овf Д--(g-=ДляdJ{B)О2®О2)Т,О®О)Т+-T2•T•и(T=(T-(T+(Я)гексагонального-О,,))•-О,,)•В-Oft)•-Oft)•ОП(А-•(T(T-•(T-Oh),•E.526)-Ofc),••Т-Oft)•(Oft•-B).(Тз)трансверсально-изотропногоклас-классов:/(Я)а^Для(A\=дВ1i2(Oi-(dOi00Oi+О2+O20O2)класса:изотропногоТ()9=TВ+ВТ,О2)®-eg•®-Т,e2))•T.E.527)Глава394Тензорные5.функцииУпражнения5.9.1.УпражнениеПоказать,базисфункциональныйчерезrn2 ,2J23~«'lУпражнение5.9.2.относительноэтогокласса:^11чтоиэтогоявляютсяскалярывыразитьj{O)j(OJчтоследующиеможноихбазисj(OJ="°13»",(O)^5^11иинвариан-функциональныйчерезj(O)Показать,Кз-кп&сс&,относительноследующиеможноихт(ОJ^105.9.З.инвариантамиJ12AM)j(OJУпражнениеAM)j(M)Показать,=j(MJj(M)13f(M)О-класса,12-(M)T^11J5выразитьМ-класса:Т(М)~,(M)можноскалярыследующиеТ(МJ^65.0.инвариантов^23'(M)^5инвариантамичтосовместных(МJJ>__§кявляютсяскалярывыразитьинвариан-базисфункциональныйчерезкласса:X2УпражнениеинвариантамиU_5.9.4.этогоПоказать,Л-класса,относительноr(KJчтоноихj(K)j(K)9следующиеможноj(K)являютсяскалярывыразитьJK)f(KJинвариан-базисфункциональныйчерезкласса:Лб=^1з{ВцУпражнениеинвариантамиJuПоказать,5-класса,чтоноих-623(^11=следующиеможно-являютсяскалярывыразить^22)+2J5i2jBi3.инвариан-базисфункциональныйчерезкласса:Лз=Вп+2?22+Упражнениеэтого^BuB23i—5.9.5.относительноэтогоинвариантамиВ22)—5.9.6.Показать,jFC-класса,относительноJ2Bi2чтоноих=ВхследующиеможноВ22)—цявляютсяскалярывыразить—инвариан-функциональныйчерезкласса:AQ)J15—-52^11+,52^22AQ)+,52_т(^)-^33»53,5352-^12^14__,53+,52^13+^23»,52базис§ 5.10.Тензорные§функции5.10.несколькихТензорныетензорныхфункциитензорныхОпределение5.10.1.Кроменесколькихи7зтензоровтТкак:механике,1..

П,=впT3(mi)xпроизведенияТ$на~аргументовГ3(Шп)хппространствотензорных..так-применяютаргументов.декартоваfeфункциейтензорнойобозначаютвтензорныхОтображение5.16.ОпределениепространствE.475)видафункциизываютаргументовфункцийскалярныхнесколькихфункциитензорныхтензорныетакже395аргументовтензорнойнесколькихаргументовТ3(ш)—Увидевилизависимости:VmSGT3(m),),kВкомпонентномЖ3пространстваПри=однойизпереходетакойфункциисистемыпоОпределение5.17.ТензорнуюфункциюTix, ,im-декартовойосямиG3)этойв?i1. .imгдеXхкоординатсистемезначе-E-531)•E.530)называютесливидин-функциинеE.532)Fil. .imt=хгХпдругуюгруппе:представлениекомпонентноевзакону:группыпреобразованияхвсехприE.530).,T('n'j"'m")относительноменяется.3*у*-)тензорному(T(V-,.

.Tqi. .qmиндифферентной.координатменяются. .J*7mР\простран-вид:^значенияR,-базисевнапример,имеютE.529)l. .n.=представлении,функциитакиеrafcTwGT3W,тензорнойX'1=сосями,функциисовпадающимивсанизотропии.ИзфункцииE.531)инесколькихC.45)следует,аргументовчтодлявыполняютсятензорнойиндифферентнойде-условия:E.532')Глава395Тензорные5.Псевдопотенциальные5.10.2.несколькихДляфункцийпсевдопотенциальности,обычногоотнесколькихвидаE,530),отличаетсяговоря,тензорнойфункции.Псевдопотенциальнойк-омуповведемаргументоввообщепотенциальности5.18.функциютензорныхкоторое,понятияОпределениепотенциальнойфункциитензорныеаргументовтензорныхтензорныхпонятиефункцииилитензорномудляпотен-называютаргументукоторойфункция:скалярнаясуществуетE.533)тензорчастнойсовпадаетспроизводнойE.530):функциейкоторойотk-омупосов-аргументу§jиливE-534)видетензорном(T(fc).. TO»T(n)).ИзчтопсевдопотенциальнойопределениягарангSтензораОчевидно,тензорнойсовпадаетесличтоиндифферентнойрангомсG,,группыфункциятензорнаяфункцииE.533)тоейПредставление5.10.3.псевдопотенциальнойфункциивРассмотримзависящуюотпсевдопотенциальнуюсимметричныхдвухВ)совместныхможногруппыфункциональномбазисеzгруппы-G8В)изфункциюнабораскалярнуюфункциюфункциональногокакотполногобазисаотно-симметрии:В)V>(T,Обозначимза-E-535)группыJa(T,жеJ|.=представитьинвариантовтойотносительно*(T,B)=относительновсегдаE.534'),функциютензорнуютензоров:SИндифферентнуюот-тензорнойбазисетензорномпсевдопо-индифферентнойявляетсяG8.относительноиндиффе-являетсясоответствующаятакжеследует,тТ(д.).аргументафункцияскалярнаяотносительнопсевдопотенциальная^(Т,E.534')VD5)(T,=числосовместныхG$,агВ)),7=1¦•инвариантов-числоинвариантовJ7E.536)¦*•J7водногофункциональтензораТ§Тензорные5.10.этойотносительно1-у{Т)инвариантынесколькихG8.группыполностьювходятВтензораотфункциизависятВычисляяJ7,частнойдалееJ7:икакфункциидля7Тогда.г.r+l.

.z.=ф,инвариан-1..=псевдо-чтополучаем,виде:впредставить»4"дф,5537)тензорноготен-введемаргумента,dJdJ{i)=7ЯГ'E.538)1-*-г=функциискалярные777Г'ТогдаполучимследующуюпсевдопотенциальнуюВсякуюиндифферентнуюE.535),представитьввидепоG8,группыбазисутензорномуможноН7:()E.539)функциятензорнаяфунк-тензорнуюотносительноразложения7=1ЕслиE.538')I--*-r.=теорему.5.22.Теоремафункциючто«/7(Т),*уотможноодного397базис:тензорныйи=которыхдля•АТакжеаргументовполагать,J7производнойE.535)функциюпсевдопотенциальнуюБудемнаборвтолькотензортензорныхпотенциальнойявляетсяаргу-другомупоаргументуSтоформальнооднакодлявид5.10.4.^(T,B)=можнонееН7тензоровполучитьиихВыберемврезультатысодержащиесяследующиекачествевп.5.9.8,представлениясовместныхнайдемотличаться.могутфункциисимметриичастныхтензорыдляразличных1..=•z) функрезуль-используятогда,9J7!|.r/9B,производныхбазисныеE.539)п.5.9.4,GJ7инвариантоввприведенныетензоровпредставление,жетензорныебазисы,вычисленияэтомприклассовразличныхфункциональныеE.540)такоеточночислоПсевдопотенциальныедля|,=Н7.классовВсодер-получимитогесимметрии.Глава393(Е)-Триклинныйкласс:(М)-МоноклинныйТензорные5.функцииE.539)представлениеE.174).совпадаетекласс:sY>7e2 ^=VK2^+7=1Oi0(О)-Ортотропный-Т•41\<P7Oi+I+~^e(Oi2+/О20О2+Oi)0•-В,E.541)класс:зS-J2=^ё7+0(^4Gl47=1О3)-Т•+Ol0Зу>66Ото••В•E.542)В,0класс:S(y>i=О2у>7/2(В))Е+О3)®•(^2+-(узВ<pi)el-^Т)+++-<ZBv?5(Oh-ё|ё|)®-<р6Пзн)+•-Т-E.543)jr}^(Кз)-Квазитпрансверсалъно-изотпропныйS=(vi+О2+®^ А)+О2)р3В-ТВ.класс:?>7/(В))Е•det=-y>7/i(B)B()ё+Т)++^B2,E.544)=detВ.$ 5.10.функции-Ромбоэдрический(А)SТензорные=+y>i(Eтензорныхаргументов.-399класс:4)-(унескольких{<Р2+9у)т)-12(В)<р7)ё1-{<Р7А+(В)-Ромбоэдрический5VsD3+-(d+Oj®-?<p6Sl3d)+О2+О2)®•-(у3В+E.545)-Т,¦класс:(<р2О2О2)®••(у>3Вк-(у+^6/2(В))ё1-?>б)т)--(Oi+(у>б+А-?>5D3)+•-Т-E.546)«ласе:S=(^+(V4+vt/2(B))E*»в)(Т-(^+•(о,,-О,,)-т)•(Т••(т+Ц)Оп-•-Од)¦в•¦(т-^+ipbOh+-ofc)-Т•-Т2+-ofc)•(в•-оь))+E.547)(Д')-Г'ексагомальныйиS={<pi2+(°i(Тз)-Трансверсалъно-изотропный?>б/2(В))Е®°i+°2+(р2®О2)классы:Ч>\-••~(vsB+(у-V5)T)+E.548)Глава400(/) -ИзотропныйSТензорные5.функциикласс:(<pi=(p2h(B)+<р5Т2+^з/г(В))Е+<р6(Т+(<р2-ВТ)В+y?3/i(B))B+у?7(Т2+ВВ2+Т),E.549)=у>7G<'\.

.,Вэтих</{з(дляНиходнакокжеу>7>аргументатакойпредельныйпереходSдф/д^24Vиодномуинвариантузависимыми,перехода!F(T)=^"(Т,=тоучитывается,j\*3классов:ipj—тоТ),вседф/д^83\жесамоеdetВ,еслифункможноотносится•имеют=ТзсовместныхпредельногонеНДлянулю.=инвариантыизотропногокоторыеинвариантамjMДляпобазисовявляютсяТ.=(реj[2 ^),тензорногоравнымифункцииДобавочныеещевозможностьсоответствующиеположитькдобавленоэтообеспечиваетодногоВI.

Характеристики

Список файлов книги