Димитриенко Ю.И. - Тензорное исчисление (1050322), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Alj6JkсуществуетC.13),насС\матрицачислобесконечное,есликлассыуматрицаединичнаяконечноеимеетгруппаточечной~та-чтоC.13а),преобразований,64изчтоC.21)иэтисостоятизодногопреобразований,C.22),илидвух32образоватьобъединяютгруппыматрицамиописываемыхможновклассов.7системгруп-точечные(сингонии),Глава172I.ТриклинпаяGi=G3={#},МоноклиннаяI.{Я,Ромбическая/ /.(моноклинныйДз},G4IV.Тетрагональнаятетрагональныйгруппы:{E,{E,DQ},=группы:{Е,=С, Д3,(О)):ортотропииG7G9С, Дз,(Т):{Е,?>3,?>з,ЯуТ3,#7Тз},Сю{Е,=(К3):Gi3=G15=,RyT3},D3ij1,2;=?>7Тз};квазитрансверсальнойизотропииG12{E, DQ, T3, ^aT3},Gi4{^, Da, CT3, ДаГз},аСТз,1,2,3.ЛаТз^аТз}классG5сингония:класс==(М)):класс?>3},{Я,=(класс{E,RUR2,D3},{}=Е):классС}.{Е,=сингонияG6группы:GnG2сингониягруппы:преобразований(триклинныйсингопиягруппы:Группы3.{Я,=Л7,С, i?a>{Е,=^з, Т3>i3a> 2з=РомбоэдрическаяV.Л-ромбоэдрический(гпригональная)(А):Gi7{JB, 57},класс(jB):Ль ВД},{??,57,57, С, С5Gieгруппы:=В-ромбоэдрическийGi8группы:G20={Я,=ГексагональнаяVJ.G21G23сингония:класс={E,S^,Д3Лз57},G2257, С, С57, Д3, Дз57,Д3,57, Д2, Д257,={Я,=\Е,57,57,=С, С57};57,Gi9=(гексагональныйсингония{i?,{??,={Я,=класс{i?,57,={^,57,5}?>3,^з57};?>з,7G26G277V7/.1,2;а=КубическаяG28G29G31G32ВЯ.=Ль fliS7lС, С57,1,2,3.====скобкахД257,RQSlyDQ,(классквазиизотропииД2,Да,сингония{E,Da,M1,DaM~f},{Е,С, Да,М7,GMa,{Я,{Е)CTa,Da,ДаТ^,С, Да,1)а,Та,СТа,М7,Д,,М7,указанообозначениеСМ7,ZKДаМ7,i)a57},(К)):DaM7},?>аМ7}.ДаМ7,классаJ57, М,О,Т,Хз,-^,^з,§Группы3.2.Непрерывныхпреобразованийназываемыхгрупп,объединенных7 штук,КлассСзз=G35=G36=G37=Классерсальной{Q&{Qt{Qt{Qtтакже2тг};G34.173текстурами,<2тг;0 <^ф<2тг;<2тг;^Ф>X<X<0 <{Qt,=ЗД*};?>7Q*};?>7Q*,фсуществуетфО <EaQ*}7<2тг;1,2.=(/):° <{^>0 <обозначенаОж,-,пространствекласса.0 <iосейевклидовомизотропии0<Ф<изотропииЗдесь2втрансев2тг,02тг, 0матрицаимеют+0 <тг};<в <тг;^}С}фХвповоротакомпонентыее<наф,углысфзхсв-зфзх+|-сфзвсфвхсвевгдес=5cos,C.6).наповоротаОпределениеэлементовжеОтношение5,группМаксимальнойигруппойвыполняетсявгруппыТаблицаG8ввклассеэтомкотораяСGsм0G,,такуювсехдляпоказаныизгруппданного3.1ЕКлассКзтМаксимальнаягруппаКлассG5G3GsАзВзGnКIТзМаксимальнаягруппаG20(?32G3<определена<?39Сдлятабл.3.1.вгруппуS8обозначаютназываютклассахпод-называетсяобразуетсамослучаепоопределяетсяepynnuGsумножения,GiсоотношениеМаксимальныеSsкотороеоперацииGОх^осивокругGs,группытойотносительнофуголПодгруппой3.3.подмножествоC.28),sin.=Q%Матрица0 вокругихвид:вGs.которойкласса.Глава174ЭтисоответственноG&группа,версальнойГруппаиизотропииизотропиипреобразованийпреобразованийназываютиногдагруппымоноклинная-Группы3.группа-транс-т.д.G39содержащей/,<?34ортотропии,полнойссовпадаетвсегруппойортогональныхC.5)матрицыортогональныеупр.3.2.8).3.2.3.Осискак.39)несоответствуютизсоставленныегруппы,БуквенныеобозначениясоответствуютобозначениямТаккакназываютвекторовэтогоДалее,чтопреобразованийбазисаесли3.2.4.неназываютвсехтождественнаябазисом,Упражнениев3.2.1.rrin)A2..

п),.mn)(ii. ..wn)действиядлинойчтоявляются(mtl=.п)..§Этуобратнаяиназываютгруппупреобразований,представлен-удовлетворяютопределениют.е.Упражнение3.2.2.Показать,чтоклассоввнутриместоимеютследующиегрупп:ViGiCG,-,гG,CG8,2гiСG27,==G1615;г=21,.G5,СiG.CGn,6,7,8;=9,. .G,-1,. .32;.27;С2G{Gi7,G,СG32,С9,10,11;=G20г3,4,5;=г=28,.

.-под-mtn)..3.2.множествагруппами,элементпроизведениег„)A2=образуеттакжепединичный3.2.отношенияё,-.базисудекартовуопределеныкПоказать,действительноп.3.2.2,жетоподразумевается,кимеетсямножествеУпражненияпредставленныхпоё,,базису,линииаобразом,(mi. .этомподстановкасимметрической.напримертомукотнесеныотнесенып.1.8.2):(mi..mn)(wi.(mi.подстановканамиопределеныспециальнымподстановокв(см.соот-группапосколькуподстановокиодинаковыгруппанизотропии.преобразованийСимметрическаяМножествоА*{,такженопреобразований.базисе,осямиоговоренотензоровгруппу,этихпре-GsматрицтензоровпреобразованийфиксированномбудутнекоторомкристаллофизическимгруппыгруппыэлементовлинейныхвтензоровгруппыQпреобразованийтензоргруппамтолькосвя-можнолинейногоп.3.2.2.тензорыкоторыйисоответствующихдляC.24)формулеА3{,таквышевведеннымC.1)координатпреобразованийто=ипреобразованиемкаждымматрицупреобразования,1,.(s(см.анизотропииПосколькусвязатьGsкласса:названиюгруппа-=16,.

.20;32;Симметрия§ 3.3.Gi3.2.3.Упражнениеко(?,-,i.3.2.5.Упражнение0)1,.=чтоG39.СG34G37группааклассов,Показать,преобразования,G3837.._175чтоточечныхгруппамтел.37;33,.=Показать,всемгруппамгПоказать,3.2.4.Упражнениеотношениювсем<?37,СконечныхчтоC.1)поопределяемыелинейныевсеявляетсямаксимальнойпоявляетсямаксимальнойко(detневырожденныеобразуютлинейныхгруппуфAljпреобразо-преобразований.3.2.6.Упражнение3.2.7.C.4)()Показать,образуютобразуютпреобразований.образуютПоказать,Показать,группучтоэтаз8криволи-ортогональныхПоказать,преобразо-G39изотропии=-f•преобразова-собственно-ортогональ-группойназываетсяC.5)преобразованияортогональныеэтачтосовпадаетгруппагруппойсо3.2.10.допускаетсякоторыхПоказать,+1,какунимодулярнойчтотаки—множествоC.4),преобразованийвсех1, образуютвполнойназываемуюгруппу,(U).Упражнение3.2.11.единицаиявляетсятакжеправымобратным.Показать,3.3.1.Досихмыпорназываюткусочно-однородным),дляобластейграницах.называтьVJ,леваячтоэлементявляетсятелнеоднороднымразбиениеточкамидляжетелоV.(составнымвведенонегообщимиЕслиШ3пространствеобластьзамкнутаяБудемVкоторыхобластигеометрическиилимогутVтакоеоднороднымопределенаназыватьбытьеекусочно-однородчислоконечноенапреобразо-самихтольковтеперьV.теломVследует,обратныйсвойстваПустьограниченнаяеслилевыйконечныхрассматривалиC.1).конечнымТело3.2определенияателакоординатнекотораядалееизСимметрияСимметричныепреобразованийчтоединицей,правойи§3.3.будемоднородным.преоб-унимодулярныхунимодулярнойсгруппойсобственно-ортогональныечто(/о)*Упражнениетакжевсегруппойсовпадаетгруппакотораягруппу,1чтоПоказать,преобразованийвсехСобственнойполной3.2.0.образуютмножествоназываемуюназываемуюгруппу,УпражнениеНЫХчтогруппу,3.2.8.Упражнениеихпреоб-невырожденныеA.4),преобразований.преобразованийСнелинейныевсечтоформуламиопределяемыеУпражнениепреобразованияПоказать,координат,преобразованиякриволинейныхзамкнутыхточкитолькоразбиениенеилинатовведено,простоодно-Глава176.3.ГруппыпреобразованийБездалеесвязныеобразующиеЕслихх,Vкоординатых%биективноеотображение?всоответствиеV,т.е.ввести—>VV:ОднакоПреобразованиетелприпреобразованияхновойVдругоеСVx—УсистемыC.1).связаныххкоординатПриххмрасстояниеsсвязаныVVобластяхXЗмнетакменяется,Q=lМтелаМисVx»областивточкамидвумяVxиV и Vx,преобразованиямителточкакоординатылюбымимеждуобразыкаждаяимеетобласть~XхортогональнымипреобразованияхтакихобластивXхи<рхточек(рис.3.20).собоймеждуXх,координатотображениегдеVxкоординатMeVкакнеПерехо-М3,измененияИсследуемМ3.Ссистемеполучимкоординаткоордибиектив-возможное.Переходя ккоор-телаотображениетакоеединственно3.20.ко-точкевзаимнооднозначноможно<рРис,каждойтопоставитьортогональныхЕссистеманекотораякоординатGтела,множества.введенаМбудемобра-общностиограничениярассматриватьЛ/\сис-есликоординатамипричемрассто-V,принадлежащимикакQ=lC.29)а=1вC.5).свойствусогласноОпределениесимметрией(являетсянеотличимтелообластиТелопреобразований.можетVбытьиVixVxтелочтпопреоб-ортогональныхприобластьговоришь,какжесткоеVобладаетцелоесим-относительнообразеслиVдляегоортого-Vтелаобластитонеоднородное,-V%всимметричным)C.1)f(т.е.преобразованияпреобразованияЕслиБудем3.4.ортогональногочтоозначает,преобразуетсяЕ3.пространствечтобыЭтоVобластьпреобразованияхиVxдоипослетакогосовпадают).необходимо,симметриисовпадали.симметричнымотносительнонесколькихпреоб-вСимметрия§ 3.3.3,21.Рис.ПримерчетвертогоПризеркальноВ первомdetдействиесовместноеАнализируяпреобразований,тг2тг,иповороты2тг/п,нана2этуглытелои0°2тг/п,рис.3.21симметрииось-тосимметриивявляетсяжеизображенонеоднородноечетвертогопорядка.третьегоПоворотнаместо0°возмож-телсимметрия.толькодругимсоответствующиепреобразованияобладаетосьютело,Тело,порядкатг/2,преобразованиемАг^оното-тг/3,присутствуюттождественнымчто6.иконечных.32,относительносимметричноговорят,пре-п.3.3.11.п.3.1.2.вВозможно1.углы:имеет1..=либоцентра.выше43,для1.6.3,п.ортогональныхjнакоторыхsМатрицыЕ.указаныVG5,——рассмотренных2,=1,пвоси,илитолькопридадимматрицейповорота,гдегруппахвмыописываетсяАгвВообще2тг.показанонекоторой(Alj)матрицычтоуглы,другиеповороты,Поворотимеетп.3.1.2позоротынанаdet-преобразований.впочемууказанныеНагруппе.плоскостивторомзаключить,т.е.ипорядка.воэтихповоротууголвокругприсутствуютОбоснование,ось1,—приведенныегруппахЕслисиммет-оноэтойбылокакнекоторой(Alj)нетрудноэквивалентеннасим-есливповорачиватьсяотносительнослучаеB/3Oг,преобразованиялибоможетотражатьсяточечныхсимметрииявляетсятелоGs,преобразованиях,VтелатакжеосисимметрииортогональныхобразугламчтогруппыкаждогоотносительноОсиПримерпорядкаговорить,относительно3.3.2.возможныБудем3.5..1773.22.третьегоОпределениесимметричнотелРис.симметрииосипорядкасимметричнымиконечныхh[l l],поворотасимметриейимеющееп-оговертикальнуюизображенноенаравнонаклоненнуюрис.3.22,кГлава178.Рис.кубас3.23.ОсишаромвнутриОдносишаромтокаждойкуба,серединыВтакжеконусаНаимеет2,Ап4,Шосьодну0ж3,Такиеоси.паосипоказано,пбесконечногоследую-симметрии.наповоротывгруппахбесконечногоосямиVтелоапроизклассаизотропногоназываютпорядка,котношению6.=осинапример,что,порядка,второго3,=возможныосипоизображеныосиглавныекубнормальныепоэтиТз-классарис.3.24порядка,осейшестьи=относительноТакнаправленныепротиволежащихназваниелюбойпорядка.шарасимметрии.четвертого=группахотносительно-осейписпользуютуголицилиндрапорядка,Символическинепрерывныхпроизвольныйосиграней,ребер,параллельных¦нихбесконечногосимметрииконуса,третьеготри•ДляОсидлянесколькоосичетыре(рис.3.23).кубаобразом:следующимиметьможетимеетчерезцентру3.24-Ох1.теложепареРис,длядиагоналямпроходящихпреобразованийпорядкавнутриглавнымксимметрииосямкоординатнымГруппы3.шар-ввидекону-бесконечноечислоосей.такихПлоскости3.3.3.ЕслиотражениятелоисимметрииVявляетсяплоскостьюсимметриипреобразованияхприсимметричнымнекоторойотносительноцентрплоскости,тоотражечтоговорят,оносимметрии.ПреобразованиеописываетсяПоследовательноепреобразованиеотносительноотносительноописываетпреобразованиюкприводитточкиматрицаописы-§3.1).отражениеплоскостейотражением(см.RQОх^х1плоскостейотносительноотраженияматрицамиобладаетС.Отрехинверсии,-центрасимметрии.координатныхявляющейсяЭтоотра-преобразо-§ЕслиVтелоконечныхпреобразованияхприинвер-Наплоскостьасимметрии,Зеркально-поворотные3.3.4.иповоротныерис.3.21рис.3.23наповоротанаотносительноЕслизеркально-поворотнойосьюЕслиVтелоО,центраповоротнойосьюисимметрии,преобразованиясосиповороотражениемпоследующимобладаеттелототакжеаинверсионно-исимметрии3.2п.3.1.2соответствияиэлементамипре-§3.1,кматрицамипреобразованийсимметрии,здесьКлассытеперьвкаждуюовопросGsгруппу•операцийпереставимостиосамое,парыпереставимо:ДляАг^А-Ктакаято-ф7Ю^вЕслиGsихлюбойдляпроизведениеC.30)VA,KeG,,отмеченовточтоили,группахгруппыизсимметриип.3.2.1,называетсякоммута-коммутативной.ОднакогруппынекоммутативныхразделениеэлементовкакэтосвойствомобладаюткоммутативностиGs (какиеGs целесообразнопреобразованийгруппгруппыможноосуществить.р,возможностьвыяснимматрицсимметрии.К-А,=былокакгруппа,вначалеэтогооперацийпреобразованийэлементовизкакиетом,умноженияпереставимостиматрицAljэлементовсопряженныхРассмотримвходятприведенаф /3 фаа,/3=1,2,3,7,/>=1,2.3.3.6.Ни-симметрии.упражненийимеждуGsAljортогональногоэлементовизодномурезультатовназываютсяотраженияматрицукотнестиоснованиигруппплоскостиКаждуюможноточечныхпорядка.преобразованияхэлементамисимметрии.таблицаотражениябесконечногопримеждуцентрэлементаминабесконеч-осизеркальногопреобразованийматрицамиОсизер-порядка.п-огоСоответствие3.3.5.от-обладаетоноКомбинациюговорят,точтоплоскостисимметричнымкакой-либовокруготносительноявляетсяосьюявляется2тг/пуголнанейкотра-зеркально-повосимметричнымговорят,порядка.п-огоортогональнойзеркально-поворотнойназываютVтоиосиназываетсятелоипорядкабесконечногокакой-либовокругповоротапреобразования,такогоотносительнотоцентрально--инверсионно-2тг/пуголплоскостипреобразованием.зеркально-поворотнымжеизобра-осиКомбинацияотраженияНиже,_179тело.симметричноеповоротателсимметричнымцентрально-симметричным.имеющеетело,изображеноявляетсяназываютеготоинверсии,Симметрия3.3.наклассыименнотолькобудетввестисопряженныхуказанонекотороеэлементов.некоторыениже).Дляразделе-ПокажемГлава180.ЭлементМатрицысимметрииОсьА'•преобразований71-огосимметрии(поворот):порядка71преобразований3.2.Таблица1.Группы3.Е1 (тождественное=преобразование)71=271=371=4DQ,RQTQCTQ,71=62.ПлоскостьD$S-fсимметрииотражение),(зеркальное771Зеркально-поворотные3.XLqqUCX,J-Q.')>Jp-*t-yпорядка:CMa,Инверсионно-поворотныеRqMq,CS-yRQMp,оси71-огопорядка:71=171=3715.JLоси71-ого4.,ЦентрПерепишемСcs14=сСсимметрииоперациюC.30)коммутативностивиде:вC.31)или,Ачтоучитывая,иККтПроверкукоммутативностиобразом:следующимэлементов)иэлементами•КсоставлятьуказатьC.32)А.=GsможноКт•А•изследую-(длягруппыперебораправилонекотороепроизведенияпроводитьАэлементыпоочереднонадогруппАгруппывыбиратьнепрерывных-получим:матрицы,ортогональные-Ксовсемивсехне-эле-остальнымигруппы.Еслиокажется,чтоКТАКдлянекоторого=К?G8выполненоC.33)Симметрия§ 3.3.G8группапроизведенияторезультатGs\-послетогокакР,очевидно,КпробежитОказывается,чтотолькопопадаютнапример,нарассмотренииGe,группуэтатогруппат.е.толькоилипопада-элементовсоответствуют,которымте,наразбиение7г/3,уголгруппытолькоилиполезноклассынател.симметрииПример3.3.7.тг/2группы.сопряженныхА,уголпоэтомуЭтоЕслиА.свместе?,-.классматрицыповоротысимметрии,всюклассовкаждыйвобъединитьможно?элементовпробегаянесколькооднотипныеплоскостиприА,наСЛ,множествосопряженныхэлементсамразбитойрезульгруппепосколькупринадлежатьгруппуодновклассомменятьтеперьвсюРназываютокажетсяОднако,будетвсегдазначениямножествотелнекоммутативной.являетсяполучившиесявсеконечныхклассанахождениясопряженныхэлементов(неРассмотримпримерихследует^-ромбоэдрическойЗафиксируем{E,=Е,ОМ,др.)ип.3.2.2)(см.группадляизсостоит\GisПродолжим=ЗдесьSi)T(H.i-S2)T-Si-(RrS2)00001//SiR^произведениеV3/2-1/2-v^/2•-V3/20\-1/20SiRi.•О00100°\0=1/C.35)S2,=1/0C.33)условиюперебор0-1-1/20\элементовигруппы,некоммута-являетсяэтом,приучитываявматрицвсехортогональность.еговычислимудовлетворяетC.35),•0\1S5T:учтенарезультат0/-1/2V3/2\ О=SiC.34)RiS2}.RiSi,получим:Rf.Si.Ri=т.е.группанекоммутативной.иRi,S2,Si,Siэлементматрицы,/-1(RiЭтаGi&.элементовсопряженныхсимметриигруппыGisчтоклассамиэлементов:шестиУмножаяклассовпостроенияспутатьGs.группахИспользуяполучаем:•(Ri•Si)==S[•S^.(Rf-SrRi)-S2{R*•Si•Ri)•=SiS2,=S2E-Si•S2•=S^Sb=S2)C.37)Глава132Такимобразом,всеGi8изгруппыСледовательно,способомS2,ЗафиксируемS2}.{Si,=несложноЕ\.RiсэлементтеперьSiчтовычислимиилиКдлявсехS2.Следо-Siэлементомпроверить,совпадаетSi=порождаемыйэлементов,SiАгдесноваматрицы:двеэлементов:Аналогичнымпорождаемый элементомC.33),видатолькосопряженныхдвухпреобразованийпроизведениядаютклассизсостоитГруппы3.класс,порождае-негодляпроизведениеC.33):/-1/2S[Ri•Si•К/3/2=\/-1/2-V3/2х\(RiSi)•*02JиJtCi•S2•^JtCiRi,R1S2находим:S2Si•?г»RiКттожеИтак,можноотнестимыклассыSiсимметрииматрицамупражнениятретьегоS2,икакR1S13.1.12,иJtCiC.33)Ri=•Кт•C.39)xtlА'Oi,Ri=вгрупклассRi,имеетвид:RiSiэлементовдлясовпадать5г»сдастпроизведенииЕ,=самостоятельныйклассGisгруппаS2,Следовательно,будуттройномКC.38)•==02длячтов=-состоит?зизклассов.трехобразом:{/E/S1,S2/R1,R1S1,R1S2/},наклоннымиэлементыследуетизОх3,RiS2ОбозначимсоответствуютSi*•RiS2.Si,•элементомэлементовкакиепорядкаRi,К•=сопряженныхтеперь,ПосмотримЕследующим{/S*/?i/?2/}=RiRiSi.либовсегдачтофактGieматрицамвустановили,этототделяя.RiJtCi•=1/=•JtCiсебя:егоSi•элементовЕэлемент1,0проверить,сопряженныхо0видаR1S2,порождаемыйо-1/2*»^2==O2j10\/3/2RiRi•00\0•О'О\уД/2Si•НесложноединичныйсамогоЗапишемдалеепроизведениялибоR1S2}.R1S1,классыХотяV=•элементов{Ri,=/1/2==/-11/1/Si)**вселибодаютсопряженных?20(Ri*образом,Gi8группе-1/2Ri•Ri•^X\.lТакимл/Ъ/20\результат,S2-1/20о0этот0\о0Используя-уД/2изчертами.попалитабл.3.2,в?2,плоскостисиммет-осьсоответствуеттакойкласса?\класскакследуетсимметрииОбеим?,-.классы2C$Z.=изA00),табл.3.2ТремиA\/30)§ 3.3.A\/30),ипараллельныепересекающиесяитойоднойДля(sGsгруппGsтоэлемента,одногоТемкоммутативной.Многие?,классывосстановитьсоответствующиеприведенывсоответственно,коммугруппGs,Этиось-дляпоэтомувосста-можнокоторымобозначенияпри-Ох2,Ож1,симметрииОж3,порядок.3.3.ЭлементыОбозначениеклассаявляетсягруппахпосимметрии.Cny,виз?,.разныхCnzнаЕслитолькогруппакоммутативныхдлявn-ыйимеющаяТаблицаданнаяобозначения,Спх,разбиениесостоящимиклассывстречаютсягдеЗстд.=¦способом.вышечтоэлементытабл.3.3,параллель-?2произвестиобщностирадиспециальныеикакокажутсяодноэлементныевводятклассов?,-означает,менее,используюттакжеможноклассыэтонетг/3угломобозначимуказаннымвсе.183классыэлементовгруппеподкласс1..

Характеристики

Список файлов книги