Димитриенко Ю.И. - Тензорное исчисление (1050322), страница 25
Текст из файла (страница 25)
.®..R_.m<g>Р3{ Rjт'л-imR/^=jF'^-nR^впредставлениеэтоR,-базисах5"'l-'-R{l==R,n=пре-компонентноенапримериRJ-:8.. 8R!,0#®_#..er^^<g>R'in.Sнепридругуювбазисе,образом:®функциятензорнаязаписатьесликаком-либовдругой5'1-'"R,-lTJi. .imKjiт.е.птензоровкоординатМ3,вкомпоненты=чтоутверждение,изE.1)соответствиязаконасодержиткоординатпредставлениеможноnseT3(n).установленияпереходепреобразованияхтоvmTer3(m\nF{mT)=R,-:ГлаваУчитывая(см.правило5*i. .uд«'^=.A.250))преобразованияXхE.5),вТакимкомпонентноефразаоднойэтойВажнуюрольмеханикевфиксированнойсистемыХпгде-системекомпонентное5.2.E.7),тоE.7)жедлянеGsНеввсеэтомдлякоторыхслучаеикоориТ*1*"*тбудутматрицыудовлетворяеткоординатссвя-C.1),Gs,тосвойадлятолькотакаятензорнаяотносительногруппоймеждуимеютфункциинимиFil' 'in{AJlдлятензорнойсимметриитензорнойE.7)=записаноE.1)группуназываютE.6)силуE.6)якобиевысистемеXхкоординатпТиндифферентнойиндифферентнойсоотношениевSXl'"XnсистеменекоторуюкомпонентывесличтопреобразованийA%r..AilnFkl' 'kn{fjl-jm)ЗдесьвпТ.независимыми,удовлетворяющиекомпонентыфункцияназываетсяГруппуфункцииполучаем,тТиЕсливсехGs.группыE.1),связываетобразуюткоторыефункцияE.2),nS5.3.E.7)свойствудекартовойвфункциями:самымиОпределениетех,E.3),втензоровтемиnTфункциифункциифункциякомпонентысвязаныE.7)индифферентными.тензорнаясоотношений:помощьюполучаю-=Я1"Л\ТензорныеназываютПодставляяххнекоторойХ%,другуюC.1):представлениеОпределениекоординатвхх.координатусловиюкомпонентотпереходехг=преобразованияЯ1'"'*f%l'"XnE.6).функции,прикоординатлинейногопутемполучающуюсякомпо-законупотензорныеиграютсохраняетсякоторыхпричтофункциитензорныепредставлениекомпонентноефункцииозначает,преобразуетсяфункцииИндифферентные5.1.2.E.5)E.6)тензорнойдругуювкоординатпредставление.
Q{jmTjl-jm.. .Q^T'1-'-).неизменяемостиосистемыQ%\=Ffil-in{Qjlh=образом,изпереходетензораполучаем:•..QilnFkl'"kn{Til"jm)Q%компонентХ'х:вTfi -imE.3)ифункциикоординат, Q{inSk""kn,E.2)подставляяисистемыизпереходеприТензорные5.имеются. .A'^t'1линейныхвидпреобразованийC.236).являютсясвязи:•••'").E.9)C.1),§5.1.ЛинейныелинейнойОпределение5.1.3.Определениелинейной, если5.4.тензорная•7зmпринадлежащихE.1)функциюдвумлиней-называютусловиям:тензоровдвухсуммысуммафункцииmTiфункцийтензорныхпринад-тТ2,икаждогоотизтензоров:этихфункциятензорная•отесть,269тензорнойТензорнуюудовлетворяетфункцияонафункциитензорныечастофункции,произведениет0п0иТеорематензор-центрированныеилинейнаяE.12)n0,=га-гоВсякаяве-условию:нуль-тензоры5.1.бытьможетфункция-«ятензорнуюнаE.11)встречаютсяудовлетворяющиеn.F(m0)здесь7зЕчисла\пГ(тТ).=механикевт.е.тТтензораесть{mT)НаиболеетензорныеОфоттТ:функциюпроизведенияотАчислощественноеn-горангов.вфунк-тензорнаяцентрированнаяпредставленавиде:E.13)п+тПгдефиксированныйнекоторый-(птензору-(п+т)ВБудемТототличиеменяетсяненазыватьДля7знимиявляющихсятензором,доказательстваnSтТ,даннуюегоRtlбазисы:иВтТ.задающимфункцию.W10RJm,®..E.10)Разлагая"^(R71тензорытеперь7зП':<g>..<g>RJm)=<g>..fl1!—*nii—i^R^<g>иразложимимеем.
jmR?1в7збазисовкачествевиn+mflфункцию.тензорныюлинейную0.. 0R,nлинейностисилулинейнуювыберемизрангатензорпеременными,5.1теоремыполиадныепоnSхарактеризуетит)-го-fRJm)®no0....полиадному<g>Rtn?вRim)=базисуE.14a)иГлава270коэффициентынаходимкомпонентамиВсамомже0базис,заменяяE.14а)Сравниваяпокомпонентыкоторогоп+тпкоторыйиубеждаемся,ввсегдабазисахR,E.13).компонентноеE.13)будетполюбомприСпомощьювообщеодногопереобозначив^..^тензорнойП«1-«п+тФ.=R;.n+m,функцииестькомпонентыE.13)тТ.будет1оче-то,тензора,функциивсегдафункцийитогоE.13)n+mflтензоражеразличныхв(К.линейнойдлянесколькоговоря,n+mft,тензорвид:линейнойлинейныхПримеры5.1.4.имеютп'{1-^+гпК^=определениюE.6)условиевыполненопреобразуютсяАqpi\-»in—fi'1—tnчтоочевидно,немвид:С*1—*пПосколькуRJ-ипредставлениеиметьвпроведемвыбратьможноRt-n+m0удовлетворяетТогдаиfi1*—•»+*»чтоТогдаnf"i-t"-+mRl-10..=Kj=E.146),иР\=находимзакону.тензорномуранга.чтополучим,Rfjm)0..являютсякоторые+базисдругойТогдапостроения.Откуда,fi*i—**ii—im?га)-гоR((птензоравозьмемделе,самыефункцииразложениянекотороготеТензорные5.можнопиндексы—Уга,a(n-fво-построить,Вфункций.тензорныхга)—уп,самомделе,получим:E.16)пОтсюдаследует,построитьSчтопНапример,UW-f1 различныхппри0,1,.
.=;га=фиксированномприп,0получаем,меняяп.гаот0доп,функций.тензорных=0,1,. .изE.16)обычнуюскалярную:можноК\Линейные§5.1.Для1>пW;и*Sвекторыобозначим2ТmSвместовездепридерживаемсягТиТогдапприmm=l,Приsпm2=имеемsПрип=m=77i=m=При3=mn=m=m=m5.1.5.=функции:3W50,1,2,=S=3S4S4,••Т•••---4W3W•-•-T4C-a4CW==Рассмотримлинейныетеперьфункция5(или(или(или(илиS(или(или(или(или(или5=sx=&>ввE.7),E.18)KijWji);K%iaj);E.19)i=s{SijyM^kTkj).==E.20)^*C^klWikji);CijklWlkj).=в*Sij=E.21)CijklTlk);=^''^*функциитензорныеGs.индиффе-линейнаях%координаткоторыегруппыесличтосистемеE.16),функциинекоторойполучаем,исходнойкоторыес%п{);cW).=относительноE.16)индифферентная=тензорныеиндифферентнымиПодставляя(или(или(илилинейныеИндифферентныеявляются=s1'функций:4C4M4C=s•3MW=пятьимеемm=.3,=Т•3М3М3M-a=3S4=mS(или(илиKW=Sфункции,имеетвид:E.22)5'l-'™=ft>l->"Tim+1..,n,товгруппелюбойдругойлинейногопомощьюС?,,этафункциясистемепреобразованиябудетXх,координатC.1),иметьвид:получающейсясоответствующегоизданнойж1и2SлинейнуюзадающихлинейныедвеK-a=s5какрангавторогоПП,функции:К=5которыхвид:а•четыреимеем0,1,2,3,имеемcW=S2,=с=три77i=l,mE.16)из=50,=тензорыа;тензоровимеютSО,=ДляТ.иобозначения,°Т обозначимиобозначения:1=s271°SскалярыкакиобозначенияхвведенныхвоSдалеепримемиспользуемтексте:обозначимкакфункциюn"mTивфункциитензорныеспомо-груп-Глава272компонентыт.е.Тензорные5.ППтензорафункциипреобразованияхтакихприизменя-неизменяются:jyi.
.in+mE.23)СравниваяD.3),сjyi-f»+»\=E.23)чтозаключаем,имеетместоследующаятеорема.5.2.ТеоремаGsгруппыиндифферентнымтойE.15)подставитьЙ**-*»^ЭтосоотношениеиндифферентноготензоравAinkn..П?1=Пп.то(см.(формулап.4.1.3согласнолинейныхтензораE.24)индифферент-D.4)).такжеполучимGs.екомпонентамимеждуин-преобразованийD.5):•.(A*k)VE.24),формулойопределенногоE.9);соотношениепомощьюсзаписатьявляетсяGs.группызависимостииндифферентностиможноE.16),ft'1-1'"=чтоозначает,существуютУсловиеD.7)),жеE.23)ииндифферентнуюлинейнуюфункциютензорнуюотносительноЕслиQ,задающийпП,Тензоротносительно.-(Q0..Q)Bn-l,2n-3,.
.3,l,2,40.2n)?гдеНапример,К,рангатретьегорангасИз=с.Q,4С=5.2теоремылинейнойтензорнойиндифферентныйДляпреобразованийразложениеиндифферентности3Мусловия3М4С...(QGs••(Qдлятензорномукак00Q0nfl.былоустановленотензораD.19)вид:пространствели-преоб-группыввиметьиндифферентнойсоответствующийфиксированнойбазисувторогобудутQ)G5312468)>рассмотретьтензориQ)E31246>,описанияотносительнотензоров,по•достаточнозадающий4СрангаQ 0 Q0чтоследует,функциииндифферентныхчетвертого3М=.свектораип.4.1.6,существует1$':E>25)/3=1илик/3=1^ySE.26)§__пП(р)гдеЭтотE.25)индифферентнойгруппыG,,можетбытьE.16),в(см-0sG)группытензоровПодставляялинейнойдлябазистензорныйобразующихфункциитензорныебазистензорный-разложения.Линейные5.1.273а7/3раз-организованпомощьюсп.4.1.8).получимпредставлениепервое(черезфункциитензорнойкоэффициенты-линей-базис):тензорный/3nft(/3)-n~mT.E.27)/3=1представлениемВторымфункцииназовембазиседекартовоминдифферентнойлинейнойпредставление,например,компонентноетензорнойвдекарто-ё,-:"-«-iim+l.
.u.E.28)/3=1Заметим,чтогруппывпредставленияхэтихдругойототличаетсятолькоипервымУкажемтензорагрупписпользоватьКакстолькослучайгПмогутвходитьD.36)рангомэтойввектораGs,группенет.для10,13,(?з-16,18,Длядве.остальныхвE.25)какимеется=0.задающего7/3свектораGsнелинейнойУДлятольколинейныхс*G\.группегруппиндифферентныхсоответствующих ненулевыхотраженоконстант33,функзадающегосимметрии.в26,внулю.E.26)ненулевых22,векторнойравными35-неттензоровс13П(/з)D.28)наборовкомпонентыдостигаетсяиизлинейнойгруппРас-базистензорныйобразующихтакихполагатьразныхчисло3равноЕслипостро-(векторов):рангагрупппредставлениядляМаксимальноевСоответствующиевторыефункцииТогдаиндифферентнойбудемданыфункции1.=приGs.группыпервоготензоры1.=тослучаетабл.5.1линейнойб,пгруппеэтомвВпобразующиевышенеOs(<y)тензоровбытьмогуттензоровположимтолькокакой-либофункцииE.25)вБудем4.ифункциибазисытензорныеиндифферентныхт.е.с,—наиболее2, 3=1,пвекторныеп.4.1.8,образующихвотмеченоРассмотримзадающегоограничиваясьлинейныепомощьюназыватьпП.E.17).символикубылопостроеныбудемпредставлениеизначениямиИндифферентные5.1.6.отли-однойрамкахтензорасимметрии,механикевраспространеннымиэтомПП^базисыразличныхдляE.26)изадающеготензорныедалеепП(в7/3E.25)представленияпредставлениямивторымфункцияконстантG,).симметрииСоответствующиелинейнаяодназначениямиоднасуществуеттензорныхвекторнойGs sгруппконстанта4,=7>соответствую-функций,чтоаГлава274ТаблицаТензорные5.функции5.1.I.ТриклиннаясингонияМоноклиннаяП.ёG3:сингония=Ромбическаяс1I I.G6:IV.Тф=110%,V.<?1б,18G?,8?:Ромбоэдрическая?:IX.<?38,39?:С1^22,260,=7*31=0.^34,зб,37с1:С1==0.7^3'функциидляпслучая2=задающегоE.16)E.23)КТ=частоещеК12К22=рангабытьможетs2)J3)гдевкомпонентывведеныбазисеё,-.\=/К11К12К22К23вектороводно,представ-третьеК23E.31).линейнойвведено\\К13т.е.К33/такжеК12К,=К13\представление(третье)Матричноепричемвиде:\сим.второгот=1:2,выполненны-E.30)матричном/К11(К)2П=Kij=Kji.используется-всчитатьтензоровилиКтензорапприбудемзадающихрангавторогофункцийиндифферентностисимметрииДля'•линейныхКпредставление0.линейныеслучайусловия=изотропия=условиявыполненными7^3-=0.=Рассмотримкромес1':Индифферентные5.1.7.с1:сингонияТрансверсалъная:с1'Изотропия<2зз,35Оюдз?17,19,20:G28..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
