Димитриенко Ю.И. - Тензорное исчисление (1050322), страница 27
Текст из файла (страница 27)
.).(Ы)содержитпарурав-(г, j)индексовиндексовнеповторяющихсятолькосоответствуетнезависимыхнеповторяющихсясоотношений3 париз27содержит3 париз9 паргруппакаждойвкаждойсоответствуетВтораяфункцииE.67а)соотношенийгруппауравненийТензорные5.жеещемысокра-способоминымтеоремы.4СрангаE.676),иимеет7зЕболеене,21обладающийнезависимойкомпоненты.Длятензорачетвертого(матричное)рангапредставление?1122?2222/С1111?1133?2233?3333помощьюV2C1113V2C2213V2C3313^?33232?2323такжеWипредставлениеспомощью{S}1x6можноУ2С-2212V2C33122?23132?1313компонентдля2С-12122С12122С1212.линейнойдлядатьтретьетензо-симметричныхстолбцов:координатных511?225ззт11\{Т}л/2523n/2513E.69)1x6\/2ТKV2S12/тогдатретье6x6:матрицыE.68)ВведемSE.67)симметриисСИМ.тензоровтипомсвводитсятензорнойфункции(матричное)четвертогопредставление:=1x6DC){T}.6x61x6il3рангаE.21)m=E.70)2§ТензорныйбазисТакжедлявсехНижегруппGsданыпервое,всостоятьибазистензорныйодинаковкласса.представлениятретьечет-тензораотносительнотензорныхиз§4.2.таблицевранга,индифферентногообразующиетакжеE.67),будетпредставленыыхфиксированногопределахвторое4С,рангачетвертогоатензоров,второгочет-тензорасимметриейтензорадляикак.287индифферентногодляобладающегообразующихсимметричныхфункциитензорныеE.25)О,G)4С,рангачетвертогоЛинейные5.1.классов,различнхучаствующиеклассов,вэтихпред-представлениях.ЕТриклинный-{ёа}:классз4Сё*0=ё*++ё*ejj)0Аб+аОа+Оа+0а=1О10аee°з®Ог+О3+ё*)0(^el)0О20А18+а(О/3О70О2+ё*)+0О7+О0а=1%18+QSkJp)++рфыфуфр,Индексынапример,а1,р=Всодержитформулевw==1,/3тоE.71)={8%+E.71)p,W,i/,/i,a,ft7=l,2,3.выбираются2,7образом:следующим3,=и,i/следовательно,если,1,=/i3=и2.тензорпредставленииматричноммаксимальноеАбА2сим.СА5А4Азвид-21:константE.68)и\/2Ai6\\/2АцV^A122А7общийимеетнезависимыхчисло\/2A182A2i2A82A2o2A9E.72)Глава288-М-МоноклинныйТензорные5.функции{е1,е2,классзОаё7а=1О3О3+ё2)0О2О2+а=1+/X*ХЗ(<Мз+?1111/DС)1Х*?.?\/Х&х'1d3^l)(d2d3E.73)J^«1122с2222?1133?2233?3333=00000V2C1112\у/2С2212^?331202?23232С2313002(СИМ.2?1212\Ai/АбA20000002А72А132А8AsA4Азсим.лДХгч/гА!\/2AiотносительнонезависимыхЗаметим,что0базисаО0(см.-Оа,упр.5.1.2),длятензораОртотропныйсредиОаМ-класса,тензоровOi0О2поэтому4С+классаОзтолькоявляетсяоднакоО20ихиспользование(aOi4Стензор=1,2)четвертогоиндифферент-такжевин-априоритензорыкачестветензорногоправомерно.(ромбический){ё2}:класс®а=11моноклинногоотносительноОаиндифферентны2констант.индифферентнымранга12А9Индифферентный13э\0\имеетJё*А6+аОа®Ов),Линейные§5.1.функциитензорные.289а=1афрф-1«•Р./С1111DС)?1133?2233?3333с1122?2222=71,2,3,—000000000002?2323СИМ.2?1313\'02С1212)\\/АбА2AsА4Азсим.0000000002А7002А8\•02А9/Индифферентный9имеетотносительнонезависимыхЗаметим,вчтоупр.5.1.2,в-классAXE+A4(OiОарангаоднакоОа0уже=1,2,3)некакявля-показаноиндифферентныё§,{Е,О/,Е00А3(ЕО20О2)+0А5ОЛё2АбАE.75)Asа=1ТензорноеО-класса,класса.Тетрагональный=(аОатензорычетвертогоО-4СМ-классе,относительнотензорыотносительноТикакиндифферентнымиявляются4Стензорклассаортотропногокомпонент.исчислениеГлава2900функции?1133?1133?3333С1112?1111/С1Тензорные5.=000000002С23230/2?1212\/Л1\—2С2323СИМ.V2C1112-V2C11120Ai2А6А5Ч-2АбAi + А5Ч-+'•I¦*'•I¦*АзАзА'000002А4сим2Аб+2А4V^A7-\/2А700002А6+0\4СТензорА2+имеетQ%kOi®Oi-fO20O2силу+2А37независимыхА5+компонент.(формулыиндифферентнымCijhlAiE+A4(OiD.40)).относительноКвазитпрансверсалъно-изотропный4С2А6.ВыражеТензорТиКуупр.5.1.3.результатов=+п.4.1.9вприведеноявляетсяв-Ai=Т-классевкомпонентдляклассовКз/2А6А'Выражение\®Е+А2ё§®Oi+ё§®О2®+О2)А3(Е®А5ОЛ+ё§, Од}:{Е,классё|+ё§<2А6А,+=E.76)а=1,^>11иDС)(J1122?1111с1133?1133?3333=ОоООоQОоОО2С2323сим.А5+ОAi2А6AiAi++A3A3А'сим.2А42?2323О\л/2А7ООООООООО+2Аб2А4+2А6О2А6Линейные§5.1.4СТензорА6имеетнезависимыхРомбоэдрический-AiE=A4(Oi+CijklЕ00291компонент.{Е,класс4Сфункциитензорные+А2ёзОг+Пза}-e3)D3)+А3(ЕО2)+§з0О20ё§0A5D3ё§+02А6А+Ai^'J*1=E.77)л/2С1123С1133?1133С1122/С111133334пчЧл/2С1113^^?11230"\002С2323сим.0^^?1113~2С11132С112302?2323с1111-с1122/\/2А70А"ВыраженияD.40).4СOiOi0-fиндифферентнымВ-O20О2вА4=AiE+A4(Oi00класс{Е,Её|О%?1и7ивпредставленыкомпонент.независимыхупр.5.1.3,результатовВромбоэдрическихсилуАРомбоэдрический4СDlJklимеетотносительно2Аб.+тензоровкласседанномв2А3+-2А52А72А62А6+А2+компонентдляТензорТензорAi=002А4сим.А"\0Ai+.Азявляетсяклассов.e§, D3}:ё§0О206k38l2)+О2)А3(Е+0A5D3ё§++ё§02А6Д,6к8[))E.78)ю*Глава292?1122?1111/?1111Тензорныефункции0^?1113-у/2С1ПЗ?1133?1133?3333V)5.=000002?2323СИМ.0_2?ШЗ02?23230С1111\/А!Ai2Аб+AiА1А^Аз2Аб-Ь0А"2А400-2А502Ag-Ь2А6\4СТензор-\002А6+2А4Ну112200сим.С\/5а5-л/2А50А3+-вкласседанномГексагональный6имеетклассТзиТрансе-14С==E+А2ё|®Ох+ё^®О2независимых+компонент.ерсалъно-изотропныйА3(ЕО2)®/<8»ё|класс+ё|2А5А,+АгE.79)/С1111DС)?1122?1111?1133?1133?3333=000000000002?2323СИМ.—2?23230?1111\/Аг+2\lAi-fAiAi2A5++АзА3А'")0000000002А2сим.?1122—+2А502А2+02А502А5>\А'"=Ai+А2+2А3+2А5.N,Линейные§ 5.1.4СТензорКвкласседанном5имеет4Скомпонент.{Е,классAiE=Е®.293независимых(квазиизотропный)Кубический-функциитензорные2А2А+Од}:А3ОЛ,+зCijklАх W=+A2(WSilSjk)+E.80)Аз+а=1/?1111)?1122?1122С1111?1122?1111=000о00000002?2323СИМ.—2?г2323\/A!4_0Чi2A2+A3+Xi+Ai2A2AiAi2А2А3+Ai++А3сим.0000000002А2002А202А2У\4СТензор-вкласседанномИзотропный3имееткомпоненты.независимыекласс:А2(E.81)АгAi2А22А2Dс)2А2+=сим.0000000002А2002А,4СТензорвкласседанном2имеетУпражнениевидаэта5.1.1.E.67)симметриявкакой-либосохраняется.§кДоказать,системечтокоординат,компоненты.независимыеУпражненияеслитов05.1.тензорлюбойСдругойсимметриейобладаетсистемекоординат\Глава294.Упражнение«2.5.1ОгТензорные5.Показать,имеютчтоО20функцииО2+местоOi04(О3=чтоследует,которыхизМ-класса,iVf-индифферентны.ужеУпражнениеахотятензорынообразованные5.1.3.5.1.4.УпражнениеE.49)иE.43)функциииметьчтотретьеготензораитензорыместотаковымиесливё§-ё\,0индифферент-являетсяявляются.неE.42)представленияхматричныхубрать2,уE.49)функциирангасоотношение:рангаОачетвертогоследующее0ранга"обратной"индифферентнымиявляютсянихчетвертогохотя1,2,=неиз4(О3=тензорПоказать,симметричноголинейнойО20.Кз-классов,Т,относительноО2имеютчтоданныйчтоследует,которогоиндифферентнымивышеПоказать,О2изOiё§)н,0Оа0Оа=4(ё*0ё§)",относительносоотношения:следующиетовсоответствующей{S}векторы{Т}ибудутвид:Гц//5й\\533531523Тзз1/2Т231/2Гз1\S12JМ/2Т12/т.е.матричнойструктурабудетзаписиразличнойвпрямойи"обратной"функ-циях.УпражнениеE.68),5.1.5.аследующееПоказать,есличто6*2222Dс)тоструктуру:емусоответствуютдля(С)матрицынеиспользоватьопределение:6*2212С*3312C*i212={S}векторыиСз313C*i213C*1313имеющие6*3323С*1223Cl323С*2323различную/5U\5225зз512513\2е2з//междусобой§ 5.2.обратнаяакнейСкалярныефункции( П)матрицавтензорногоэтомаргументаслучае295принимаетвид:/ПниП2222DП)V6x6;2П22122П33124П1212П2233Пзззз=сим.2П22132П33134П12134IIi3i32П22232П33234П12234IIi3234П232з/т.е.имеет§5.2.1.функцииРассмотримвтеперьнелинейныеп.5.1.1.НачнемnSE.1)формулеявляетсяпредпочтительнымтензорногоскалярнойОпределениедано(поэтомуструктуруE.68)).Скалярные5.2.которыхв( С)ототличнуюпредставлениематричноетензорфункцииОпределение5.5.определениечастногорассмотрениянулевойимеетпрангкогдаслучая,0:=E.82)=видафункциюТензорнуюфункциейКомпонентноефункции,тензорныесsскалярнойаргументатензорноготакойпредставлениеE.82)называютаргумента.функциивR,базисеимеетвид:j~jm).ВХ'хE.6)силуприотпереходескалярнойзначениефункцииоднойсистемы5.6.индифферентнойСкалярная.Gs,-7)неQiL Th..
im)E.82)функцияотносительнопреобразованийгруппыопределяемыхXхкоординаткдругойменяется:неh.ОпределениеE.82а)C.1),поE 83)называетсявидеслиин-линейныхпресамойфункцииизменяется:E.84)припереходеизсистемыкоординатх%вXх,причемГлава296Сиспользованием(см.5.1.5),иE.82)функции/(таТ)вНапример,0скалярнойдля^скалярнойвиде:3,l,2,4,. .,2n)^Q)B"-l,2n-30..А1=E.84)индифферентностизаписать/(mT^.^;(Q=Qпреобразованийусловиеможнофункциилинейныхтензорапп.4.1.3Тензорные5.функцииэтовектораотE.84a)имеетусловиевид:E.85a)/(a)=/(a-Q),аскалярнойдляфункцииот/(T)Подчеркнем,чтоможетменятьсяменяетсязначение/(Т)непростовдолженнофункции,того,симметрии,напримеропределенияИз/7(тТ)а%/(а)тойотносительно=5.2.2.l[ВажнуюПустьВычислимGs,Gs.Такввсесим-группинвариантыскалярныечислетомц\инвариантыфункциямидлинанапример,индифферентнаотносительноскалярной5вектора:(?зэгруппыопреотноси=/(а)=-Г-=функцииаргументурольвмеханикеформулыиграютE.82)функцииимеетсяAfax,=индифферентнойиндифферентнымиявляютсятензорномускалярнойf'(a%)некоторыхчтоДифференцированиепото-привидОднаковектора.следует,группы-а3,другойотносительногруппы'(а)/(а)это-переходеТз.п.4.5.3,жефункция=совпадать:толькоE.84)вме-функциивидискалярная=иметькомпоненты-относительноопределенныебудутбудетsбудетфункцийчтофункцияеслиненочтоследует,Rt:базисефункцияэтаэтихтакая|а|ё,E.84)из/(Т)функциивидкоординат,системуНапример,вчтоследует,новуюавекторазначениясилувменяться.базисE.85tf)E.83)переходекомпонентаранга:/(QT-T-Q).=определенияприэтойдекартоввизвтороготензорапокомпонентноедифференцированияаргументу.тензорномуE.82а)представлениедифференциалотэтойфункции,какот/.функциифункцииВы-многихпе-переменных:^.i».Производныекоторыйобозначимdf/dT^"^mобразуюткаккомпонентыE.87)некотороготензора,§ 5.2.Скалярныефункции5.7.Определениепроизводной скаляраfодной.произвОчевидно,т/тd(mT),этоговведенных<g>..тензоромтТ.ичторанга,тензора<g>E.87)выражениеR,-свойство:•df/dTтензоровR-7объект:<g>..E.90)Rix.образом:следующим=d(mT),иE.89)Rim.<g>следующийдаетdTjl'~jmRjm=теперьопределениежедифференциаломтензораd(mT)(m..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
