Димитриенко Ю.И. - Тензорное исчисление (1050322), страница 31
Текст из файла (страница 31)
.+(Б)-классов,инеааизвзаимной5.5.ортогональностигдеявляется§5.6)инвариантыспектральныеположительноявляютсяYQт.е.§5.4,функцийдлясуществуетквадратичныеE.239)определениюfiji(Тз)чтолиботензорныхинварианты.теоремыE.229)-инвари-инвариантовдоказательстворазложениеостальныхвлинейные,вин-каждомрезультатыпоказаноичемпостроениеквадратичныебудетвве-(^з)(if),влибофункций.мыэтомспектральноеменьше,атеперькак(Тз),самоспектральныхудобным,квазилинейныхописания(*з),иприменение(весьмаоднимкакквазилинейныхпостроениилинейные(Я),одинТ12Т13Т23,возникнутьмогутвобразом,Нац\1аиинвариант=ВспомнимчтоТаким'такчтополучено,участвуютещеэтоестественней,предполагает,накубический-инварианты.квадратичныебылоYaотсутствуетрезультат(/),классов:причемYaсовпадают.инвариантовdetT.YQинвариантовп.5.5.8,врассмотренныхинвариантов0инвариантыпоказаноспектральныхчисло-0YaспектральныебылокакО0цгруппп.4.5.5,вТ12ОинвариантовинвариантамитриклинноговведенныеэтоспектральныхVо>т12о=тензоровГлава346§Спектральные5.6.Тензорные5.функцииквазилинейныхпредставленияфункцийтензорныхСпектральное5.6.1.представлениеСпектральноеодинаковооноGaвсехдлядваимеютсяфиксированатензороввSтензораG,,записываютсятоР}а\и-ТиобладаеттойжеЭтоозначает,важнымсиммет-группычтовторогоспектральныеирангаеслификсиэтихпредставленияобразом:следующимT=Epi3>'Pjajитензоров.i3а=1а=1где§5.5,воднойрамкахсимметричныхсимметричныхсимметриигруппатензороввведенноепредставление,свойством:симметриидвухобобщенныедевиаторытензоров:E.320)ИзPL/E.320)представления(Т)взаимновследует,частности,чтоPJ!тензорыортогональны:Спектральныеобразом:инвариантыТтензоровиSобозначимследующимJjj;СрединихимеютсяуРП(«)=-f-fi(«)'погаPCлинейныхинвариантов,уE)=E.322)-f-«4«).для«=!.••"»•которыхE-323)иСпектральные§ 5.6.Спектральное5.6.2.квазилинейныхпредставленияпредставлениефункций347приращенияпотенциалаПустьдватеперьквазилинейнойпотенциальнойсимметричныхSфгдеТисвязаныпотенци-Т{Т)=|^,=E.324)потенциал.-СоставимдифференциалфункциюскалярнуюE.324)Тчтоучтено,E.325),вто-ПодставляясимметричныйТ,ивЕсли=E.326)вS•какска-подставитьтеперьвпотенциальностиусловиеполучимееE.325)тензор.получимтеперьSрассматривая|~-<*Т.=йфтензоровф,функцииот(см.E.93)):Тот#ЗдесьSтензорафункцией:виде:E.326).(Л*.E.319)представленияспектральныеитогеа=1ДифференциалсобойdP)}тензорасимметричныйвопределенп.5.2.2ипредставляеттензор:E-328)P!JQ[где'-компонентыдевиатора:?;Очевидно,фрФормулаприращениячто),ичтопотенциалаdP\lтензорыучтеноE.327)$,-®R,-.вE.327).называетсяквазилинейнойбудутE.329)взаимно)ортогональныпредставлениемспектральнымфункции.кP)Jпри-Глава348Вывод5.6.3.КакфункциибылопоказаноТ.тензорап.5.4.1,втолькозависетьвфпотенциаллинейныхотВыберемYQ(T)инвариантыфункциипредставленияспектральногоквазилинейнойможетТензорные5.этихкачествефункцииинвариантовспектральныеинвариантовкакой-либоотносительноквазилинейнойквадратичныхигруппыин-G3:симметрииE.330)ТогдаdY&Дифференциалвычислимлу(Т)ноYq'функциейотР/а\»dY(TJ QV()E.333)Подставляя.р(т).(т)и2р(т)_E.332)E.331),вг«а=1ПодставляяE.334)теперьП1a=lВWr«E.123):И'Р(т).^Р(•имеем:рE)\р(г).р(Т).п_0*aприращенийнезависимостисилуследующийфункцииC/JaE.327),вооп\получаем:^г,р(т)я(«)E.93)повычисляем""(«)скалярнойквадратичнойдифференциал<>*<*~"/сI__E.239),еепоэтому__jy(TJ__согласноявляется,образом:следующимиздевиаторовE.335)вытекаетрезультат.ТеоремаОбобщенные5.13.тензороввторогоранга,функциейE.324),пропорциональныдевиатпорыдругрE)двухквазилинейнойсвязанных_?><>р(Т)симметричныхпотенциальнойдругу:_1тен-функ-Спектральные§ 5.6.квазилинейныхпредставленияфункций349^КоэффициентыпропорциональностиявляютсяE.336)СоотношенияназываютбыловпервыеБ.установленоПодставляявЕ.
Победрей.гасоотношенийпервыеоспредставлениемспектральнымЭтоE.324).функциитензорнойE.337)Уиквазилинейнойфунк-скалярными':YqинвариантовспектральныхотфункциямипредставлениеE.336)впер-E.323),выраженияполучаем:?$PУмножаяоставшиесяинвариантовопределения1..+т=¦Здесь.п.E.336)подставитьквазилинейнойпредставлениеапервымлинейныесоответствуютпереписатьс=Нদу.y(TUE.338),(а)изЕсоотношениемчтовсеэтипредставления,.{представлением;пред-спектральнымSвыражение~Т);когдаинвариантами,междудаже)(т)рперепи-квазилинейнойспектральнымсоотношениямеждудевиаторами.Очевидно,у,y(Thпредставленийтрехявноеобразомсоответству-*осукороченнымвыписаноявнымпредстав-можносоотношениеЫЪ (у(Т)полнымявляющеесяоднодевиаторамэтотоа=т+1не,ещеE-339)называемые(т.е.оставшихсядля^ 0.получимп)называютE.337),иместо(раобобщеннымгаоднокотороевыписываютобобщеннымитоE.324):представлением¦1..используютE.340),E.336),скалярноинвариан-*огапрактикефункции.п^)S-E.238):а=1т+1..=квадратичныхчтоE.237),(Т)аимеютE.319),винвариантыучетомприучтено,функции:а=1ПосколькуE.338)соотношениячтоаЕслиучетомсполучаем,индексовE.336)E.322)соотношениясебя,насамиE.338)эквивалентны.обобщенны-неГлава3505.6.4.СпектральноетензорнойЕслипоказаноимеетСаргдепредставляетиквадратовлинейная,-былокакто,собойлинейныхпоказа-квадратичныхсуммуСинвариантов.инвариантовфпотенциалис-линейнойдлявид:*>+?*адРУ^-Ьа=ш+1а,/3=1?CaaYP\E.341)константы.-ПодставляяэтоE.338)ввыражениесвязаныинвариантыфТтензораспектральныхиспользованием=E.324)функцияинвариантов*линейнойпредставлениепотенциалфункциифункциифункциитензорнаяп.4.4.4,вТензорные5.толькослинейными,линейныечтополучаем,квадратичные-инва-квадратич-сквадратичными:а=1CaQYlT\ПодставляяE.342)теперьPJJ}Еслиспектральноежео=линейнойаE.343)то+1..
п.=E.340),вE.342)1.. п.имеемCaep?J,E.342)подставитьпредставлениеE.336),в+го=тотензорнойполноеполучимспектраль-функции:уаа,/3=1Наконец,есливинвариантовявномуE.344)подставитьE.237)определениетодевиаторов,линейнуюлинейныхфункциюкприведемвиду:тSE.232)иа=ш+1=(Еа,/3=1п~^Т"а(«) ^а®а(^>Е+а=т+1С°а%с))гдеа=т+1¦Т=4С•-Т,E.345)§ 5.6.являетсяВСпектральныечетвертоготензоромранга,былкоторыйвведенвE.346)Са/з-ФормулаконстантамиПолучимТогда,E.346)упр.5.5.1:результатыучитываяСаа*Г(а)0аG)0,=8цд)тот0771+1=...иE.346)из4Г"°>/_(/3)"I VI,затем(а,/3)E.347)ф (<у,6),Яа,/3,7,еСЛИаФ Аеслиа=/3,(ое,)9)а,/3=(Т»*)»=+m1.. Ш,=1...п,получаем:o,/3=l. .ro,),l'пДалеефункций,рассмотримСпектральноепредставлениеотносительноразличныхПустьизотропной, т.е.квазилинейнаяE.324)функцияотносительноклассаE.250):р<5)=i/i(S)E,+Т=Р<т>гдеобразомР^5)Спектральные(см.иР(т'-тензоров+оявляетсяизотроп-изотропии.E.319)представленияспектральныеSсимметрии.изотропныхтензорнаяиндифферентнойТогдафунк-тензорныхклассовпредставление^функцийтензорныхвидспектральноеиндифферентных5.6.5.4Г(а).с1..
ГП,=еслиэтогодляа<у,6П,Са/з«аа^(аГдвухиндекснымиа^),если(О,4Гитензор,ОбразуемA/(а7а$))аG)С*функцию.самыйже4Смеждусоотношения.тензорамисэтосвязьк4Стензора351линейнуюфункции,устанавливаетобратныесверткуфункцийзадающимлинейнойп.5.1.9.единственностисилуквазилинейныхпредставленияТiri(T)E,иSимеютE.349)одевиаторы.инвариантыYf)=^/i(T),УгE)=об-следующимвычисляютсятензоровE.255)):E.245),^i(S),E.350)Глава352E.338)СоотношенияфункцииотфункцииПолноеспектральноеЧастнымлинейныеЫТа,УГ)^г)ЕявляютсяслучаемиGА.А.Ильюшина,удовлетворяющаяТогдаE.353)вквадратичные-линей-которыхнелинейно:зкгуСг)w(Tu)-w@)условиюукороченноевид:Щ^1т.E.351),а_aконстанты,-двеквазили-следующий+соотношениялинейно,связаны[ уE)Кизотропнойимеетпредставление-инвариантыздесьE.336)представление1(МТ«,УР)=собойпредставляютвид:имеетжефункцииинвариантамиспектральноеквазилинейнойSмеждуТензорныеаргументов:двухУкороченное5.E.354)нелинейнаяспектральноеА.А.Ильюши-функция0.=E.354)представлениепринимаетвид:Еслиш(Ти)функцию,ф.функцияв/О,IтовыбратьSu[\—=1?\('15И(ТИ)2G(l-(l-fc)(l-(T7T«)))Tu,—^Т*является/Т1^^виде:Ти^ 2",Т1*^пг1*/л^«»jl^1\кусочно-линейной:Т„^Т*.E57)Спектральные§ 5.6.квазилинейныхпредставленияТрансверсально-изотропные5.6.6.ПустьG$этом353функции^(Т)функциятеперьВT3.=функцийслучаетрансверсалыю-четыреизотропная,инвариантат.е.SтензоровТиимеют(см.п.5.5.5):вид-Т.YxУ3(ТJТ2=F3EJ=Е•S2•Y2е3,-Е(Т-•(S-•-ЕJ+\{УР+Т-EJ+i(FxE)+SF4EJСоотношениясобойпредставляютE.338)Полное••междуспектральное-ЕJ2Т2--EJ-^,2S2--ё2,•E.358)-ё2,•E.359)Y<iинвариантамичетырьмяфункцииотaE.360)l,.
.,4.=E.340)представлениеYdиаргументов:четырех<pisHY}T).. Y}T\==2(S2--e2-yi(sJ).=четыреYW(E-e3)--j=TсE.270)учетомимеетвид:s=n(Yp.. yP)-4+ВчерезCQiCгдеТензорноеСцУ1(Т)=-исчислениеконстанты.+.у4(Т))(еизотропнойтрансверсальновыражаютсяЧ>112линейнойслучае•.-4)+Р(r^f5(з)нейно±myPY}инвариантыС12У2(Т),^2-функциивсе<ра':С12У1(Т)+С22У2(Т),E.362)ли-Глава354ВетдекартовойсистемеТензорные5.функциилинейноекоординатE.361)соотношениеиме-,вид:C12TNi36j3^(SnSjlСравниваядляэтоTij0,Рассмотримф 0,f{jTJ;O2233==2С2323^11330,=CijkiTkl=ф 0тсвязьнаходим^1111—/=->осталь-четырехин-=2С1212С44,—Sij0; Тц=Сар:=^E.364)Сзз-=трансверсально-изотропнойнелинейнойпримерfj36i3)+-E.21)выражениемдвухиндекснымисTi3Sj3-остальныеостальныеCijktкомпонентдексныхf33Si3Sj3Si2Sj2)++E.363)сТ33^0; Т13=Fп6ц2T338i38j3).-случаев:^ff^++представлениеразличныхостальныеSi2Sj2)+Tj3Si3+(%^зз+функ-функции.Впростейшей<Рг=т.е.отС33Aимеется-C^yf)а;з(У3(Т)))У3(Т),своего+=толькоодногоС22Aзаданиетангенсовобластях.-пределыугловС«A=нелинейныеE.365)w4(Yp))Y}T\-ljq(Yqфункциифункцийэтихкусочно-линейныхТ*а;2(У2(Т)))У2(т),-V*четыреС12У2(Т),+^),зависящиеможнотакжеосуществитьфункций:у({0гдевид:аргумента.Аналитическоепомощьюимеет(раCu(l-Wl(YiT)))YiT)=ViV3функциямоделипропорциональности,наклонаафункцийо;а(Уака=)вC'Qa/CQaнелинейнойотношение-илинейнойсСпектральные§5.6.Ортотропные5.6.7.SТпоE.324).(см.п.5.5.7):функцииортотропныеимеютшестьинвариантовai (ТY(TJ=П=YP2=\•(Т•i (Т•I (SУб<5>2соотношенияI (S=Полное=?¦ё3®ё2)J=2Т|3,-(ei<8> ё3+ё3®ёх)J=21*3>•(§!®ё2+ё2®ei)J=2Т22,ё2)J=25|3,®ё3+ё3®ёОJ=2523,-(ex0ё2+ё20ёх)J=2522,общийот+пред-имеетвид:? Ы?^Т)-?Р)Г%-координатсистемет.е.аргументов.E-369)*оа=3декартовойE.338),видшестиE.340)а=1Вё3 ®.(ёх>)ё2.yf.E.368)1,2,3;=представлениеMYPE.367)+имеюттензоры1,2,3;ё3функцийшестьспектральноеS355случае®которымимеждусобой•этом-(ё2^=В=aпредставляютфункцийфункцииРассмотримиквазилинейныхпредставленияэтоимеетсоотношениевид:зSi,-=Y, ЫУР¦•.YP)fQQSiQ6ja<p4(YP+..У6(Т))?12(<Ы,-2+a=lУР)Т13Fп6^Si2Sj3++6а6ц)+E.370)6i3Si2),гдеP}T)=л/2|Т12|,П(Т)f=av^|T13|,=1,2,3;YP=л/2|Т23|.E.371)Глава356ВлинейнойслучаефункцииУ6(Т):УХ(Т>,.
.,инвариантыViТензорные5.=линейно<раCnY}T)C12Y}T)=функцииC12yPC22Y2{T)++(Т)<p4Простейшая+C13Y3(T\C23YP,+C33Y{T\ 3\+Pинва-черезE.372)(T)с44у4(т)=выражаются,нелинейнаяортотропноймодельфункциипредполага-предполагает, что<Ръимеем=4>г=C23Y2(T)+выбран+C33(l+-C23YP,ЦУ3(Т)))У3(Т\u>a(YP))Yp,-aE.366).какДляпятьпоинвариантовУа(Т)(а=Соответствующие'E.288),и=3,4,5).тензоры'YqиE.293)(aYaлинейными:являютсядвафункцииyjформуламповыразить(аа(а)(аE.294).1,2)Тогдаполноеспектральноефункции(rF\5),1,. .Изитриимеет-№з^'зmТззйз^/3(~J,Ткоторыеможно+квадратичными:изопределитьквазитранс-длявид:Tj3Si3—..7^1Ti2(8ii5j2ier+I2T338C5j3)++Si2—¦Ll2\fi iuj2~т0i20ji).Sиинвариантовможноdi2<>j2)(Лктензоры(rP\Y3+которыхвидэтихE.340)представлениеквазитрансверсально-изотропной(ра=1,2)=E.295).формул),функцииквазитрансверсально-изотропнойимеют4,5,6,=Квазитрансверсально-изотропные5.6.8.E.373)uQ(YaаргументаодноготакжеPC22YP+функциичетыребытьможетC12y}T)Caa(l=P})C13YP=<paт.е.4>х@.O/4JСпектральные§ 5.6.E.298),видВные(аE.299).YaИнвариантыимеютпростейшейфункцииквазилинейныхпредставления1,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
