Димитриенко Ю.И. - Тензорное исчисление (1050322), страница 15
Текст из файла (страница 15)
•®elmp®eimp+i®. .®eimp+fc,гдеpTfcBПосколькутоправойчастиРТ•.¦+®е,-рВвидувведеноB.232)eifc,альтернированныйтензор,Тогдапереобозначитьиндексывспра-учетомk)\®е|р+1®..®теоремеB.233)eip+k.этоготензора,обозначениеегопреобразо-можно2.40:ip+Ae^здесь®кососимметричным.можнокососимметричностисогласно..стоитбудетB.230)B.187):®B.230)*ВЛвыражения(pB^'-^ej,=частиB.175)формулпреобразоватьправойвсогласноTfW'e,-1®.. ®el-p,=дляB.234)A.. Aet-p+fc,коэффициентов:«mp+fcB.235)Внешние§ 2.6.2.43.ТеоремаформыВведеннаяоперациятензоровобладаеткососимметричных155B.230)внешнегоумноженияследующимиоднородностьсвойствами:kB),sGl1,B.236)дистрибутивность*влЛ(fcBi*В2)+*В)ЛpTi_рТ=qCЛ*вл*BiЛрТ=+рТз+рТ(*ВЛЛ*В)B.237)*В2,B.238)лЛB.239)9С),B.240)B.236)СвойстваТB.230).определенияДлявизвытекаютнепосредственноB.239)доказательствавыраженияэтогочастьлевуюпредставимопределевыраже-виде:{рТиB.238)-Лтензоррассмотрим^*кВ)ЛподзнакомqC({рТ=кВ)Л®*С)[Л],B.241)альтернирования:(l)^TfcB)(m,.
.mP)^(mi. .mr)B.242)гдегр -f=Здесьиндексов"[а]иpT®fcB®9CтензораНоfc.альтернированиетогда,по{рТЛкВ)аналогичноЛвqCможнорТЛ(*ВЛизгруппе=B.241),{pTкВ=свойствагиндек-B.177)0«C)W.B.243)(8)«С)[Л].B.244)чтодоказать,9С)учетомс®первыхB.164).определениюB.242)подставляяполучаемСовершенноберетсясогласно{рТ(8)fcBГлаваB.243)СравниваяB.239),ДляТензоры2.илинейныхнаB.244),убеждаемсяi. .ТогдаB.176)свойствусогласносоотношенияистинностивутверждениядоказательствапространствахB.240)заметим,®®e,-fc+pчто®etlтаккакотB.246)тоОперациитензоров,B.240).кприходимвнешнего(к=0,1,2,. .)алгебраическийчтосимметричныхбыловтензоровЛп*°>2.6.1.ЛП°*>неабытьможетЛЬ,представленгдеа,Ь?УпражнениеЛЛ..УпражнениеЛех+е2е1р)Л2.6.3.—1)..(е|р+1А\изнае4формы@, 2),типаЛЛ..etp+j(е.^=обобщенныйчтоЛт.е.—т-f1),т<вТвидеЛetp+j.обладаетп,'т>..Кронекерасимвол*'0,нет,B.247)тензорСп:(ппчтоПоказать,вк >2.6.Ле3Граекосо-прикососимметричныйвнешнейвидеДоказать,свойствами{п(п=алгебройп.А2.6.2.(е,-,следующимив§кчтоТк >=0,'ЛпненулевыхЛпипоиличтоЛпДоказать,ипозволяютназываемыйУпражненияУпражнение=установлено,О,тен-B.240),0,1,2,.
.)-пространствах=B.246)кососимметричныхB.236){кобъект,п.2.6.4вЛРТ,сложенияЛ«пространствахЗаметим,смана.исвойствамнапостроить=Аумноженияудовлетворяющихetfcполучаем:••»*1*Вно®..п,t'i. .tm•l«»»*m*=ГЛАВАПРЕОБРАЗОВАНИЙГРУППЫВернемсявтеперьлинейныерассмотримтрехмерноеблистательныйявляетсявремяфизике,преобразованийинагруппывВдр.примереиданнойЛинейные3.1.Формыпреобразованията-стоялвнастоя-Группыфимыпреоб-координатпреобразованийлинейныхпредставлениярас-главелинейныхгруппимеханике,К3.в§3.1.1.номатематике,кристаллофизикепонятиемвекаразделоввтолькохимии,сважнейшихизнепознакомимсяXIXК3,алгебраическуюкоторойЭ.Галуа,алгебры.истоковугрупп,математикоднимприменяютсяквантовойМножествонем.особуютеорияфранцузскийшироковобразовыватьВообщегруппу.-пространствокоординатможетструктурунастоящееевклидовопреобразованияпреобразованийтаких3координатВевклидовомA.4).координатЛинейноепреобразованиеX*А3{гденазываютиA*,B*jВх*BJБудемпреобразований:кВ1C.1)ПреобразованиеC.1)А1спомощью=А\В<;=В%=0.Каждомули-А1;-,матрица(А\\А\C.2)61представлениематричноематриц(А',)=\А\=соответствует•:использоватьтакжеC.1)B\+ХКипреобразованиюобратнойдалеех%отА<^кпреобразованийкакB{jXj=преоб-аффинным.центральномуявляющаясях*зависятслучайопределимAj,+нецентральныхслучаечастныйрассмотримкоординатаА\=итакжелинейномуЕ3пространствепреобразованийпреоб-3x3:А\А\А\А\\А\\.А\)C.3)Глава158.Группы3.преобразований@10)t010]х5.i.С.ОбозначенияКрометогоичерезглавнуюЕслиh%нимисверхуобозначеныкуба,плоскостейважныекоторыхA*jменяет[111]ивПримерыэтомОхавэтихпроходящую(рис.3.1).т.п.надслучаекристаллогра-преобразований.центральныхпреобразованияпреобразования,матри-определительзнака:det{А*;)называютпреобразования,соответствуетматрицаА•(дляC.4)1).(или-1=2) ОртогональнымиортогональнаяОсь,то[110].случаиназываютнерис.3.2.налинейныеВажнейшие[001].икакнапримерчастные1) Унимодулярнымиматрицы[010]обозначимприведеныкруглыосизначения,черта,кристаллографи-аобозначаюткоординатные[100],какставитсяначалочерезh,осямсамиотрицательныеРассмотрим3.1.2.[h}h2hz],этимкНапример,принимаютудобноиногдапроходящиеобозначения:диагональкристаллографическихпреобразованийортогональныебудуткристалло-h:(Л1 Л2Л3).символахОбозначенияплоскостейоси,используютплоскости,скобками:круглымивекторосейтакихкристаллографическиелинейныхописаниядлякристаллографическиеОкоординат3.2.графическихиспользоватьДляРис.кристалло-осейкристаллографическихкоторымнеевыполняютсясоответствуусловияA.212)):иЯ',В,.'=#,C-5)Линейные§3.1.согласноп.результатам1.6.3,какой-либовокругповоротпреобразованиякоординатпреобразованиеортогональноеилиоси159отражениеэто-по-какой-либоотносительноплоскости.Собственно3)выполненыодновременнокоторых4) ПреобразованиемA*jОх$(cosфsin-ОхзтрансверсальнойвэтомПодставляяхх"новыми"иX1=фх1cosб1вкоординатами<C.6)тт.=6'3.порядкабесконечногоосьюсоотношенияX2=частныедалееф(или"старыми"между(рис.3.3):фх2,sinА<3A3i=6f,называют-X0 <где,1/изотропии).получаемC.1),C.6)1О0=случае+Рассмотримматрицасоотношения:А^А{кОсьфcosвыполненыматрицыО \ьтффОосью$,уголвид:имеетэтойпреобра-называютпроизвольныйнакото-дляC.5).иизотропииосивокругкоторогоДляC.4)условиятрансеерсальнойповоротапреобразованиепреобразования,называютортогональными-фх1sin+фх2,cosX1преобразованияслучаи=ж3.C.7)трансверсаль-трансверсальнойизотропии.5)Тождественноеединичнаяпреобразование,единич-соответствуеткоторомуматрица:/1(А*,-)означает6) ПреобразованиенаповоротуголЕ=\0ф0=наповорота00\100\)0=или2тг.уголфтг/2=C.8),Ох3:осивокругC.9)Преобразованиенаповоротаопределяетсяфугол=-кIIвокруг/00Ох\осейи0x2аналогично:Ql12/1=0Vo-io/00\01,Ql12=01-Г0Vioo|.C.10)Глава160.Группы3.преобразованийХ3=Х3I: : : : : !Ту?!т*X2=X2PtJC.5.5.Puc.Преобразованиязеркального7) Преобразованиенаповоротафугол=Ох3:^.)5Х==-1/2г/3/20\-л/3/2-1/208) Преобразование0зеркального@х1хзОх\Х2и(==10приаизоднадругиедвенеДевять§3.3):ключевуюкристаллов,-2тг/3=52,г/3/2=Й1-\/3/20\-1/20101/0C.11)плоскостейотносительноI=осивокруг0\соответственно,00матрицами:0IC.12),,1меняетсвоепротивоположное,нанаправление(рис.3.4).изменяютсяпреобразованийнезависимыхВ,играютосейфизеркаль-00-1,0этом2тг/3отражения'j)Д2R\/-1/2определяется,'Преобразование1/003.4'отраженияQl'2,ролькомпозиционныхRa,S^вописанииa=свойствматериалов1,2,3;7=C.13)1,телсимметрииит.п.(см.Суперпозициейдалее.Линейные§3.1.девятиэтихважнейшихпреобразованийпреобразований:СB,3)иC,1),ЗдесьиA.135)ещеа,/3=Д1-Д2-Дзвыбираемваж-C.13а)(а,/3)перестановкой:RzQl'\=далееT2операциииR&l12,=T3==A,2),действийB2Q^/2.)т(транспонированияоперациямитензорамис(•)умножениявторогоран-A.139):А\А\А\А\А\А\адвенадцать/3 ^«,1,2,3;круговойсоответствуютрангапостроитьт.е.Tiматрицкоординатможно=а,/3индексыгдепреобразованияА\\А\C.14),А\)также(Д1-Д2Г,Напомним,Afвчто(см.совпадаютЗапишемдекартовойп.вокругQa0ха:осисистеме1.1.5.Б),C-15)хгкоординатА^т.е.преобразованийматрицы9) Матрицы(Д1)Ч(Д3)*,-.==C.13а)А12ииобразом.явнымпреобразованиеопределяютАгкматрицыт.д.поворотанаугол—тг/2(зле)Ю)МатрицывокругосиDaпреобразованиеопределяютповоротаОха:/10(Aij)^Тензорноеисчисление=00-10Dl=\00-1науголтгво-Глава162.Группы3.преобразований[il ]3,5.Рис.ПреобразованиеТзния/-1=\Каждая0=\0Ох&0-1/Тр00\01[111],оси0=0\00-10.°°C.17)VравнонаклоненнойиОх1:1\10отно-отраженияОх^ось00преобразовании/0Гз,1=0/\0остаетсяна10\0001/осиаместе,к)преобразованияопределяютэтомпринаповоротаизменяетсявсехнумерациятрехC.18).Оха(рис.3.5).иОх1^-2-п/Ъуголкоординат-Ох*:осей10>001100.'0центральногоVОха,\1М7=через/0Г2,М13.6).13)попоротапреобразованиеопределяетосямэтомприМатрицыПоворот/-1?>з,проходящейместамивокругкоординатных0\10/меняются12)0координатным/1Ось01плоскости,другимTi00матрицаотносительнодвумПреобразованиеМг?>211)3,6,Рис.отраже-всехМатрицаотражения)=координатныхСопределяетотносительно(оГ100010.'оМ2осей=впроисходитпреобразованиеначала(инверсииC.19)A11)плоскости(т.е.(рис.централь-координат:C.20)Линейные§ 3.1.Всеперечисленные{0,1элементовизиимеетсяэлементамитакимиизDaTp,RaTa,матрицыматрицыQpфГ.,ДалееэтиименноСатриматрицыдляобозначенияCS-f,СзрениязаменеВ\Якобиевыё,-вычисляютсяQ{j=Д1,.,ортогональныиВсамомделе,ххтаккаквбазисесогласнонабудеммат-введенииповоротовиспользовать14ещематриц:C.22)7=1,2-C.13а),C.21)C.22).иAljизложеннойвоC.1)соответствуетбазисC.23а)A.6)основанииC.1)=е,-R,-A.7)формулнае{=C.236)линейныхортого-какдалеее1базисыА*;**.=случаядляобозначимтоA.19)вычис-образом:R«R1иA.11),ииследующимВ\ё,-,=ортогональна,ие,-е*.ие,-ортого-такжеиВ\=Bkj=ё,-,тоC.1)вgijSijtвыбратьесливто-е,-:А^еи=основанииRJикоординатсовпадают,±тг/2ортонормированныйё,-базисовдцкоординатаминовыйP*jК{локальныхматрицавведениикоординатR,преобразованийпреобразованийЕслиC.21)матрица.A'j,=припространств,наQ3{,базисаР)ВекторыортогональныхХ\AljквекторылинейныхдляприC.13),матрицB^ej,=матрицылокальныеучтены1,2,3,=линейныхбазисаобратная-CM1образоватьaпреобразованиее,-гдематрицпреобразованийтеориидекартова29RpTQ).64изСМ7,матрицCTQ,-на?>aS7,центральноеглаве,ужеQaможнолинейныхточкивторой57матрицмножествоТензоры3.1.3./З=поворотовДа57,имеетсяафиТ/з,7=1,2.приRQTpжепомощьюИтого1,2,3,RpTQматрицы:Ах,,ортогональныхОставшиесяДаМ7,QV=жеC.13а):DaM1,RQTp163QZ*Да,,Всего50 штук.матрицa,/3=(ТриQq1}.—толькосуперпозициейобразуютсякоординатJ57,матрицыобразованыспреобразованиявновомиC.23)пространствебазисеимеем:=А\А*>е,-онЕ3будетхJ«.==хвекторж'ё,-=скоорди-координатыиметьхгА\е±=аГлава164СравниваяC.23)формулырассматриваемомслучаевведеннаявё,причембазисов,S%jОднакоспециальныйSljеслиданнойвиглавенамивведенапоследующихврассмат-кдругому,произвольныхдляA1матрицабазисдекартовобразоватьможнотензорвторого=4>>ie' ®el-,QкоторыйназываетсяЕслиё,ссвязываетjба-ортогональнымAljсовпадаетсТакимC.8)Будемобразом,-ДляпоэтомуэтиТензорЕ,3.1.4.ИзомерныетензорыВC.1)формулахвыбраныОднакоё,.тойэтоА3{матрицамипрямоугольныхXjможнодействительнолинейныхдляяв-преобразоваххкоординатылинейноевбазисепреобразованиепостроитьобразоватьХ'*спроизвольныхдляаВ^Х*.=ортогональныхХ'\координате(-C.22)т.е.матрицы,т.д.очевидно,можно=Aj{Xft\действиялиниисистемыииХп:координатПустьSaусловие,C.4)видачтопрямоугольные-преобразований.буквой,жеисходныхдекартовынеобязательноепреобразо-матрицобразом,качествевтен-матрицалинейныхRa,такимтензором.A.70)иC.25)тензоропределенныйметрическимC.5)силуортогональныхО;л/\являетсяпреобразований были64изЕ,втранспонированная=В*&®ё>.соответствуетобозначатьтензорынегополучаем:каждойC.22)преобразований.тоQTпреобразованийC.24)ортогональная,-ортогональный.обратной,тоже-рангалинейныхтензоромматрицаQтензорбазисабазисаодногое,-.Тогдаосямиотбылавфиксированныйбазисомчтоустанавливаем,переходасутье(-.=преобразованийB.63),сматрицап.2.3.3,тоГруппы3.е(-вектороввекторытензорQ'z^e'J'eeJ.е,-линейных-сXх.преобразованийссовпадаютТогдаспомощьюQ':C.25a)ося-§3.7.Рис.преобразованияПреобразованиеJD3T3нияЛинейные3.1.Вообщеговоря,отраженQ'тензорыиQРис.3.8.воротасJD2T1Преобразованиепо-отражениемукомпонентыхотяразличны,-.165координатниходинаковые.Определениекомпонентами,3.1.ноодинаковымиобладающиеТензоры,отнесенныебазисам,различнымккомпонен-изомер-называютизомерными.Такимсобразом,каждыйконкретнойAljпреобразованийВездедалее,чтоA*jт.е.полагаем,связыватьеслинеотноситсядекартовойчтоимеет§кчтоDaTa=|вид:имеютоо01-ГО0-10определяютРезУпражненияхосьОхапреобразованиеосьиа,/3,отраженияhс7меняютсяhQ=циклическим=/l7=проходящейплоскости,относительно1, hpё,,базисом3.1.матрицыD2T2исчитать,сC.1).формулаПоказать,ОхгкоординатУпражнения3.1.1.будемобразом,системеместокоординат.системпарыспециальнымсвязанпреоб-матрицакаквремятовразличныеоговоренокУпражнениеж1,координатможетQпреобразованийлинейныхтензорсистемой-1образом.(рис.3.7).Здесьидалеече-вовсехГлава166.Группы3.преобразованийMm]Рис.3.9.воротасD2T1ПреобразованиеРис.по-Упражнение3.1.2.3.10,D\инверсиейПоказать,чтоПреобразованиеDpTQматрицыимеютоD3T2|=ипреобразованиеопределяютзеркальным(рис.3.8),а=Упражнение3.1.3.иодновременноосиОхасоо0-10-100осивокругОхаортогональнойплоскости,'0гD2T3|=0,Показать,счтоматрицынаповоротаинверсией007г/2=-Г-1после-сОхаквид:имеютпреобразованиепоследующейфуголпреобразованияаналогичныеопределяют|наотносительно1)аТрматрицыDiT2иповоротаотражениемвид:о01последующимповоротаM\относительноуголфуглом-10О0=DpTQфЦ11г/2—и=точки010-17г/2.DQTpсоответственноО(рис.3.9).определяютод-вокругЛинейные§ 3.1.3.11.Рис.преобразованияПреобразованиеDMкоординатРис.поворота3.12.ПреобразованиеCT3l3.1.4.УпражнениеПоказать,=что0100-1иопределяютh[111]DaMaматрицы/0\0наповоротафугол3.1.5.Показать,что0^2тг/3=определяютматрицы01\00оси[=[-101,00/010-10d:27r/3=наПоказать,-1что000-10/00-1=1-10D3M2поворота(фуголо\-103.1.6.=на00[111],hосивокругвид:преобразованиеУпражнениевид:/0—1?>3А/1,поворотаимеютоопределяютнаклоннойимеют\преобразованиеDpMQ=(рис.3.11).0,вокругDQMpматрицы0-10/и-1(рис.3.10)=|-1а1'00/0вид:=10D2M2,поворотаимеют\0-10преобразованиеУпражнениеи.167фугол\о\01V-1осивид:0000вокругимеют=-Г0:f27r/3—/СТ2оCTQматрицы,/-1-1'0ооj,h[111]Глава168.Группы3.преобразованийX1(Il )Рис.3.13.воротасПреобразованиеСМ\Рис.по-отражениемЗ.Ц.R\M\Преобразованиесповоротаотражением0-10СТз|=0-10ипреобразованиеопределяютhp=У1,/l7—1=3.1.7.Показать,0определяютчто-103.1.8.что00преобразование0о1\0hQ=0,ф0о-1^ртг/3=0осивокругA11)плоскостиRQMaматрицына-1-Г00имеютуголматрицыh[l l]с(рис.3.13).вид:1'=-100Vчто00ф=относительноПоказать,=10/=1-10R2M2отражением3.1.9.i?iM2свид:/00поворотазеркальнымугол0\I,0/-10=СМ2наПоказать,VIУпражнениеhосивокругимеютотносительноотражениемRXMXпоследующим7Г—СМаматрицы,поворотазеркальным/0определяютф0/0преобразованиеУпражнениеиугол\0-10-1последующим-1(рис.3.12).=инаповорота0010^ртг/3вокругосиA11)плоскостиRQMp0имеютвид:h[l l](рис.3.14).с§3,15.Рис.последующимзеркальнымимеют=0\11о0-II,00преобразованиепоследующимh[l l]осивокруг(Ш)плоскости/о\-1\0/фуголнаПоказать,что0,^ртг/3—относительноотражением3.1.10.0A11)22аТаматрицыh[l l]осивокругплоскостиимеют(рис.3.16).|=1преобразованиеопределяют=Упражнениепреобразование/i-y=относительноплоскости3.1.12.Aл/30),^Праж:нениепреобразованиеповорота@01).чтоосиОхчтонауголОО-1сhQD^S^матрицыф=±7г/3.'=преобразо-определяютотражениемR1S2,R2S1иплоскостей(рис.3.18).соответственноПоказать,hпоследующимотносительноотражения(\/310),(л/310),сосивокругRiSi,матрицызеркального3.1.13.вокруг±2тг/3=7Г=Дз5"«уматрицыфуголПоказать,преобразованиеAд/30),фуголчтонаповоротаУпражнениеопределяютПоказать,Охосивокругповоротанаповорота1 (рис.3.17).3.1*11.1О0,0/1^3свид:'ОД3Тзис(рис.3.15),го=10R3M2поворотазеркальнымУпражнение±тг/3=вид:/0определяютотражениемотносительноотражениемRpMQфR2M1Преобразованиесуголнаповорота.1693.16.поворотаR2MXиРис.R$MiпреобразованиематрицыкоординатотражениемопределяютапреобразованияПреобразованиесповоротаиЛинейные3.1.определяютпреобразо-R2S20,Глава170..5.17.ПреобразованиепреобразованийГруппы3.3.18,Рис.поворотаПреобразованиеотраже-Д1Т13.1.14.Упражнение(ШО)D2S2фуголна[iV5o],[1л/зо],CiS-yматрицы3.19.ПреобразованиепреобразованиезеркальнымПоказать,С57такжеопределяютОхосивокругс7Q3поворотаматрицапрезер-последующим@01),поворотачтое1*,==C6)1» 2.имеетсл6"А2=Показать,е-1*,А37?матрицычто=1.имеютследующиесобст-имеютследующиесобст-значения:Ао,/3УпражнениесобственныеТ^/Зплоскости3.1.18.Упрахснениеинвер-значения:А!собственныефугол3.1.17.собственныеd:27r/3=О.точкиотносительноматрицычто=относительноотражениемУпражнениедующиеПоказать,наповоротафпоследующейповорота3.1.16.Упражнениессо-Показать,преобра-уголнаОхосиинверсией[Узю],иопределяютповоротазованиевокругРис,[V310]h:осейвокруг3.1.15.Упражнениеh[lY3]ипово-7г/2=(рис.3.19).ответственночтоD2S1преобразованиеопределяютповоротаПоказать,D1S2,DiSijматрицычто1>=3.1.19.Показать,^7=что""!»а=1,2,3.Мрматрицызначения:А/з=1,А7|в=--±1—.1.лД§ 3.2.Группывтрехмерномпреобразований§ГруппыопределеннойC.1).нетеперьОказывается,симметрией,преобразованийаэти3.2.преобразованиймножествамогутобладаеткоорди-обладатьопреде-группу.ММножествоG,группойназываютеслиумноженияоперацияа.ЬеМ1°множествообразовыватьнапример,определенакотораяпространствеодно,чтоОпределениенемпространствегруппыРассмотримкоординатевклидовомевклидовомОпределение3.2.1.в3.2.в—усследующимиC.26)а-ЬеМ,=свойствами:ассоциативность(а -6)2°такойт.е.е-для3°любоготакой,а(Ь-с),а-=единица,леваясуществует-саМ,?чтоа,=обратныйлевыйсуществуетеэлементаэлементМ?аGГруппу•ае.=Абелевой),(иликоммутативнойназываютеслиC.27)а-Ь=Ь-а.Есликонечной);(или3.2.2.Сингонии,ПосколькуэтотосимметриипроизведениедвухСгккомпонентамиA\,=иA1=всякойдля^{А~1)\А1то-называютнепрерывной.-=AljматрицjBJk,единич-определенаневырожденной5к,тоВ3киматрицымножествамогутматрицгруппы.Оказывается,сингониисеетоэлементов,группыопределенообратная:образовыватьгруппыи&у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
