Димитриенко Ю.И. - Тензорное исчисление (1050322), страница 24
Текст из файла (страница 24)
0T,2пОгдегруппыGs,являетсяотносительнотойжеЗапишемЎОткудачтоНаиболееТ3которые,число•Т=I*detTii?22?33каждой-=GsЕи,Gs.группыA3(tn(t22+спомощьюD.149)Е,•+123)T22{Tl2+Г|3)++любойотносительновходиттензорвчис-группы.Ттензора?ц?!з^ (J3(T)Т2=метрическийт.к.Г221?з-проверкой(Т)D.131)симметричногонепосредственнойdetусловиюинвариантами(?,,тензоров=удовлетворяетД(Т2)Т33з+являютсяопределительТA%jобразованныеЕ,•Т32+очевидно,Вводяматрицейинварианты,преобразованийобразующихё,-п:Е:=ан-осямиссовпадающем®относительноприменяютЕотноси-тензораJi(T)группы/(Т)скаляртензора=Тортогональнойинвариантомчасто/х(Т3)е,-,инвариантыметрическогоё,,<g>..сявляетсяГлавныебазисевOtl#l2netl=связанноме,-,получаем,4.5.3./для2пОследовательно,относительнотензораинвариантомGs.группыбазисевиндифферентныйранга,выражениетакжеnскалярнымтензораанизотропииаBп)-готензор-1,^n2nнетрудно-3Ji(T)J2(T2)-Т33Т22+формулепоA.8'):D.150)2Т12Т13Т23,чтоустановить,+2Д(Т3)),D.151)§4.5.откудаследует,ИнвариантычтоопределительНаосновегруппытретийглавныеи\Д(Т2))-D.150)иТг1Т22=скалярыотносительноужетой,толькокоторойобразованккоторогопомощьюТеоремаЎВтакжесамомданный(ТтоможноV{\)=detОG),Аасапомо-тензо-симметричногоотносительновсехAQE)-eQ•=классовТ:значенияхарактеристическийсоставитьG,,симметрииинвариант.собственные-Т223,-от-тензорзначенияАаТ&-инвариантами(класса)инвариантамиеслиТ>2D.152)образующийСобственныеделе,называемые-являютсягруппыявляютсятакt22t33+D.148)-принадлежит4.22.тензора Тсимметрии.введемТцТзз+произвольнойнеинвариан-(T).D.145)вявляетсяинварианты:I3(T)=detОстальные253такжеGs.D.149)инвариантоввторойпервый,тензоратензоралюбойотносительноинвариантомсимметричногоD.153)0,полином:(TАЕ)-{%det=Щ),-D.154)тогдаТ{\)(Тзз-(Тп==/з(Т)V{\)Т„ГззА/2(Т)=(А:=Т|2Т33А2/Х(Т)А)(А2-Сравниваяинвариантамиэтидвапредставления,-flzА2^Т222+2?з)-(Т22--А3А)ТХ23--Цг)-+=D.154а)представитьможно-А2А3)-Л)Т|3-А3.-А)(А3(Гц-Т\2-Т{\)полином-А)det(T)-++стороны,Ао:Л)(Т33-2Т12Т13Т23++-С другойкорниЛ)(Т22А)!*-A(Tut22--А)+=-А3+черезА2(АХ+А2+А3)D.155)AiA2A3.находимкор-егосвязьАомеждуи/а(Т):/3(Т)=D.156)ин-Глава254Откудакласса1^(Т)какЛ*(Т)иотинвариантыотносительноинвариантны4.5.4.системысобственныелю-АатензоратакжекроменезависятАГамильтона-КэлиТеоремаАаПосколькухарактеристическийсобственнымиявляютсяТогдаD.154а)иззначениямиV(X)полиномТ,тензораАкаждомприАа=тообращаетсявимеем:\3a=Ii{T)\2a-I2(T)\a+h{T),D.157)=1,2,3.aоТТензорD.156)изтокоординат,значениякоординат.системынуль.какзависятнечтоследует,отитензорысимметрии.ТактогоАа,чтоследует,любогоИндифферентные4.разложитьможнособственномупоA.173):базисусогласноеа3Т?=<g> еа.АаеаD.158)а=1РассмотримТ2иимеетаналогичноеместоТ2степенитензорныетеперьТ3иТ3.ВA.180),силудляразложение:лD.159)2,3.=а=1ЗаменимтеперьразложениивТ3дляА3коэффициентыихвыра-D.157):выражениямиТ=?Д(Т)Х2аеаеа®?J2(T)-а=1AQea®е«+а=13.Х.+еа/с\0Хеке/>1D.160).1/?л\а=1ЕслиТтензорнеособенный,то,Г2Есливоспользоватьсяуравнению,уравнению=D.157),утверждениеh(T)T2Ji(T)Tесли/2(Т)Т-формепокоторое-состоит-представлениямиТ3вместоследующейD.160)умножая+/2(T)E).D.158)и+поставитьтеоремы.Т,получаемD.161)D.159),токпридем/3(Т)ЕD.162)аналогичноАанахарактеристическомусамтензорТ.ВэтомИнварианты$4.5.___4.23ТеоремаD.162)Из(п3)>Неособенныйхарактеристическомууравнению.важныйследуетчерез255удов-тензорлюбуювывод:тольковыразитьможнотензора(Гамильтона-Кэли).своемуудовлетворяетсимметричногопервые/2(Т)Т2+ТпстепеньтензорнуюдвеТ2,степени:ТЕ,инапримерТ4=Т3=h=(J?Т•/!(Т)Т3=(ДТ2--/2Т-/2)Т2+13Е)(hl2-=/2Т2-1з)Т-/з(Т)ТJ+т.д.иФункциональные4.5.5.базисыСредиНижеD.145)симметрии(Е){l[8\симметричного-D.148)-(Gs).В}.
./гискобкахжонокл«нкыйкласспомощьюпредставленоявноеTJjклассуинвариан-выражениеТтензорабазисевё,.класс:Т22,Тзз,Т23,t12}.Ты,D.163)класс:{tu,-скалярныхспостроенныефиксированномукомпонентычерезТ,соответствующиеа(О)длянезависимыхтензора{Гц,(М)выде-инвариантовбазисыфункциональныетриклинный-интереснезависимыхсимметрии.1анаборовпредставляетфункциональноприведеныинвариантовинвариантоврангаинвариантовнабораклассакаждогоинвариантовмножествавсегополноговыделениенезависимыхвтороготензорасимметричногоТ22,=Тзз,j|M)1,2,3;Г»,.Т12,1Т=•-О3,D.164)Т13Т23}.ортотропии:T.-elа=1,2,3;/<°>=(ef•Т)••(ё§•Т),Глава2564.?22,{Гц,(Т)тетрагональный-ИндифферентныеитензорыТ23,Тзз,t23,fi2T13f23}.2?зТзз,(^з)-4T)=det(T),+Г|з,TfiTla,+Т22,+Т23Тзз,ромбоэдрический-/()+f|3,Т& +1222)T!2,7<)т(АJТзз,Т13ромбоэдрический+Т23,+2Т!22,=det(T)}.D.167)Т1з(Тц2T12Ti3}.D.168)i1г(Л)9Т(А)2_-Т23(ТП-Т22)Т22)—+класс:J?*>=#\{ТцD.166)а=1,.
.4,б;(Е-ё).Т--(ё.Т),=Т22,-(T)}.класс:r(>l)_T2..F(В)detкласс:=4Т),(Л)^(Гц-Ти),квазитрансверсально-изотропный{ГцD.165)класс:т®Т----ПЗЛ,{Гц+Г22,инварианты+4B)=det(T),в=1.. б;Т22,Т33,Т2!+Т23Т222++Т23, Т13(Тп2Т22, det-(T)}.Т22)-2Т12Т23,D.169)§__(К)квазиизотропный-l[Q)I{2Q)Г22+{Гц(Тз)2?з)+Т®+гексагональный-4«>••Oh•-4Q),Т22,+Т23Тзз,Т223, Т2!+Т224.24.Теоремафункциональный-=г=2Т22,+о=ДляGs35СIдлядля(T),+3^,D.170)(T)}.detD.171)1.. 5.D.172)1,2,3.D.173)группдлявсехтензорасимметричногонезависимыхизсостоитGsGsгрупп=7базисгруппыгdet=класс:/)-(та-.Е-.#изотропии:класс-4Q)+43)=4Я),(/)I=класс:трансеерсалъно-изогпропный-257Т\х + Т\2 + Т3231 Т22 + Т23 + Т223, 2?х + Т232det+ Т223) + Т33(Т%+ f23),(T)}.Г22B?2Тзз,+?тензораT®T----Oh,=Т2={Гцсимметричногокласс:T..E,=(Н)Инварианты4.5.гТрангавторогоотносительноинвариантовгдеэлементов,изотропногокласса,трансверсально-изотропногогексагонально-игексагонального классов,-г6=остальныхВкачествеGsЎКакрассматриваемыепо9этихбытьмогутиранеегруппыбазисавекторамТензорноевыбраныбудемGsисчислениеGsгруппI.наборыопределенностиТогдаопределениягруппD.163)всерассматри-направленныманизотропии,D.131),D.173).-чтополагать,осямгруппысоответствующихинвариантовсоответствуютё,-.ортогональнойбазисовфункциональныхдляполнойD.132)скалярныхГлава258Индифферентные4.второготензораинвариантовитензорыТрангаТ^ё,-=образом:следующимМА^\^ТПосколькунезависимыхтосимметричен,-ftJкомпонентвсехдляРассмотрим1.13,симметричныйзначенияА,существует(г, j(sGsгрупп39)1..=GsгруппыизклассакА%матрицавD.174)болеешестинеза-4.17теоремеСогласноI.теоремесобственныхвещественныхбазисТогдае,.связывающаяу,D.174)соотношение6.<С.г6.=собственныйортогональная1,.=согласноизотропиитриимеетортогональныйиане^гзаписатьможноGG,,поэтомучислоТтензорПоскольку1,2,3),=ej®имеетсянегоуинвариантыёу:се,-ejА*уе,*.местоимеетклассеизотропномсущест=дляолюбыхТакдиагональная,ОтсюдабытьзначитВместо3.=Л*(Т),инвариантыРассмотримПредставимТтензор=Т2ТензорТ2виде=является0вТ*'ё,-Tj38i3+0ej0Т2будуттрансверсальнойтензорак0осиортогональнаяполежатьвё,-=причемвекторов.jфез=видаоsinфD.175)имеетвещест-толькоОх3.>ОПредгдеAiдва:собственные,плоскостиА%матрицаA\ej,1.13изотропииочтоТз.Тг,-f1,2.нихТогдатензора.cosтакая,D.156).ёу,=теоремеизосуществуетI, JненулевыхTi=0ej,иносамогоструктурыТT33Si3S3'3)ei-fIJej=значения,силуe2{Ti3Sj3главныесоотношениямитензоров:симметричнымсобственныевещественныевыбрать/,классевклассдвухНотензораможноА,-ссуммымо-А,-.-базистпрансверсалъно-изотропныйвТгрыei,ортогональнойсвязаныкоторыетеперь1,.
.г.=инвариантамибазисакачествеаскаляровтрехявляютсядиаго--классафункциональныйобразуютА,- вониг-Аа(Ти")4.22,теоремеjxT%l31А2, А3),tlj..изотропноготолькосами-..A7li^(Ai,1афункцияо.А%==инварианткакСледовательно,А2,любойпредставленсогласноТ.1^\тз)получаем:чтоследует,можетаматрицае,Т%3компонентА%выбратьможно•°D.174)из<А*качествевобазисевкактоматриц,ортогональныхивекто-ei,Следовательно,ё2,ор-Инварианты§ 4.5.ТгТензорTxjmiA%kA\Tkl=своюсохраняет°7?2=симметричного°0e,-а0диагоналей,Tiтензорвпоэтомубазисеэтомсохра-оsin<^оsin^—0оcos<^sin<^—sin<iJt13cosТогдаТтензороTijТ23Т33фТ23cos=sin-следующийимеете,-Т%_,Тк1кА>vТ33.=вид:Т13>Т23О.Т?=пятьтолькосодержитфТ13,fIобазисео.А*=\Х0фТ23,sinвi0COS<^+Т2323о0=Т13ПUОсойфТ13Оrpl31ООП.U000т.е.е,структуру:СОБфгде259°базисевe,Y?x=i^c*u%q8jq,=тензора+А2=Посколькукомпонент.ненулевыхматрицаоА1преобразованияпринадлежиткоказываются выполненнымикусловиянезависимыхинвариантовдоказательствамынамтеоремысуществуютпятьнезависимыхпокажем,Ттензораостаетсятаковымиможетпревышатьтолькопоказать,не-числоДляпяти.чтосущест-НижеТз-класса.D.172).инвариантынапример,Я-классадлятеоремыоказывают-насукоторойотносительноявляются,ДоказательствотосогласнонеинвариантовчтоТз,группе4.19,теоремыкачествевоставимупр.4.5.13.ДлясовпадаетостальныхсклассовмаксимальнопостроитьвфункциональноиОбыинвариантыДляоднусистемы,системыдоказательстваиТ1-7,темсовпа-функцио-D.163)впостроеныизследуетинвариантами,каккотораякаждыйизневыполненосамымнезависимостиD.164)D.163),инвариантовтаккомпонентушестиизсистемут.е.достаточнонезависимость.независимыми,хотянамсистемыявляютсяихМЕ,классахявляютсяоднуТакиесистемыэтиПокажем4.21.теоремыВчто6,=инвариантов,быхотяинвариантов.То,гпосколькучисломклассекаждомнезависимыхD.173).-симметрии,возможнымвходитусловиесистемысодержитинвариантоввD.165)иостальные2°инвариантовтеоремыинвари-4.18.D.166)вГлава260.Т-классеИндифферентные4.частныхматрицусоставимfпроизводных:100100000000Тц0T2-JE?i3обозначениевведеноT(T),j.detВычисляяДПосколькувсегда4(Тц=Т13В23).-ф 0,Дчто=находимматрицы,7^-,T)/3TIJ5(det=Т22J(Т23В13-такиесуществуютB-Bijопределитель(д1а/дТ>)det=00этойD.176)0В2зпроизводных:для1002T22-Tl2Б2202Bl202T2302T1302ГцTiaЗдесьинвариантыитензорынапример,приD.177)Дполучаем-468),=независимостьАналогичным{dla/dT1*),D.167)D.166).Матрицыобразом,составляячастных\dfijвпервойи010000001002T1302t2300004T12В\22T22B22B\3B230изо-\/B3301-2t23-2TiВ13B22столбцы,(T11B33столбец,получаемT22)+B23четвертыйматрицешестойклассаи0цпятыйклассов10Вычеркиваяинвариантов0-2f12четвертый,шестивид:2TUВц\T3следуетпроизводныхизif,дляимеют4.17теоремычастныхсистемпроизводных/изматрицуD.170).соответственноизотропии6,—независимостьдоказываем-(д1а/дТ%з)rangтосистемыаматрицывовторойпятого-иИнварианты§ 4.5.порядкатретьегоD.177)ДТз-классы#,теоремуразинвариантовВ силу4.17,D.171)выразитькВышебылачерезихмешаетфункцииD.147),-группыявля-G,,могутсоот-цинвариантовотДругиекласса.можновсегдаинвариантыглавныелюбоговприведеныпримерыразделу.инвариантовсистемахТданнойтретийиданномуЗаписьD.145)изскалярыбазиса.ц'черезупражнениях4.5.в.другиенекоторойвидефункциональноговторойчастности,ещеинва-системнезависимостиоотносительноввыраженыВвсеинвариантамисоответствующегоПрименяясоответственно.выводА4.24,тоже26,=3,иделаемD.173).-теоремыявляющиесябытьотсюда-208,=Т12В13)5матриц:этихопределителинуля:Т13Д23)--261чтоот2(Т13?12=этихрангиотличны8ti_2(T23JBi3=ДТ-класснаходимУбеждаясь,соответственно.случаядляматрицтензорасимметричногокриволинейныхвкоординатиспользованазаписькомпонентывзаписатьэтипроизвольнойсистемеОчевидно,a,-Rf"=чтоa'R,-,=достаточноа=•TТ{ jR{=записатьДлякомбинации.ааhIJja,-компонентпомощьюненичтоёа\а\2R,.ин-неповторяющиесяследуеттолькоD.142)извектора<цР^=<g>=а=1а2аa®=ПереходсоднойучаствующиебазисеR,=P^R,-R7,=т{кзаписирангаподобнымjf13f23=1,2,3.а,/3,7=криволинейнойсистемеспомощьюQfR*.записать'"ад?,вуа;осуществляетсявторогоможноф C фочевидно=тензоранаборах,аёаиD.178)ща>РМ?,=aiajPtpQ'j,вёаполныхтаа*Ъ*.-ё2а==записисимметричногов-Slaбазисамиформул:изДляa-откоординатвкоординат:аинвариантныестензораиОднакоё,.базисеинвариантыавектораинвариантовдекартовомT/Tb'PiQlpbQf,участвую-инварианты,образом:jD.179)Глава262Индифферентные4.Г12?1зГ23fuПризаписиГ,=f22+использоватькомпонентыTJJ,Т^(ЩэтомнеР1Я]).+криволинейнойиз-зачастностиприинвариантыPiQJPfQfPFQlболеекоординатсистемесмешанныеименновинвариантыiTjTj=винвариантовудобноитензорыкомпо-ко-контравариантныевторойпервый,чтотого,итретийин-изменяются:3Л(Т)=Тц+Т22Тзз+=? TiJp«QjТ1г=Т22++тз3,D.180)а=1/2(Т)=\{тцъJ3(T)=det(f«)=det(Ij'jdetЗдесьучтеныностьякобиевыхматриц:Записьинвариантов4.5.7.Частоформулы(Pjj)det=QfW,aфизическихвзаписьфизическихс|а|2,/а(Т)неПереходизменяютсвоегокA.238).формулпомощьювидаикомпонентах:D.181)T?o,а=1=detгдеаае,-координат.-физический=Оф.-е,-,(ортонормированный)Т=Тф/е,базис0де-винвариантовкомпонентах.осуществляетсяинвариантывзаимообрат-такжекомпонентахсвязатьиC;^").det=Sj.=вкоординатчто(Qy)ёаP^Q)компонентамфизическихiнеобходимостьсистемеОчевидно,\=перехода:возникаетдекартовойфизическимj?(t))-D.182)е,,криволинейнойсистемывИнварианты4.5.Остальныесимметричноговинвариантытензорафизических.263компонентахзаписываютсяобразом:следующимзЕ/3=1Гр?Я5>/3,7=1DЛ83)е,<г=1Инвариантыимеюттензоравид:3/р^й79(ТСГ?j<7=1/3,7=133D.184)33ит.д.УпражненияУпражнение4.5.1.Лазначениями/2(Т)показать,чтоИспользуя3/2(Т)имеют4.5.соотношениеТ,тензора1- ((Ах=местоследующие;-А2J/*у(Т)междуположительно-определенного-§к+(А2-неравенстваАзJдля3/31/3(Т),/2(Т)72(Т)? 3/2(Т).^+инвариантов:3/32/3(Т),исобственнымисвойствотакжеа(Аз-А^2),Глава2044.5.2•Упражнение/з(Т)Индифферентные4.Показать,второйчтополныйчерезвыражаютсянабортретийиAM)АМ)Т(М)т(мит(м)(т(М)_класса(М)\(AM)Am)am)J4—Т23скалярAM)AMJhтакжеcyAM)ZIe+Jsявляется4.5.3.являетсяполныйнаборУпражнение4.5.4.^(Т)такжеАО)1^iкласса_черезОклассаявляетсят.к.(т.е.выражаетсяt{OJ/(t(O)t(OU/Нчтополный)h|Ti2|,скалярынабор\ТцТцТ22,инвариантовтетрагонального:1/2AT)3поэтомуявляютсяинвариантамивы-проверитьт.к.независимым,:Показать,выражаютсяМ-класса,ортотропногоТ2i2i~скалярнеужеинвариантов^//i5чтоноAM)JMJ-iiI/Т(М)^6—относительноD.131)),условийчерезАМJ_Проверить,инвариантомвыполнение2\относительноинвариантом-^23УпражнениеhТ(М)»Ф2иследу-am)hа/2(Т),инвариантымоноклинногоинвариантовобразом:следующимаинвариантыитензорыотносительно(Т)АТJЦ_ог(т)_-класса.г(т>2'—Т22|,§ 4.5.4.5.5.Упражнениеотносительночто-j-4T^2,T11-^22~Ъ~Показать,2^12,~Ъ~из~классачтоа(т„являютсяпоэтомуУпражнение-j-4T^2>aУпражнениеT11T22T33,выражаются=полныйнаборDТцТ22полныйХг(Т)ТпТ22чтоТ?2,—набор(Тц—В-ромбоэд-инвариантов/-у+Т22Т33Т11Т22скалярывыражаютсяклассаIq)-:черезПоказать,также-квазиизотропного(Тц:4.5.8.аТ^,-(А)скаляры+полныйчерезT22T33набор:+Т„Тзз=AQ)i(/|QJвы-инвариантами(А)-класса.что/г(Т)ичастностичерезотносительноПоказать,/2(Т).ТутакжеТцТ22-Lат+инвариантами4.5.7.классарическогот22J-ввыражаютсяХуклассаТ221—являютсяпоэтомускаляры/г(Т)такжеА-ромбоэдрическоговариантов|Тцкласса;4.5.6.265ТцТ22,скалярыif/унабортензораквазитрансверсально-изотропногоУпражнениеКсимметричногоПоказать,полныйчерезражаютсяиИнварианты-4Q)),инвариантовин-Глава266иявляются4Т12,4.5.9.а/г(Т)/<утакжеХуилиУпражнениеigвсегдав4.5.12.тензораУпражнениеУпражнениетеоремы=несимметричного4.5.13.4.5.14.4.24,доказатьпоказанов—Т*2,{Тц4.5.7,упражненииТ22J—НинвариантовииТз+клас-являютсяклассов.чтонепосредственно,1±инвариантыиD.162),формулу/з(Т)чтодоказать,всег-виде:^ (Д(Т3)-Показать,Т.lf(T)чтоДоказать+4.24инвариантов.D.162)описанныйметод,системZh{T)h(T2))формулатеоремуИспользуянезависимостьнабор(?з)ИспользуяпредставитьполныйD.131).4.5.11.УпражнениеиПроверитьусловиямудовлетворяютможнокак(Н)1з(Т)дляобразом,жеТцТ22скалярычерез4.5.10.Упражнениечтовыражаютсятакиминвариантыи(JRf )-класса.Показать,относительноинвариантамитензорыотносительноинвариантамиУпражнениеклассовИндифферентные4.дляимеетместотакжеиЯ-класса.приD.167)доказательстве-тео-D.170).ГЛАВА5ТЕНЗОРНЫЕ§большую(ffi3)функциейга-гои(М3)законыОтображение7з(К3)пространствопТкак:принадлежа-рангов,Всоответственно.соответствиямеханикемеждуразлич-функциями.тензорнымиобозначаютиn-го7^играют5.1.втТииназываемыеОпределение7з(Ж3)рольтензорами,различнымиnS7зпространствамфизикефункциитензорадвафункциитензорныетензорнойРассмотримпринадлежащиеиЛинейные5.1.Определение5.1.1.ФУНКЦИИтензоровпространствафунк-тензорнойназывают7^(т)(К3)7^(п)(М3)—уиливидевзависимости:nsиКрометТ,формальногозаписьменяетсяприE.1)приЗдесьвследующимnS_"J^системыA.2)E.1)любойпереходеобозначеныmTоднойфункциизаписать=^'i-'-R,-,R(базисвтензоров®®..®R,n.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
