Димитриенко Ю.И. - Тензорное исчисление (1050322), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

39,бытьэтомпериодичности втольководномрезультатевC.40)трансляцииX3=являетсяX'3-Ьсимметричнойвидеэтойпаз,где?',дляеще=2пиокончательнонепрерывныхпериод.относительногруппячейкупоограниченную^ж3^аз/2.ячейкунеоднороднуюПреобразованиеслоев.мо-периодичнос-область,х3:0какилиGs,группструктураоднакогрупп,нескольких-0,=вТакпри(рнееуимеютсянепрерывныхВперио-трансля-ОХ3:направлениитольковТакаяячейкапериодичностигрупптрансверсально-изотропногоосуществляютсяазтоПериодическая(рис.3.30)системыячейкивсевершин.обязательнонеснапример,слойтошестьn-угольника:рассматриватьнаправлении,получимпериодичностиэтихдляследуетчтоплоскостиплоскостиотносительноиОсу-получаем,переходитоднойрис.3.27.напостроенаслучаепри\AiA2\.=АсимметричныхприведеныпритоБравэ,илиповоротахвструктурытел,\AAi\преобразование2, 3, 4=1,пкакменяются,решеткичетыреправильноготождественноеполучаем:можетпринейобразованиявозможностиПрисоединяя?',тольколежащиенеО-Х",параллельнойосивокругвершины-вершинаостальные,всеоситакжеТакп-угольник.лежатьмогутА\А2?.чтоплоскостиА\.

.Апвсеплоскостиещеотрезокдополучаем,(рпрямойнаосуществимвершинапричемточекправильныйобразуютипосколькуоднойуголоднойввершинвершинулежатьмыплоскостиот(ризврассматриваемаяпараллельнойрасстоянияповоротаповоротовА\. .поворота/23?оситомточку-прямойнатово-поворотесноваЕслиV,телапорядкакаждая?.?,Лг,симметриилюбомперейдетАА\будетотрезокплоскостивn-гоприсимметрию,поворота(росиОХТогдарис.3.29)напричемуголиметьсимметрииАj4i),вокругточки0, тг/4,углы6.исохраняющему>,плоскостиви=качест-почемунатолькомогут2, 3, 4Бравэ.точкаточкулежатьодном3.вобъясняющую,теорему,Бравэп=1,решетокуголнаповоротеsнаоси(например,двесправедливос-оставимповоротыосьиз(например,Zi2,ранеенекотораяоднойрешеткивоврешетоксодержатсягдеимеетсяобразованногокакотноси-симметричностьостальныхРешеткипорядка,п-говокругнаубеждаемсятт.ТеорематолькоТанализрешеткитабл.3.5,Аточечныхтг/3,изПодробныйупр.3.3.1.качествепреобразованийвсесимметриисправедливости теоремы.вобразомтакимэлементовотносительноГруппы3.явля-класса.Ячеекнаправлению,существует.периодичности,симметричныххотяограниченныхотносительногруппбыизотропногопоодномунаправлеклассанесу-§Матричные3.4.представленияпреобразованийгрупп.195ililРис.3.29.КвыводуРис.3.3теоремы3.30.Ячейкапериодичноститрансверсально-изотропнойпериодическойУпражненияУпражнение3.3.1.кубической,§3.2теорему3.3.ромбической,длятетрагональной,сингоний.гексагональнойи3.4.§кДоказатьромбоэдрическойпериоди-структурыМатричныегрупппредставленияпреобразований3.4.1.ТензорноеВпроизведениеп.3.2.1мыввелипонятиепространствепоставилирезультатеполучиливединственныйможно(sвсоответствиетензорноепроизведениематрицпроизведенияхвыбираетсяТакиетензорныеиндифферентныхПолиадноерассматриватьЗпхA%ljiкакЗп.БудемЗ2,..далеематрицтензораобозначатьтакиематрицЗпхЗпсоответственно,инаяили,^,ПриэтомрезульэтонеизAtljlA**j3вообще,полиадноеЛ*;-вещедвой-вG\.

.группрольважнуюегоиликачествевматрицаиграют(см..последовательностьхилипроизведениякомпоненты^Ах*вилипрямое,матриц^А*23,хпреобразованию(или. .Atnjn.тапроизведениеневведемAXlкаждомупростран-ОднакоКаждомупроизведениетензоров3x3.матрицтензорноепроизведение3размеромизсоответствия.кронекеровским)двойное39)1,. .=такогопоставитьназываютA*jматрицуGsитрехмерномвкоординатсоответствиегруппыспособG,,преобразованийгруппыпреобразованиюортогональномуЗ2матрицэтихСзэин-теориигл.4).2п,которыематрицукакаА^2\..имеютЛ<п)рассматразмеромспособом:рекуррентнымматрицыЛ*1),удобнослучаеданномврангаразмерами3x3,следующийвид:Глава196первогоматрицапреобразованийуровняА<»>матрицаГруппы3.второго(АA)\,)=(A'j),=C.41)уровняАB){AB)i=9x9Здеськаждыйэлемент,наумножаются(А\А\А\А^3X3ТогдаА\А\=I.А^")матрицаА\А^А\:например,которойэлементып-го\Л2Л1/tlестьА\А\А\А\А\А\ЛЗЛjl/|32ЛимеетуровняCx3),А'^матрицаА\А\\Л2Л3/2C.43).}\Ъвид:C.44)ее1x1,размерностьC.44)ФормуласимволическиматрицузаписанакакА^")Zгдедля(пА*")матрицыОчевидно,чтоматрицапроизведениемn-го1)-гоможетуровняпроизведениетензорное—бытьАматрицысимво=А^науровня:А<п>лиадным3".=А<х>=А^")связанаn-гоуровня:А*"*.®C.45)матрицейспервогопо-уровняC.46)ппоэтомутакимуровнябудемговорить,порожденаспособомбудемназыватьчтоматрицаматрицейпорождающейштукА^n-гоА.матрицей.Самууровня,матрицуобразованнаяАпервого§ 3.4.МатричныеМатричные3.4.2.нетеперьматрицыА(п)размеромЗпсамом#(п),множествоD"вычисляяделе,?>"А^образуетпроизведениематрицамиматрицB.22)матрицгруппу,А^матрицдвух4,f GG,,двумяразмеромсоответствующиемножествоматрицскалярноеперемножениятогданекотороеМножествоА^матрицСЛ,группеобразуютуровняпорожденныхобычногоаодну,Зп.3.4.ТеоремаВп-гох197группыкакой-либопринадлежащихпреобразованийгрупппредставленияРассмотрим3x3,Тпредставленияпоправиламполучаем:C.47),т.е.Я^)А^п~г\матрицыииобыч-HltAsnматрицыне-перемножаютсянезависимо.Дляпервогоматрицимеем:уровня(ЛA).#A))Такимобразом,чтосноваполучаемА^п\исходныеипринадлежитп-гоЕслиC.47)Я';-качествевC.47)правилуразмеромЗппорождающаяGs.уровня-Я^Следовательно,J9"обратнуюмат-В%-^матрицутоматрицуединичнуюочевидно,получим,такжепроизведениясебя.вАгjкстроения,AljHJkоперациямножествожетогоматрицаееотображаетвыбратьперемноженияхC.48)А^матрицуН^п\группематриц(^#^).=Зп:C.49)ЭтуSj.жеЕслиизизполучитьтакойЕ^матрицыC.44),наеслиА^п\вA%jкачествебудеточевидно,взятьвсегдаА^п\ДаватьматрицыможноматрицуУмножение-4формулы(i,jA*j'•(i,j1,2,3)==перемножения1..

/)-будуттакжематрицЭтоортогональными.C.47),всетоматрицы,ортогональныеесливкачествематриследуетН(п)взятьпоГлава193образом,ТакимоднойC.1)тойижепоставитьразныхуровня.n-говообщечто,ПустьIиА'(п)Выбираявs^.А'^D?n,сноваестьА'(п\кЭтомножес-матрицдвухC.50):S^-iA^-H^yS.обратнуюкоторый,матрицу,обратный-C.50)уровня.видаматрицаизф 0)произведение=Н'^качествеsn-гокактогокаждымпорядкаdetтаксC.51)А'(п\кэле-получимимееттожеочевидно,C.44).видГруппаD'snматрицуровняGs.группыОпределениеэлементыкоторыхми(илидает3.7.ДляиоднойиспомощьюжеGsгруппыВышетензорногоихтретьимимеетсяматрициможноD'J1,элемен-изомерны-бесконечноеспособапостроитьмыпривелидвапроизведенияC.46)матрицC.50).Укажемещечислоихсидвапостропомощьюспособа,на-четвертым.некотороеНаиназываютпредставленияпреобразованияневырожденногоПустьтойпредставлений.D^C.50)неприводимыеп-гопредставлениепредставленияэквивалентными).матричныхназовемматричноесоотношениемПриводимыепостроения:одноещеМатричныесвязаны3.4.4.помощьюА(п)5матрица(s-^H-S^S-^tf^.S)=ли-группамобразуяZ-roматрицC.50)(л4/(п))~1элемент.группувидаЛ'(п).н>(п)можнокТогда,матрицуновуюмножествоодно#'(п)Gsпредставленияневырожденная5-i_образуетиматрицгруппыотносящейсянеА^п\матрицаD"группыещетакжеD"представлениячтоАЦп)получимматричныеG8,некотораяЗп,=преобразованийгруппыпредставлениямиговоря,группыимеетсятеперьА^множестводействительноортогональныхразличныематричныепорядкаэлементовТа-Af.=координат.ИзомерныежеА^уровняматричнымипроизвольнойпреобразований3.4.3.Gsгруппесоответствиевдлялинейныхn-гоматрицназываемыеп,Заметим,ввестиHljматрицейАгруппу.можноприD"множествообразуетИтак,преобразованийтранспонированнойпорожденнуюматрицу,Группы3.матричноеn-гопорядкапредставлениеивтороеGsгруппыпредставлениетойсжеМатричные3.4.сгруппыпредставленияпомощьюВаматрицквазидиагональныеобразоватьНаВаи(см.ПеремножениеещедаютпомощьюобразоватьвсегдаматричноеВа,новое..,способобразуемС'аМатрицыСавэтомсвсег-можноСаиспользованиемс00000пC.53)00п.Ра)0комбинациейитретьегоSматрицутоговторого:вы-порядка,чтожеGs:группыпредставленияS-1=\•невырожденнуюматричныеновыеG8.представленийпорядкаВаявляетсяпроизвольнуюСа,различного0\иРадаетпостроенныегруппыматричныхпредставление0ЧетвертыйксноваСа,вида:(Навыбираячисламатричноематрицквазидиагональныхп.2.2.4)(см.матрицыпредставлениеконечногоНа,матрицкоторыхC.52)всепоэтомуодновВаОматрицизговоря,образо-можнопорядка,'Наматрицу,C.52),га)-го+=квазидиагональныхквазидиагональнуюВообще(пB.45)):.199Тогдапорядка.СаблокамиСапога-гоматрицыявляютсяпреобразованийгруппC.54)detCa-S,вообщепредставлении,будутнеужеговоря,ква-квазидиагональными.ДадимОпределениеСаматрицыблоков3.8.квазидиагональныйодного,болееПриведенноеназываютC.53)числоконечноенаБа,Яа,матрицами..,Ра>матри-количествомскматчемменьшего,порядка.ОпределениекоторогонеприведеныксокеиматричноененевырожденногоназываютэтойпредставлениебытьможетпредставлениеприведенопреобразованиянепривВневырожденногопомощьюприводимым.Есливидасвязипредставление,новида,преобразования3.9.МатричноеквазидиагональногоимеютнемуназываютматричноераспадаетсясG8,группывидеденным.вприпредставлениепредставленийСапредставлениеМатричноеимеюткоторогоматричныхгоклассификацию.следующуютеперьодимым.возникаетC.54),задача:группыG8;пустьтребуетсятакоетоимеетсяустановитько-назы-квазидиагоналъноснемубытьC.54),имеетнекСаприведе-матрицымогуткакого-либопомощьюпредставлениена-матрич-некотороеявляетсялионоГлава200иприводимым,свидвсегл.4,вдалеекего3.10.Характеромсуммул(п);•всехмножествоn-гоматрицА^уровнягдерчислоэлементовбудутгруппыУчитываясоотношениявC.55)дляуровнягруппыхарактеров{4n),.

.4n),-. 4n)}>=(длягруппевА^матрицC-56)групп),конечныхгл.4.можноиn-гоматрицнепресоотно-установитьуровня:первого, -2>)^т.е.3".=n-годалееC.44)xобознача-группы:рассмотренструктурухарактерамимеждуиконтинуальное)илиG,общее-/,даннойxDn)).. xDn))---xDn))'непрерывныеразмером3n1представления(конечноематричногоназываетсячисла(след),образом:Характеромгово-показанонахождениемА^матрицыкомпонент1 =GsсиначебудетпредставленийдиагональныхееследующимегообозначаютКаксвязанаматричныхназывают(т.е.,представления).компонентОпределениеквазидиагональныйегоблоковнепосредственнотензора.задачаХарактерыЗпнайтиколичествомнеприводимыеэтанезависимых3.4.5.преобразованийтребуетсятода,возможныммаксимальнонайтиговоря,еслиГруппы3.иC.57)т.д.,получаемХ(АЫ)Наэтоммызакончимболеегрупп,оХ"(А).нихможносузнать,УпражненияУпражнениеX(i4)3*4*1группGSy5Упражнение(Х{А)=38,3*4*2*Стзэгруппы=Показать,IимеютчтоХ{А)~COs(<f>х)A[21].представленийматричныхтабл.3.3даннымхарактерыматричного3.4.ипредставлениявид:A{jесли-из3.4.согласносов(ф-х){1-совв)(-1)т+соа0,=§характерычтовычисляютсяпредставленийтеориейнапример,кПоказать,•1..C.58)знакомствократкоеподробно=+COS^)-COsfl,если€А*;{ЯуЯфхв},€{Я,зС)фхв}-7=1,2;ГЛАВАИНДИФФЕРЕНТНЫЕТЕНЗОРЫ§Выше§3.3былитепловымкоторыеописываютсянекоторымисвойстватакжеобладатьмогутсвойствмеждуустанавливаетгруппаэлементовиметьспособыкоторыетел,случаеэтомсвойств.физическихоговоритсвойствачтотом,должнасимметрии.описанияопределяютсяфизическихсимметриикомпонентэтоготензораНач-nfl.линейныхтензоромнекоторымпреобразованияформулВсимметриейисвойзависетьт.е.которыйфизическогогеометрическойэлементовРассмотримссимметриейНеймана,кото-физическиекоординат.любоготеперьсвойствфизическихсимметрииподгруппуЭтиПП.анизотропиейпринципт.п.),исимметрией,геометрическойсжи-упругостью,определеннойпреобразованияобладаюттелачтоСвязьотобладатьмогутрасширениемтензорамиобразомопределеннымтела(например,свойствамигеомет-толькоописанияфизическиетеплопроводностью,сжимаемостью,приC.1).преобразованиях4.1.2.ПреобразованиепреобразованияхПрипреобразованияспособыРеальныефизическимиопределеннымНачнемтензорырассмотренытел.симметрииговорят,ИНВАРИАНТЫНейманавгеометрическойИИндифферентные4.1.Принцип4.1.1.4линейныхкомпонентC.1)преобразованияхfilJкомпонентлинейныхпритензоровкоординатпроизвольногоA.129)формулыftтензорапреобразо-иимеютрангавтороговид:пк1Аналогичнымn-огоА\А'^.D.1)преобразуютсяобразомлюбогокомпонентытензораПП:рангапП==п'1'ine{l0П1"*-»'»..0е,-п==Uh"jnAi)iпA"Лпё{10..

Характеристики

Список файлов книги