Димитриенко Ю.И. - Тензорное исчисление (1050322), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

39,=сим-ивекторовиsGs.симметриикомпоненттретьегоGsко-четвертогоранговD.41))>индифферентныхопределяется(т.е.всо-табл.4-4-ссоответствиигруппвклассовтеоремой.независимыхсоотношениямотносительновсехдлявторого,групп3.4,их(А)следующейподведемтензоровсимметричныхостальныхтабл.3.3представлениясимметриивычисленийэтихвсехизданныематричногохарактерыприведеныкоторыхинвариантыдляпроделатьэтогодляиспользуяитензорысэлементовчисломбазисатензорногоиндифферентныхпространствесоответствующемтензо-тензоров.ДлявклассаодинаковоЭтимвыделениеввсехдлятабл.4.4).(см.обусловленоикчислоранговсимметрииобразом,главнымклассачетныхтензороврамкахгруппобстоятельством,сингонияхклас-понятиясимметрии.§Кромепри4.4.Скалярныеиндифферентныхскалярныелинейныхвотпреобразованиях4.4.1.Определение4.4.Скалярным/E)компонентотизменяющуюсяпри-изменяющиесяприлюбыхП'1—•»в=называютD.130)базисенекоторомвj(')(n«"i.«u)GsJ<'>(fifW"),=преобразованияхпПтензораинвариантом1^{П)=тензораприширокопреобразованийгруппыТ3(п)—>МХ/(•>:физикеинвариантовотносительнофункциюнетакжескалярныхрангаикоординат.Определениеп-гомеханикетензоров,компонентысвоисохраняющихтензоров,преобразованиях,функцииопределенныхприменяютинвариантыданнойё,-,Gs,группенеизменяю-т.е./W(JV'i-'n).D.131)ЗдесьЗамечаниелофизического1.Данноебазисавключаетопределениеё,-илиосейанизотропии.всебязаданиеФиксируякристал-группуGs§преобразованияматрици/(*)(П;|1—tn)инвариантыизомернойДалее,еслинетензоравставящуюбазисевтензораё,-тензора,4.4,относительноинвариантыскалярныйрас-7збазисанаборусоответствиеразмерности^Х>—*"ё,-,ктензо-компонентчисло-Оба7^.пространства/'*):ftl <tnЗп=пос"и>функциюкаккомпонентЗдесьчисло.тен-инвариантj('):функциюкаквещественноеравноеинвари-e(nчтокристаллографическогоМ1,другиеполагаем,определениюрассматривать—>получим<g> .

.®особо,ификсированияШке(-,наё,.Согласно2.239ft'l *lne(i=G',.оговариваетсябазисевможнобазисппсимметриигруппыЗамечаниеинвариантыменяятензорарассматриваютсялеСкалярные4.4.этиэк-подходаэквивалентны.Если3.Замечаниеукакой-либогруппе5з"°=случае,будемSr?/индексов),7зСвсегдатолькоП*будемсг,1шпИнвариантовftнезависимыенезависимыми).гдедлячтоW,Слюбых.Jr)WW/г)С(/J,исовпадают.Кг.нееОпределениеЕслисправедлива4.5жедляfКг,/всегда. .,/*)применимоявляетсяследующая:геслитеорема.такжеЕгШ1—>аргументовсуществуетнайдутсяС W,(ги^обозначают1)назы-такаяобласть(Д,. ./г)С/г)WиD.133)f(ri>. .rr).,длянепрерывноум-функционазыватьихэлементов=/(Д,. .каждогоУинвариант,совпадают:ШгС(будемотGфункцияобласти,этихиопределение.ихнесовпадающихобразыихСоответственно,(Д,.

.слу-]Rfc,выделяютпоэтомуОтображениефункцией(i"i,.(любойтензораДадимGsгруппымножествоf(h>.. IT)любойRk.Eинвариант),тоже4.5./(/i,. .Ir),{1{ ,. ./*)Наборпространстваfifl-lnинвариантытривиальнойКг,этом/(*)(П11—1п)ПП.тензорафиксированной-ОпределениеСВфункцииэлементбесконечноечислофункциональнокакЗп.чемменьше,компонентсуществуетпростоWпоподпространствуаргументамиобозначениеявля-симметричный-инвариантынаназываютбудетсобойотносительноппПтензорilnft'1*компонентыпринадлежитнезависимыхпредставляетНезависимыетензораумноженныйвсет.е.чтоприменять4.4.2.некогдакчислотополагать,кявляютсякомпонентнегоnflтензора(например,независимымиявляются-еслинетривиальная,образыфункций/,дифференцируемойвлю-элементынесовпадающиекоторыхнетакжевсемвонепрерывныхв1г,сов-тодляГлава240Теорема4.16.вслучае,томонаинварианты1Г)f(Ii,.

.дифферен-непрерывнотривиальнойявляетсятомвобластьсуществует1УтождественнопроизводныечастныеееитензорыфункцияПустьтогдакогдаW,вдифференцируемаИндифферентные4.Мг,Сравнытолькоикоторойввсеdf /dipнулю:0=(/3=1,. . г).ТвДействительно,которой/если(i"i,. .функциюкоторойпроизводной:значениечастнойравноlimВсилунулюеслиD.133)чтоочевидно,Следствие.ИзflнеодналюбойобластиравнаянулюПримером(см.выполнениеп.2.1.2)1,.

.г.Определениесуществует—1,.нетривиальнаявсехприфункция/(Д,.значенияхтакую^0,si/i-K=.системыбыхотяA{1,. .G,.-fsr/r,скалярныхкоторой0,дляsQ=а—инвариантовGsгруппытождественносуществуравнаяVfi1-1"»,нулюD.134)функциональноназываютинвариантовза-зависимой.Определениеа=4.7.l,.k.r,функции/(/i,. ./г)П|1#п,отскалярныхотносительнонезависимой,функциональнокомпонентСистемуnflтензораеслиэтихдляGsлюбойфункфунк-называютнетривиальнойнайдутсяинвариантов/a(nfl).инвариантовгруппытакиезначенияком-чтоf(^(Й'1-1"-). .Jr(Q'--'»))ф0.г).линейнаячтоотносительно.1Г),тогда,найдетсяQ%1'"in:компонентсистемудифферен-тривиальнаяf(l1{Uii'~i*).. Ir{Uii~-i»))=0,тоТогда,толькоитому,дляп?1ну-W.вdf/dlpявляется/тензора.г,W.непрерывноэквивалентноЕсли4.6.асравныточкеинвариантовD.133)совпадаетвсейвотогдапроизводнаяфункцииусловияIQ(n?l),чтокакой-либочастная1?—>Аследует,1УСМгвтривиальнойкомбинацияявляетсянетривиальнойявляетсядляобразоватьпроизводныеконстантойвыполнено.теоремы/Тогдаможнонулючастные//г)1рравенвсетовсегдаэтойфункциядифференцируемаякогдаW,областинекоторойввсегда/W.изdf/dIp=O.=пределфункцииу1%,припределT,gfi{Ii,.

.,Ir)этотпостроения,Наоборот,анулю,7^,. .,W',областьсуществует1р флюбыхдлянаборафиксированноговсякогототривиальная,-D.133)выполняетсяD.135)§Эти(см.системыБудемлибосоответствующихпространствах.чтонезависимостиэле-1а(п%1—%п)инвариантыJr),принадлежатиодномусоответству-либоклассу:функцийдифференцируемыхнепрерывноУсловия4.4.3.линейнойпонятие/(Д,. .непрерывных,___241упр.4.4.1).полагать,далеефункциисоответствующиеинвариантыобобщаютопределенияэлементовСкалярные4.4.функциональнойнезависимостине-соответ-вуинвариантовСформулируемдостаточноетеперьнезависимостиусловиесистемыинвариантов.Теорема4.17.Пусть7зпространствуэтогогруппыJrдлялюбогоШкфункциональноЙ1'1-1'»aТогданекото-относительнодифференцируемымив<J кгпризависимапро-инвариан-рассмотримнепрерывноШ1.—УЗп,<С1,. .г,=являютсякоторые:к=IQ(U%1'"ln),Gs,IQфункциями/i,.

.Т$принадлежащийnfl,тензорdimпричем,тензораинвариантынекоторойимеетсяинвариантовсистемавтолькоитомтомеслислучае,VG<г,ак>гпр«системавсегдаIi,. .Irинвариантовфункциональнозависима.ТПустьтогдаа1,. .г,—4.6определениюдифференцируемаятождественноGравенфункциональноdfДифференциалвнулюМ*,непрерывно./г(Й|1ш#Лп)),/(i (fil ##*ln),.Mfc.тог-зависимы,нетривиальнаясуществуетфункцияЙ|1#ф>1плюбогодля/а,инвариантысогласнонулюравнаятакойфункции(см.замечаниетакжеследовательно,=»ВсилуТакD.137)изкак/соотношениикоэффициенты5//5/а,-еШ11"*1"приращенийнезависимостип.4.4.1)чтополучаем,товнетривиальная,D.138)притогдасилулюбыхft*1—1»1D.138)выражаетизследствиянайдутсянесобой3изсоотношение:выполнятьсядолжно4.16теоремывселинейнуювкоэффи-нулевыезависимостьсо-Глава242всехгПочислонезависимых2.10а,отсюдатеоремеменьшевсегдаВВг.обратную4.7,определениютакиеВыберем.-fcr/r,.вгде,сгтакойлинейнуюфункциибудетфункцииdfнайдутся/функциювсенеопре-/г)D.135).соотношениепроизвольные-=Ночисла.нулевыеотличенотc\I\-fтогдануля:J^Cadla^O=носогласно/(Д,.

.функциивыполняетсятакойкачествеci,. .дифференциалТогда,нетривиальнойчтоD.136),местоимеетчтонезависимы.П*1—1»,такжематрицыдоказана.Предположим,длявсякойменьшевсегдаматрицытакойрангтеоремафункционально-значениячтоследует,сторонуСледовательно,этойстроксторону.1аинварианты(dIa/dUll-~tn).матрицыоднуинвариантыитензорыстроккоординатныхмаксимальноег.Индифферентные4.D.139)а=1прилюбыхфункцииотСледовательно,dIQ.ненулевыхQtl#tn,IQрассматриваяфунк-какимеема=1Всилупроизвольны),(такdU%1'%nпроизвольностичтополучаем,имеютdIQкакместоD.139)втакжепроиз-соотношения:следующиеа=1Такимобразом,коэффициентоввсегстрокЕслиА,fc,чтопредположениеfc,но1Гпротиворечит-2.2теоремеко-нулевыхчтоозначающие,независимы.глинейнонезависимыхстрокпред-Следовательно,невозможно.Д,. ./гинвариантов2.10атеоремеозначает,этолинейноимеютсячтонезависимостисогласнотод1а/д?1%1"ЛпД,.

.получаем,всехнеD.141),(dIQ/dU%l'"tn)толюбыхдлясоотношенияместосогласноо<Счтопоказали,имеютматрицы>гдлинойгмыcQвсехЕслиложно.-независимостьгжематрицыстрокчтоусловиюфункциональнотеоремы,зависимы,инвариантыследовательно,ивэтомслучаедоказана.теоремаАСнезависимостипомощьютеоремыинвариантов,4.17можнокоторымиуказатьбудемдостаточныепользоватьсяусловиядалее.не-§Пусть4.18.Теорема1,. .г=афункциональнойусловийизг1—однойфункциями.системыI,С(гдеяв-Выполнениедляфункцио-инвариантов:(а1аинвариантааП1*"*1»,компонентыGsгруппыдостаточнымнезависимой,является/а(пП)инвариантовотносительноявляетсяэтойсистемыотсистемапПнезависимостиподсистема.243дифференцируемымиследующихизинвариантыимеетсятензоранепрерывнокаждого1°к)^игявляющихсяСкалярные4.4.1,.=которойотбыхотязависитзависятнеданнойф /?)а.г,1ринвариантостальныеинварианты;каждый2°изодной(а1аинвариантовП*1—1п,компоненты1,.

.г)=которойотзависитнебыхотязависятотин-остальныеинварианты.ДокажемЎ1°.п.Образуемчастныхматрицу(dIQ/dUll'"%n)производныхусловияхвтеоремы:dip5ft1-1fо¦р-г0кСогласно>••«гпэтимВычеркиваявключаяпроизводных(il.размеромнулей.г*)-ый,(г—матрицы/?-уюполучаемматрицу1)х(ксоответствующий,элементакромеэтойизстолбец,уусловиямизсостоит0—1),встрокуиндексаму3/3-ойстроке:истолбцов,несколько(д1а/дп%1"ЛпУкотораясодержитчастныхвсепроизводныепро-Глава244/а,инвариантовотэтатонезависимы,Индифферентные4.атеоремеЗначит,вычеркиваниемIНо4.17.согласнотак1-—г—r-г)—нейвкак(кнайтикакнеза-инвариантыэтирангrang=Такф C.а.г,имеетматрицагаможно1..=инвариантыитензорыr1—(г—1)толькостолбцоввттострок,г.={dIQ/dQ%1"'tnY(r1)-гоматрице(dIa/dUll'"tn)"матрицуневырожденную>по-—порядка.Тогда,кстрокустолбец,(ij)-ому.г*.таккакТогдастолбцу.поВычислимпоразложение0фс{д1а/дП*1"*")"det=теоремыусловиюг*...де-указанномуполучим(dla/dW1-*»)"'detгJиспользуя/?-уюсодержащейиндексамматрицы,(dIQ/d?ltl'"tn),матрицевпорядка,r-госоответствующийэтойдетерминантстолбцысамые(д1а/д?1%1"ЛпУ"матрицеижетевычеркиваяпридем(д1а/дп%1"Лп)"detиф О,0.фОтсюдачтоследует,(dla/df 1"**)'"rangСогласно4.17теореме/i.

.Irэтоозначает,функционально-{д1а/дП*1"л*)"rang=всячтоДлязависима.г.=системаинвариантов1°случаядоказа-теоремадоказана.Рассмотримприсоединяемп.1°,ПродолжаяэтотисистемыСформулируемещеподсчете4.19.ЕслиA3i,матрицыGs:симметрииимеетё,рнезависимыхинвариантов.A3iejf=гдебытьДействительно,большепустьтензораППванизотропии,направленнымиА3\потребуетсянамбазисее,-,причислотензораг^группеп%1'Лпе{1функционально00..е,-пнезависи-тойжеGsгруппыр.наборGs:имеетсягруппыё,-.ссиммет-=относительногр:nftтензорё,-изполученномнекоторойGs,ЕтопоАдоказана.котораянекоторомотносительнонеза-получимочевидно,принадлежащейэтогоинвариантовможетнезависима.тензоров.компонент,ненулевыхприме-будетТеорематеорему,при-оказываютсяснова-нимкДалееинвариантовинвариантовТеоремапомощьюг-гогинварианта,дванезависимы.онитрехинварианта,дооднунезависимыхвначалеинвариантсистемапроцессвсейнезависимостьТтретийсистемекусловияВыберемСледовательно,п.1°.условияприменимыне2°.случайприменимыТакизIQкакгинвариантовскалярныхIQ(Q%1'"tn)=даннаясматрицаосямианизо-А3{ЕGs,§IQфункциитопПтензораПоia(fitl'"ln),=aэтойранггнематрицы7G$1..

Характеристики

Список файлов книги