Димитриенко Ю.И. - Тензорное исчисление (1050322), страница 19
Текст из файла (страница 19)
А\...0ё,пп>1,D.2)Глава2024.1.3.Индифферентные4.ОпределениеиндифферентныхОпределениеC.1)такойтоnffcтензорC.1),такойвсеD.2)D.3):иQ,uil-^Afj\=ОтсюдасамD.4)линейныхтензорпре-преоб-матрицамисчтоследует,А*;ё>®ё>.=D.5)C.23),Bjmem®ekА^А\=ииз1.^псовпадаютформулыиспользуяделе,А*;У®ъ=независи-вытекающиеп.3.1.3):<}Qслучаеявляются. .А\ппкоторогоэтомвп?1.являетсякомпоненты(см.Gsгруппузависимости,индифферентнымчастности,самомалинейныхиндиффе-называетсятензоровсуществуют№-•**преобразованийпреобразованийВGs,индифферентныхGsгруппыnflтензоранимимеждукомпо-некоторойсимметриикомпонентыт.к.неизменяемоститензоргруппыгруппойназываютВдляотносительноотноси-D-3)условиетоD.3)индифферентнымтолькопреобразованийНебазисев1?>пC.1).выполненоиндифферентнымQl"i.
.U=Если4.2.п%1~%пнезависимыми,ко-п?1тензоранекоторогоназываетсяпреобразованийОпределениекомпонентпреобразованияхлинейныхт.е.QI-1.. Uотносительнолюбыхпри0,%1"Лпкомпонентыизменяются,неинвариантытензоровЕсли4.1.координатё,-итензорывAk{ ^ет®ел=компонентыперейдембазисахвбазис:А\ е|#®е*.=Qтензорановыйё,-D.6)ие,-сов-налю-совпадают.Используясформулировать4.1.значенийэтогопПиеслитензораиндифферентнымявляетсятолькопреобразованийпП,линейныхтензореслиТПокажем..Q®.. ®QQумножениеиз=Ailkiнеизменяетт.е.B»-1.2n-3f.
.,3,1,2,4,. .D.4),2D.7).иТензоркомпоненты:следующиеимеетG9группыформулировокэквивалентность®относи-скалярноеQQ)Q ®сформули-можнотензора.ТензорGs,группыQ,преобразованийиндифферентностиТеоремаотносительнолюбойлинейныхтензорусловие..А*%пек1®etl®..®ё*»®ё1п,D.8)Индифферентные4.1.D.7)тогдакомпонентномвп^-'^ёг,<g>ё*3х8fc<g>.ё*1этомв0равенствеПолучимтеперьё,пчтоD.7)помощьюс0®..D.9)ё,-п.очевидно,толькоитребовалосьтогда,Адоказать.индифферентностиусловиевек-а:атензораЭтоQa=второгоТ=выражение-а*или.(QQ)C124)®ИзомерныеD.3)ПонятиеD.4)системойСовершенноотносительноX'*координатп'%1"'%п-ппТогда=D.7),которойк(см.п.3.1.4компонентыD.7)ППejmот-ортогональнойдругойсистеме=D.13)всистемеп'^"^А\Х/%:координатП1'1-1"»^иметь=приметппСовер-индифферентные=п'1"л'»,будетПЛ'1-»'«формулировкафиксированнойсимметрии.группак0..D.4)альтернативныестензоры,тензора®также3.2.3):иформулировкааотнесенаопределитьотнесеннойfi' 1-'^D.12)связаныПЛ'1-«'«гдеD.11)упр.4.1.7):(см.видетензора,G,,группыА\.QT.T.Q.=непосредственноможноаналогичноTklA\симметрииж1,координатD.10)GsG=виндифферентностииfijпредставитьгруппыформулировки(A*;)илитакжеможноT4.1.4.о?А{^=Т:рангаТахтогдаи<g>..выражения,выполненаD.4),.
А\А^ё,-,последнееиAinknekn.....будетА\••..О'1-'»^1'^=первоеD.9)einЙ*-'»^=образом:следующим®..0..ё,-т®..формулаформулавыполненавектораи®ё,-а®®чтокогдаetl<8).<5?etlСравниваяполучаем,uh'"jneh=203записываетсявиде.ё,п.тензоры®..®е,Л.D.14)вид:..Ainjn,D.15)вид:=ПП•..(Q/0. .0Q/j1D.16)Глава204Q'гделинейныхтензор-е'1базисевДляИндифферентные4.преобразованийвторогоОдинтотисвязаннойбудетиндифферентнымжеиндифферентныйG,QтакиетоА1но^,ГруппаэтойсвязиИзомерпреоб-матрицыжекобозначениямотличаютсяосейот"/".симмет-произвольногорангагруппусиммет-произвольногосимметрииТ.рангаустановленособственныхтеанизотропиивтороговтороготензорыизомернымиДалеезнакустановимвещественныхианизотропии.добавлятьсимметриитензоратензорабылоКакдругойсизомерными.одниосикоторыхбудемсимметричногоВосиразличныеуОх\симметричногосвязаннойявляютсяназываюточевидно,симметрии,координатбу-неговоря,соответствуюткоторыетакжегруппыG'sиQ',исоответствуют,группампреобразованийгруппывообщеG,,группысимметриигруппам(см.п.3.1.4),4.1.5.относительнох\координатпреобразованийгруппD.17)Х1х.двумИзомернымвид:имеетотносительнолинейныхопределенныйQ'TTQ'.системойкоординатЕслисоотношение=nfl,тензороднойссистемойG,,группыэторангаTG,,инвариантыC.25а)).(формулатензораитензоры1.6.1,п.вТдляАазначениявсегдатриисуществуеттриве-соб-ортонормированныхоственныхвектораеа:т.е.a=lТобразом,такимВыбереме'аеаи=RaijчтоaТ"'Всамом=этотоп.3.2.3)следовательно,Такимвсилууказанные=D.18а)доказана{Е,измененияследующаяDQ).D.18)T/IJ,включаявпереписать-диа-виде:(А%JГ^.D.18а)изиС,i?,компонентыС, RQ,матрицы,можноматрицсоотношенияобразом,безевекторовGs:ортотропиисохраняютсоотношениеортогональностигруппыА\Т'^Но,изматрицывсевид.действиялиниианизотропииЛ'>',Т'*',посколькуделе,гональны,(см.1,2,3=вседиагональныйимеетеаосейпокажем,jDa,ибазисевкачествевD.18)теорема.(^^JGs:группывсегдавыполнены.=1?и,Индифферентные4.1.ТЕОРЕМА4.2.обладаетгруппойрангаДействительно,всех7зn-гоэтомножествосумма(nHi+жепространстволюбыхявляетсяGsтензоровик7зmdimT3(n).ПП7зсум-однойииндифферентна,тожененатожеПосколькучисло.раз-превосходитьможетdimследовательно,ZjпространствевIg=кЗп^=этомупофиксированногобазису:такой,прангалюбойчтоPnfl(p)базиссуществуетбазисом,тензорнымППтензорразложенияп^2Ето,какAСледовательно,fc, называемыйиндифферентный,Очевидно,.тактензораТ$пространства=Тзотносительнопроизведениюподпространстваразмерностьпростран-индифферентныхвсехподпространством,индифферентныхиnftiдвухGs,евклидовомврангалинейноеобразуетподмножествомсамоиндиффе-ранга,размерностиМножествоявляетсяZgnf&2)2.29п3.=Zgрангаотноситсяразмерностина-преобразованийn-готензоровтеореметгруппысамоеранорто-классусобственнымип-голинейноевсехсогласноразмерностичтотензоровгруппымножествоШ3тензороввторогоксфиксированнойконечномерноепространстве1..Множество4.3.пространствотензорпринадлежащейсовпадаюткоторойотносительнообразует=G'8,205базисТеоремаиндифферентныхтойсимметричныйсимметрииТензорный4.1.6.ТПроизвольныйанизотропиитензора.оситропии,направлениямитензорыиндиффевпредставитьможновидеD.19)n?lw=/3=1илик^Jn=E^%'n'DЛ9а)7=1где7/з-4.1.7.коэффициентыразложения.ОбразующиеТензоры,иосновеумножения,собой:междупреобразований GsнаввходящиевзаимосвязанытензорыбазисытензорныеоднойдляминимальныйсуществуетскоторогосложениянаправляющиеитранспонированияпомощьюинабортойППG)группыО,7тензоровоперацийтолькообразуютсяразличныхдляжетензорноговсетензоры7п,преобразова1, 2,.=.&,умноже-ППG)дляГлава206любогоЭти1.>пОбразующиевсе•группылюбойтензорногоО\$netl=Ог$\"\п®любомупов-7базису,напри-своюочередь,®втензоров"Всетолькообразующие17черезПеречислимтензорами.базиседекартовомR,-.базисевыражаютсянаправляющимиD.20)Ru,..l.
.fc,=локальномпроизвольномО,G),Ofcj'-R,-,=образующихвназываемыхё,.т®..1.. 39,=компоненты-O*/"jlnaсложения.иразложитьгруппыоперацийпомощьюR,:локальномутензорыстранспонированиязё,-,относительноО,7тензоровможнотензоры°'Мгдеизумножения,фиксированнойсимметрии);индифферентнымобразованОбразующиепо*(группыявляющийсябытьсвойствами:следующимиотносительноGsтензор,можетразличныйговоря,Gs.группыобладаютпреобразованийGsнапример,О,7инвариантывообщеимеющие,индифферентнымиявляютсяитензорамитензорыони•тензорыО,7,тензорыобразующиминазываютранг,Индифферентные4.тензоров,их:векторы:D.21)ёв,2-готензорыранга:ё*3-еготензорыёа=hQЕ,ёа,0ёр=D.22)ё7,0ранга:з^Td=€,ёа®ё/30ё7,а,/3,7=1Озлei=4-готензоры(ei®®ei-ё2®ё2)ОЛ=ё2-(ёх®ё2Оё2+®D.23)ёх),ранга:зD3dё3=D3/»,®^ёа®ёаёа®®D.24)ёа,а=1ТЛтензорё\=6-го®ё|+ё|®ё§+ё§0ef,аф р ф7^а,a,j9,7=1,3,ранга:D.25)§ИспользуютсяИндифферентные4.1.такжетензоры207тензорытё7Компонентыэтихнаправляющихследующийимеютё7-<g>втензоровD.26)ё/з.базиседекартовомёавид:а=14^^D-27)а=1Компонентыкриволинейныхнаправляющих4.1.8.втензоровXхкоординатахОбразующиетензорыкриволиней-произвольныхупр.4.1.5.вприведеныразличныхгруппсимметрииНаправляющиеотношениюкхх.координатНижесоставленные!•GsгруппамТриклиннаялинейныхобразующиеприведеныизиндифферентнымипреобразованийявляютсятензорыразнымко-тензоры.G29>G\.групптензоров.направляющихсингонияOlG)О2Ы"•отноше-подекартовых{§2,Па}=Моноклинная{§7)=fc2=6,*1a=3,=1,2,3,/3=D.28)1,2.сингонияо°зG)={§/8'ёз)fcsО5Ы3;==О4G){Е,П3,ё^}={ё3,fc3с,=4.П3,ё^}к4=5;D.29)Глава208I I.РомбическаяИндифферентные4.тензорысингония{ё3,=ё?}Е,fc64,=О7G){ё?}IV.Тетрагональная{Е,€,ё^}=*8к74,=D.30)3.=сингония|{E,e3,Oft}=fti3РомбоэдрическаяO10W4,=fcuV.инвариантыи{E,e3,e,Oh}=О12G)=4;{E,e|,Td}==4;ft12=3;D.31)23,=k10сингония§fcisO20G)VI.Гексагональная=O25G)ё|,{E,=O23G)4,{E,=ё|,{E,D3h},n3,Кубическая=3.=D6h},n3,O24G)D6h},c,{E,==O26G){E,=ё3,D6h},с,{E,Ц, D3h},ё3,D6h},D.33){E,e|,D6h}.=сингонияC>28G)O30G){E,=Th}€,{E,Td}=fc2sfc3oтрансверсальной={Е,3,=2,=O32G)ОззG)^20O22G)O27G)Классfci9D.32){E,e§,D3<i}={E,e§,?,D3ft}=O29G)О31G)={E,Oh}=={E,Th}{Е,е,ОЛ}fc32=fc2gk31=2,D.34)3,=2.изотропииё3,О36G)с},О34G)={Е,=ё|, ?},{Е,ё|, п3},О37G)О35G)={Е,4).={Е,4,=сингонияO21G)VII.O19G)3,=k17ё3},D.35)4,§ 4.1.КлассИндифферентныетензоры.209изотропииаСимметричные4.1.9.D.36)-направляющиеобразующиеитензорыВажныйТрангаслучайпредставляютчетвертогоипонимаетсярангасимметричныеП,рангакакRkuijlk=Всеиндифферентнымисимметричные(повыражаютсябазисвобразующихсимметричныхиндифферентны-видеG5,ТензорныйгруппеD.19).О5G),аочередь,своювте,-Укажемтензоров.направляющихба-симметрич-изстроитсявыража-эти(табл.4.1).Симметричные4.1.D.37)симметриитензоровтензорыТабл.TijR{являющиесявкаждойкомбинацийсимметричныеП,базистензоровкомбинацийигруппытензорныйсимметричныхсимметричныхизТотносительночерез==тензорыD.3))условиюлинейноTR,,0ран-п.1.8.4):(см.условийследующих0jтензорасимметриявыполнениевторогочетвертоготензорыэтомпритензорынаправляющиеВекторы:Тензоры2-горанга:Тензоры4-горанга:oQ®ер,=еа.Е$>0IИЗдесьaп.D^dвведена4'(•)операциятранспонированныйозначаеттензорранга:рангачетвертого(см.о1.8.3).ТензорОаобразовандекартовомбазисеё,-тензорасимметрированиемOaВ4-готензорасимметрированияэти=тензорыha+Па:ha.имеютD.39)следующиекомпоненты:Глава210Индифферентные4.итензоры(ОЛ)««инвариантыD.40)=а=1ks[S2S{)(Sk83+(D3p'(=(S[S{+ДляМ0тК:-В-НК-Тъ¦На-\eQj—ОоG)ОтG){Е?=Oj^3G)классромбоэдрическийкласс{ё|}=оЕзл}Од}Од,ёз?=ОдG)={Е,ёз,квазиизотропиикласстрансвер-{E,e§,D3,ft3d}OBG)={E,ei,D3}.ОЯG)ОкG)ОТЗG)класскласссальнойIклассов^-JjE/G)ромбоэдрический-4.2).изотропиигексагональный-тензорыобразующимистензорыквазитрансвер-сальнойАSkS[)++образующиесовпадают(табл.классахобразующиекласскласс-6{38>2)Fк828k83).+рангаиортотропиитетрагональныйз~класскласс-{&2&{-классавsk2s[),6k6'2),-классмоноклинный-534)(SkS[четногогрупптриклинный-Sk8l2)каждогоСимметричные4i%--тензороввнутримаксимальныхЕ+6k6[)F{6{+6<26{)Eк62одинаковыТабл.+Р2-тензорамирангов.S35i)(8kS[+симметричныхО4G)для636{)(8k62+ SkS[)sks2)-{Е,ё§}={Е,ОЛ}={Е,ё§}=изотропииклассО/G)изотропииосновеэтихиндифферентныхЭтитензорныеобразующихсимметричныхбазисытензоровбудут={Е}базисытензорныестроятсятензороввторогоприведенынижечетвертогоивгл.5.§4.1.10.Индифферентные4.1.СимметричныеДля211направляющиетретьеготензорырангатензоровтретьегочастовсимметриейобладающие3ПрангаНаиболеесимметрии.тензорытакжеможномеханикеповторомуифизикеитретьемусим-тензоры,индексам:UijkилипонятиеввестивстречаютсяUikj,=D.41)где3?1ДалеетретьеготензорыбудемназыватьUijkRi0ранга,обладающиеD.19)базистретьегоизЕe=Дляё30•(Е+ё|этих+(сe/3 0O/3=Компонентыei0Ё}>кО2-этихследующийимеют=5<Ч*0=ei0ё20ОьО3(Td+¦ё§)<132>,D.42)Oiё2+ё2+направляющихафРфчфа,1,2,3,(ё\0N3dО2,0=2ё3=ё2),-D.43)(ё|0-ё?)R3<f.-базиседекартовомвтензоров(см.соотношенияследующиеа,/3,7-ё70О7,АЗЛЯзаeiё2•=место=Td=АЗЛВ3<*=Бзл,B3dимеюттензоровсимметричныхD.25):-T\f,ё2)A32>,•тензо-нижеD.21)ё3)A32),0упр.4.1.4):OQffпредставленныхё2,ёа,OQdсвойствами,такимисимметричныхтензоровнаправляющих=Rb0индифферентныхдлястроитсярангакомбинацийЕЛRjсимметричными.Тензорныйтензоров=ёавид:+0%В&к8ikSl=Ъ(#Л=+Ф")б[D8*+-W%6}36к2)++Si(S{Sk3*j?),+ф*),D-44)Глава212ПостроениеизбазисовтензорныхдалееИндифферентные4.направляющихэтихУпражнениеА24.1.1.Аз,егототрансверсальнойгруппойсимметрииизотропиисУпражнениесимметричного4.1.2.ортогональныхвтороготензорассовпадаетпреобразований).G39»чтотензорвторогоУпражнениеУпражнениеДоказать4.1.5.D.27)тензорыёаЕ=ila?(PlzP{{P$P[Р^Р'г)-°hНН)-=(Р=TdXхкоординаткомпоненты:в*Rj,®являютсяD.43).системеследующиеp;r,-,=f «R,-имеютD.27)формулкриволинейнойвортогональ-преобразований.группчтоУ]=P^P'R,--®R,-®--W(PMHP'S)+=0=1Упражнениемежду4.1.6.направляющимиПоказать,чтоимеютместоследующиетензорами:а=1Упражнение4.1.7.Доказать,чтоизD.11)Т$симметриигруппатензорынаправляющиесправедливостьПоказать,Л2,симметричгруппа(полнаясоответствующих4.1.4.направляющиезначенияеготоизотропиичтоклассуособой,междуфei.вдольсобственныеесликлассуПоказать,относительнокпринадлежащаяизотропииравныран-Aiнапример,С?з4>чтовсек4.1.3.значения,трансверсальнойосьюпринадлежащейиндифферентнымисимметричныйеслиявляетсяПоказать,XрангаУпражнение=выполнено4.1собственныхразличныхдва§кДоказать,толькоимеет=тензор-будетгл.5.вXконкретныхGsсимметриигруппУпражнениярангаинвариантытензоровразличныхдляитензорыследуетD.12).соотношенияRfc,Индифферентные4.1.4.1.8.УпражнениеftрангатолюбойвпреобразованиемсистемебудуттакжеТтензорЕ,—ТрангавторогоG,.Упражнение4С•А,=индифферентныминдифферентнымбудетD.40)Gs,Показать,тойжегруппычтоизD.27)направляющихжерешенияявляетсягруппыуравненияисимметричнымобратныйтообратныйтотойединственностьотносительносимметричныхдляGs,относительноСвто-тензоргруппытензоргруппыуравненияневырожденныйИспользуя4.1.12.решенияединственностьеслитоиндифферентным.какой-либочтодоказать,индифферентен,-являетсяиндифферентнымотносительноУпражнениесимметрии.пПсимметричныйбудеткоор-невырожденнымусловиятожеотносительнотакжечетвертогосистемеполученнойтензорЛ(то1"-т»)есличто4.1.11.С""•жееслиИспользуядоказать,индифферентенТ~тензорнемуэтиптензоракакой-либовXх1,что4.1.10.Т"~•компонентыкоординатДоказать,213D.37)выполнены4.1.9.УпражнениееслисимметриидругойтранспонированныйлюбойчтоусловиямУпражнениекПоказать,удовлетворяютЖ1,координаттензорыкнемуСтензорин-такжеGs.тензоров4.1итабл.вдекартовойформулыследуютсистемекоорди-координат.4.1.13.УпражнениеЗаписатькомпонентыкоординаткриволинейнойпроизвольнойвсимметричныхD4.1.14.УпражнениеобладаетусловиямиДоказать,D3,тензорJT&3<2Г&3/1,определяемый4.1.15.Показать,чтокомпонентаминенулевымииD.38),поD.37).симметрииУпражнениечтоко-системеОз,тензоровнаправляющихD3тензораявляются?^311УпражнениеобладаетПоказать,УпражнениеПоказать,выразить-1.=D3<f,тензоропределенныйD.38),покомпонент:4.1.17.можноД2312=чтосимметриейследующейA.252)U13221,=4.1.16.черезединичныйчтоАрангачетвертоготензортензоры:направляющие3А^=ёа<g>ё/зёа0ё/з0ёа+ё^0ёа0=а,/3=1Упражнение4.1.18.обладаетПоказать,чтоD.37)симметрииусловиямииПзЛ»тензоримеетопределяемыйпоототличныедветолькоD.40),ком-нулякомпоненты:ЩнУпражнение4.1.19.Показать,D.3),контравариантныеДругие:1,-чтосохраняютсясмешанныековариантные,\lzh-1.какие-либоеслитакженапример,компоненты,преобразованиях,линейныхпри--тотехприсохраняютсяжелюбыепреобразова-преобразованиях.УпражнениеАтакже4.1.20.индифферентениндифферентенДоказать,относительночтогруппыотносительнотойжееслинеособенныйGs,тогруппывтороготензоробратныйGs.кнемутензоррангаТ"~Глава214§Индифферентные4.тензорыЧисло4.2.независимыхкомпонентиндифферентногоВышеD.19)базисаfc,числоD.19),компонентсогласноППЕтензораФормулыХ$дляформулэтих4.2.1.к могуткомпонентдекартовойкоординатныйпредставимстолбцов(пстолбец^„х)столбецaji! 2)и~какВыводу•а(п)(iiизэтих3".=определимуровняajjl_14компонентамиD.45)каксовокупностьтрехЗ1*:1, 2, 3) длиной=об-рекуррентным(a(J-l)»afJ-l)>a?J-l))i=совокупностьком-элементов:-а\п\•сD-46)(пстолбцовтрех2)-го—уровнят.д.:аB)Координатныетрем,Зп=/n-гоа(п-1)состоят"~—столбцыи/aL\>уровняпПОбразуем(a[n))..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
