Димитриенко Ю.И. - Тензорное исчисление (1050322), страница 20
Текст из файла (страница 20)
a'(n))T,=afn)теории§3.4.врангаОх%.изстолбца1)-гопомощьютензоровкоординатстолбец—сn-готензорa(n)образом:компо-говорилоськомпонентсистемеэтогонезависимыхустановленыпредставлениеКомпонентыбазисетензорномраздел.произвольныйвчисломкоторойоданныйпосвященРассмотримQt!. .tnабытьгрупп,Векторноес-Этоп.различныхвпомо-вопрос.числапредставленийматричных2.32теоремедляэлементовчисломс-осталсяоткрытымХ^1стензорноготензоровпространствасовпадаеттакжепостроенияиндифферентныхОднакогрупп.размерности-способуказали1$тензоровочевидно,амыпространствевкчислетензора4.1.10-образующихпомощьюопп.4.1.7винвариантыиизVa(n-2)'a(n-2)'a(n-2)/>Va(l)>a(l)первогокомпонента'Л' Лп~1уровняfi11**'71:тензора*i,. .in-i=)•>аA)1,2,3.имеютдлину,равную§превращение"Т"столбцова(п)порожденЗнакЧисло4.2.независимыхкакздесь,виозначаетранее,Приведемговорить,столбецстолбцакоординатноготензорапревраще-координатныйft*1—ln.формированиядля215-чтотензорапримерспособомтензоратранспонированиеБудемстроки.компонентамиуказанныминдифферентногокомпонентвторогоftрангасука-аB)^компонентамиD.49)Линейное4.2.2.Очевидно,чтоПрипреобразуютсямножествовсехлинейныхС^пространствопреобразованияхформулепостолбцовкоординатныхлинейноеобразуетуровнязаданногоА^преобразованиеD.2):JlСпомощьюматрицыстолбцовкоординатныхА^n-гоn-гоуровняа(п)fi11—lnкомпонентыD.50)Jnвведеннойуровня,этоЗп./_=размерностиC.1)координатзадан-а(п)C.44),поикоорди-записатьможносоотношениеввиде:матричнома'(п)а'/чгдеП11—1пкомпонентамиftтензоралинейногоасебя,преобразования.4.2.3.А^n-гоуровняИндифферентныеЕслилибоnflтензорGsпреобразованияхD.50)видаСпредставитьAlj-помощьюестьматрицапроизвольная(см.матричнойнеIхлинейногоэтогоуровнякакой-вменяютсяпро-трехмерномлюбыхприпреоб-D.52)порядкатретьегоD.51)записиобразом:(п)=ва(п)а\.
.А\п'1"*»,=I-D.7)):формулуматрицаследующимZотносительноfitl#-*nкомпонентыЛ^столбцовпреобразованийQii. .uгдекоординатныхиндифферентнымявляетсякомпонен-преобразованиеn-гоортогональныхеготопорождаемыйXх.С^векторыгруппыпространстве,D.45),координатлинейноеопределяетпространстваматрицаD.51)видасистемевD.51)СоотношениемерногоЛ<">.а(п),столбецкоординатный-=соотношение(п).изGs.группыD.52)можноD.53)Глава216ОпределениеудовлетворяющийназовемИндифферентные4.Вектор4.3.индифферентнымD™относительноЭтотинварианты1-мерногоа(п)дляD*53)итензорылюбыхС^п\пространстваА™матрицизп-оговекторомD™,группына-относи-уровня.очевидно,вектор,индифферентногокомпонентамипорожденft11-1".тензораСравниваяформулуиндифферентныйD.53)АматрицывектороввекторА{ап)преобразования,Азначению1,=собственныхдлясобственнымявляетсяа(п)собственномусоответствующимB.78)соотношениемслинейногополучаем,чтовектором,соответ-каждойдляин-матрицыаЕслисобственноеже2.16теоремамСаразмерностиСаможновекторПусть(к ^ га),Ah'векторовэтихобозначимкакихСогласноко(п)ек,.
.2.18,теоремеэтоминдифферентныйсвекторэтихнулю).иравноe^nпервымимат-всехкЭти. ej ..поэтому,.оболочкаизС^подпространствовТогдаС^п\Назовемлюбойможнообразуеттакженихегоин-индифферентныйоОп\принадлежащийа(п),векторовдлябытьможетлинейнаяfc-мерноеподпространством.индифферентнымкимеется.em.оинвариантноеподпространствевсякийодновременносовпадаюто(п)егВе^(числоD"соответ-подпространствонего.векторовсобственнымиобязательноА^п\матрицытогдачерезсредигруппыне.е\?\.согласното,s,инвариантноеС^п\е^являютсяизвекторывыражатьсятеперькратностьпространствебазискоторыеимеетобразуютзначению,выбратьбудет1=собственныевсет^«ва(п)матриц2.17,этомусоответствующиеАзначениеивпредставитьвидесуммывекторов:км/8=1D.54)ФормулаGs.тоявляетсяПоэтому4.2.4.иискомоечислоПриведениекнайдеммыеслинайдемnftтензорачислокD.19)формулыаналогомматричныминдифферентногоразложенияпоэлементоввматричногогруппыe^nбазисекомпонентнезависимыхраз-базисутензорному,тензора.
.ej.n,пП.представленияквазидиагональномувидуоРассмотримеговекторов,базискоторыео(")егподробнеео(п),. .ексоответствуютвведенноеобразует?(п).подпространствосистемуодномуiА:Поскольку-линейнособственномувекто-независимыхзначениюА=1§Число4.2.любойдляиндифферентногокомпонентА^матрицы?>",изблочному5,B.83):видуEkкхЕсли(Ifc), Af22—квадратная~векторАаматрицA'l2fc)-ro—toиндифферентнымА^размеромматрица~порядка.индифферентнымотносительновсехвектор5-а(п)=а(п)будет(IматрицаjD",группысуществуматрицуD.55)порядка,являетсяа(п)приводит=k-томатрицаединичная-2172.14,теоремекотороеSгдетензорасогласното,преобразованиеневырожденноесуществуеткнезависимыхD.56)относительноблочныхвсехА^п\матрицтаккакА1(п)а'(п)•S-1=А^••SS-1•5=a(n)•=а(п)•а'(п),D.57)т.е.D.58)Теоремаблочному,ТДляЭтаиккакееможноS~1T)T•Lнановую/-гопорядка.2.12,теоремесогласнотогда,треугольнойнеособеннойпроизведениявиде.S-1TL.LT^=Lматрицыdet1-гоLфновыйвведемпорядкаD.59)0>a'^I^.a'^G-1-^)иблоч-транспонированную:ееэтойпомощью5"Т,•55Тположительно-определенной,•и=вs-iСматрицусимметричной5являетсяE"ктольконепривестирассмотримпредставитьматрицыможновиду.доказательстваматрицатакА^Матрицуквазидиагональному4.4.новекторD.60)матрицуА"М=L-1¦Л'<">•L=G-1•AW•G,D.61)гдеG=S-L.D.62)Глава218_Покажем,А"(п)чтоLматрицутожеблочномвитензорыблочныйимеетповиде,действительноматрицИндифферентные4.D.55).видB.43)правилуинвариантыПредставляямат-блочныхперемножениямат-получаем:IL|122.L22\±11L220V-4220А-12In—12L2210|ЕкD.63)A'2' 22jChгдеупр.2.2.6);к) х (IL^1и?22L22иZ12Z^1,fc);-матрицыGМатрицаG-GTТогда=и(Iхfc),—А^а(см.(/размером*•?22~матрицасамомА^11^посколькуделе,А"^умножаянасвоюполучаем:Ап(п)==Учитывая.GGблочнуюА„(п)т¦¦A(n)^W—D.64)матрицей,В^225.5-1.5-1T-5=^n).=п.3.4.2).Х^1=ортогональной(см.ккак5-?.ZT.5являетсятранспонированную,х^•12так=ортогональнаяА"{п\^5-Z.E-?)TА"(п)матрицытреугольныеортогональная,-кразмеромикразмеромA-к)хA-к).матрицыверхние-Ь^=-треугольныеверхние-••A(n)((?-i.=GA(")Tструктуру•GT¦•A(n>TG~1T(G-iG)..•=G~1TG'1D.63)и=¦D.65)Gматрицыортогональностьполучаем:7пТАНг22,^22'^227пТD.66)-§Число4.2.Последнеенезависимыхравенство^22*^22квазидиагональныйD.66)вEn-ki="индифферентногокомпонентт.е.возможнотензоратолькоА"^матрицаА'22ортогональная-ОD.67)нальномувидуD.67),жематрицувсечтоАаматрицыGАа-jD"изВТеоремадлявсехкразмерностииндифферентными^.
I,относительноGs,группыПритоэтом1размерностиEk),матрице4.2.5.это(т.е.имеетсяКаждойАап'матрицеАаматрицклассификациипредставлениегруппып.3.4.4,Gs.приводимым.индифферент-Ааппредставленияприводимо.матричногопредставленийразмер-единичнойвприводимом,мат-fc.числуравнопредставлениеjD"изАа^матрицута-подпространствоматричныхэлементов-блоковматричноеквазидиагональнуютакихиздиагональныхПриведенноеявляетсяпредставлениеввидуп.3.4.4,являютсякоторогоматрицсодержащихсяозначает,квазидиагональномунекотороенеприводимыхчислоЭто.теорему.матричноечислоАаGsгруппыэлементывсех(см.однозначноклассификациейоСодинпреобразованиксС^SпоимеетпреобразованияневырожденнымАавявляетсяD.67)вматрицследующуюЕсли4.5.определяемаясоответствиидоказалимыG,°(П),.
.efcматрицаприведеныпредставлениематричноеФактически2.15,однимбытьмогутC.54)).(аналогичнотакоеG•Ейматрицаобщейявляетсяо(п)егдо-квазидиаго-кстеоремематрицасогласното,,привестибазисединичнаяСогласноиАаматрицпосколькуто,к.2.12),теоремук-томатрицаединичная-можнопричемследовательно,а,преобразованиемгруппаАапорядокD™имеетсякаждуюап\1лвсехдля5,нас22,^доказана.утеореме,Ло'Ейаматрица,ТеоремаПосколькутотобразуетобразуетпоставитьможно=GАап^•группу,•G.D"nМножествоjD",сизомернуюсогласнои,представле-матричноеприведенноеква-соответствиевоТеоремаиндифферентного4.6.относительно?"'п),подпространстваРазмерностьгруппыD's,равнакразмерностиоСгъранстваиквази-вид:доказаннойи0=имеетОобщимАеслидействительноЕкпричемпорядка.219С^п\индифферентногоотносительноD".индиффеподпро-всехГлава220ТДляповекторытензорыегбудутвекторы0(п)ек,.
.оОп)вобразуеминаD.60):CW^,Этиинвариантыи0(п)базисвыберемформуледоказательстваосновеегоИндифферентные4.D-68)-I,-*.относительноинвариантнымиDsгруппытак,какОниявляютсятакже0//(п)оболочкаизвекторовиндифферентноеиндифферентный^его,векторнеразмерностьjD,-независимыйс/•(ге,-снайдетсятогда,-линейнонезависимыйо(п)индифк.меньше"линейноек+1относительно°"(п)1..ивекторм1=Пусть0//(п)е,-к)ин-efc+1=индифферентныйиD»\относительно^vл(п);'о(»)ek+iо"(»)(п) f'G'-AK_•/(п)i >-G=G-Aek+i°"(n)A"Ww/Гп)^G=•такневозможно,содержиткакмаксимальноесистема•таких•Gо"(»)•=efc+1o(n)efc+1ian^D.70)efc-+1,=o()е1числох°'/(n)^G=efc+1oWчтоС"^п\подпространство0//(п)одинD.69)линейнаяо2?"ещеG-e^+1,Поэтомунезависимыми.образуете,относительносуществует=линейноипоек..со-предположениюПолученноевекторов.противореочиедоказываетутверждение,к.равнаСвойствоэлементыПоскольку„et-е,-можно(г=1..
/)0//(п)его"(п)имеетвид:е,-=(ef-С^какС^,компоненты(см.упр.4.2.1).По-столбцы,координатные-),. .,е,-рассматриватьпространства°С"^пКподпространства.ек.пространствао"(")представленийматричныхбазистеперьei?"(п)подпространстваортогональностиРассмотримкаждыйразмерностьА4.2.6.гдечтотоD.71)i=l. .fc,внекоторомбазисе§ВведемП(е-=b|индифферентной,,. .,е-/ПизВведемобразуемстакиндиф-икакА11^.матрицытолькоточечныесо-группы,элементов.рпроизвольныйненулевойвида:следующеговектор@,.
.0,c*+\. .c')T=D-74)сумму:помощьюегоD.72)независимойD.67)видc<">и,параграфеэтомчислаодинкомпонентыt>k.вконечногоещеD.71)0,далеесостоящиев221i=l,. .fc.DsквазидиагональныйучлиРассмотримобнуливлинейноявляетсягруппыt,тензора. .,0)T,,0,очевидно,относительномыb|к векторовI,. ./:системаЗдесьиндифферентногокомпонентсистемуfc+—b[n)ЭтанезависимыхновуюjприЧисло4.2.ра=1гдесуммированиеВбудетэлементамD.67)будеткпервыенулевымииндифферентнымкакbtn^вп)•с(п)Вектор(гэтоневозможно,ТогдаизсистемуDaгруппыочевидно,l,. .fc).независимуюЭтотDs:всегдагруппыгруппы.b^n),=вектор¦с(п)=ь(п)'элементовпроизведениегруппы,элемент,с(п).группыЕА°{п)=иа=1свойствсилусновакаккомпонент,а=1такА"матрицыотносительно?)даетDa'.группыформыиметьt>(n)векторвсемквазидиагональностисилуb(n)поидет,т.е.к -fявляетсялинейнополучается,что1 векторов,С"^п\Ып)векторЬ<п>=0.базисомлинейнопостроилииндифферентныхпринадлежащихследовательно,снезависимыммыне-относительноНо,долженсогласно4.6,теоремебытьравеннулю:D.77)Глава222Если=иусловие(cfc+1,.
.D.77)сненулевойдля,с')т,тоD.75)учетомчастиновыйполучимс^п'вектораприметкак(IразмерностивекторD.67)иинвариантыитензорыобозначениеввестис'Индифферентные4.—&),вид:рсЛ22аи>—V*'10)а=1А'ззагдес',векторов(Iматрицы-СоотношениеD.78)к)-го—порядка.выполнятьсядолжночтоочевидно,любыхдлявозможноэтоА'2'2аненулевыхеслитолькоD.79)0.=а=1Этосоотношениесвойствомназываютматричныхпредставлений.болееобщихдетальноеФактическиортогональностисоотношенийследствиемпредставлений,ортогональностиизложениенайти,можнокоторыхматрич-являетсяоновнапример,43].4.2.7.ВыводИзформулысвойствахарактерD.79),ортогональностисуммыА'^аматрицде-[3, 7, 30,39,кчисладлянекоторыхболееравенвчастностиха-чтоследует,нулю:р()D.80)а=1Тогда,характервычисляя*(?таккак<(п))Теоремасовпадают.Т4.7.Характерытеоремы(см.АИспользуяип.2.3.5),V(X)окончательноследующуюD.81)Рк,=представленийчтотого,матрицизоднимпереходимкосновнуюкоэффици-всеизомерныхявляетсяD.81)получаемк.равенизследуетв*матричныхматрицы4.7,теоремуполучаемследЕ=,а=1Ейполиномова%и)изомерныхэтойDsиза=1матрицыхарактеристическихкоэффициентов.л(п)АаединичнойСправедливостьсовпадают+х(?х(Ек)а=1характеркоэффициенты?=а=1Ааматрицсуммыэтихсовпа-коэффиматрицхарактерамтеорему.Число§ 4.2.п-гоGSfквычисляютнезависимыхпотензоракомпонентиндифферентногоследующейранга,индифферентногокомпонентЧисло4.8.Теоремалюбогонезависимых223пПтензораточечнойотносительнолю-группыформуле:D.82)).Этоиндифферентныхкчислоравнох(Аа)СлучайДлягруппы(К0 ^отрезкеНапример,=2иматрицА[х](ф)D.82)всехзамененинтег-••G37трансверсальнойклассакаждыйизотропиинесколькосодержитэлементконтинуальныхточкесоответствуеткоторых27г:/ССзз-группыА[2]{Ф)фз>=поставитьможно•группаф ^длябытьпереборподгруппам.G33штук),D.75)идолженнепрерывнымКаждаямножествв=1,А[х](ф)Фз-^з=исоответствиеQ^=ТогдаТ-Д-G34:группыдлякаждойп-гоматрицыизтакжеквазидиагональныеD-84)матрицы:|5п)'ВрезультатеТогданепрерывныеполучимb^n),векторtг,=jD,группыD.75),саналогиипообразом:D.85)l.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
