Димитриенко Ю.И. - Тензорное исчисление (1050322), страница 21
Текст из файла (страница 21)
.K..обра-следующимстроим()еГ$)()Следствиемсоотношение, аналогичноеэтихуровня:$i>аха-такжедоказательствовышеформулахвсуммированиягруппып.3.2.2).изложенноепутемРассмотримпоC.58).формулесогласноуровня,группнопоинтегрированиеминдифферентвычислитьможноуровняпервогогруппэлементовКАанепрерывных(см.п-гоматрицнепрерывныхсправедливым,на)матрицостается2%пространстваранга.х{АаХарактерыхарактерам4.2.8.размерностип-готензоровнулюравенстваD.78):D-8б)D.77)этогоявляетсявектора:0.соотноше-D.87)Глава224СвойствоИндифферентные4.записанноеортогональности,данномвпринимаетАгЕ/кидляинвариантыD.80),характеровприни-вид:случаеПереходятензоры~х№т(Ф))*ФматричногохарактерамD.88)0.=изпредставленияD*sгруппы,получаем:К"ЕJo«=оОтсюда,переходяследующейК"Г*икхарактерамййп)wwЕ=Jot=oГАщматрицы^(<^),D-89)***¦=утвеждениеполучаемтеоремы.Теорема4.9.кЧислоиндифферентногонезависимыхно-изотропногонепрерывныхклассавычисляютп?1,тензоракомпонентотносительноформуле:поХ\^Характерыматричногоtмат-характерамl. .K,=D.91)0<:ф<^2ж.класс.(?,,източкепоGs:группгруппынекоторойвычислитьможноизотропныйтеперьэлементсоответствуетD.90)Хп(Аф)),=РассмотримКаждый(ф)А^](ф)представленияХ(А$(ф))трехмерномА$матрицин-трансверсаль-группs38,39,=[0,2тг]множестваизхэтогокласса[0,2тг]хсоответ-[0, тг]втрехмер-пространстве:D.92)такихимеетсяуровняобразом:Поштук.этимАщ(ф,(р,в)Ь(П)ПроделываямножествконтинуальныхК/Е^ioещераз'ioвсекаждойгруппыА'/г](ф,<р,и=вэлементамв).ВекторG,,группеGsb^n)строимs=39,38,следующимстроится/'42П)(^Ч>*в)«м0М<1<р<1ф./Joвыкладки,D.93)lJполучаемформулуиме-п-гоматрицыдлячислак.Число§ 4.2.независимых4.10.Теорематензорап-гоиндифферентногокомпонентЧислонезависимых225индифферентногокомпонентотносительнорангатензорагруппвычисляютизотропиипоформуле:fj [х{А^{ф,<р,в))в\пвс1в<1Ч><1ф.^T,fjk=ХарактерырассмотренныхвычисляютсяматрицD.94)обра-следующимобразом:{$>,в)).УпражненияУпражнение4.2.1.декартовомвА^п',преобразованияе^векторов[г=etlПоказать,.,1,0 ё,'2..../).®(IЗп)..ё|п0Упражнениеупр.4.2.1,можнобудеттокаждыйШ(п)(п)ejобразом:рекуррентнымпредставитьопределенапре-базисеэлементвекто-ег-которогокомпонентамибазисчто'линейногоZ-мерномпорожденныйпространствеПоказать,А^=матрицав?^п',трехмерномвАматрицаопределенастолбец,4.2.2.4.2.1,2,3),=пространствакоординатныйесть.ей,=если(iё,"порожденнаяе^,чтобазисетрехмерном§кD.95)полиады.(г1,=..Z),.введенныйв-17где(п)Т(п)Т_(n-l)jTe»i.
.»nЗдесьУ^Пралснениеявным%4.2.3.i\i\—1\индексами...'e»i. .in..in.^n)>Показать,(n-2)i,2T»eii. .inиТензорное=-исчисление1)+функциючто3"~2(г1/>соответствие/-мернымиi%=образом:i(n-2)j,3T\устанавливающая1, 2, 3=¦(n-lKT\(n-lJT/(n-2)j,lTVet'i. .in__—функциявведенатрехмерными(n-l)lT/_-1)+..+i(iЗ1^.!1=....in)-между./.(/Зп).=можно1)записать+in.Глава2264.2.4.УпражнениеП2 функция=Индифферентные4.IИспользуяi(i\=связываетhi2Упражнениеибазисобразуют§независимыхG,,D.91),симметриейчислоC.58)суммируясуммированиявекторприОднакотакаяхарак-фор-этиППобладаетнеимеется,симметрияуменьшается,ДляиуказанныетакжеизотвечающихиндифферентногопоапотомА^п\иметьсоответствующейужеещечемменьше,следуетвектородинРазмерразмерностьпорядокА^компонентам8(п),а(п),индифферентномусоответствующаяуменьшенныйматрицысовпадающимтензо-компонентам,компоненты.симметриибудетэтомуровнябудетстроитсястрок,кпереходяттензоржесимметриейа(п),вследствиеn-гоА(п)D.95),х(^а)-еслиследующем.вS(n)вектора<? Зп.S(n)толькотензоракакой-либосовпадающиеМатрицаC.58)ипоэ-сложно,уточнить.индифферентныйвекторуматричногодостаточноЕслииндексам.уточненияобладающегоqверны,отно-приводимогогруппкомпонентэтогоРазмерностьD.95))характеровD.91),незави-индифферентногох{Ааэтихчислоустановитьранга,характерампосоставитьматрицаиследуетСутьnfl,позволяютпредставлениянезависимыхформулыт.е.понеприводимогоформулыникакойиндифферентныхn-готензораформуламипользуясьтоD.94)иВычислениехарактерамтензораD.90)группыпредставления.поэтому,тензорыкомпонентлюбогокомпонентотносительноформулампопостроенныетензоровD.82),Формулы,индифферентныесимметричныхнезависимыхе)векторы?'п'.пространствеСимметричныеЧисло4.3.1.чтовид:в4.3.трехмерными9),3 4 5 6 7 8Показать,явныйимеютслучаядлясиндексыA1,12,13,21,22,23,31,32,33).=4.2.5.упр.4.2.2,чтопоказать,девятимерныеA2»=инвариантыиупр.4.2.3,формулуin)..образом:следующимтензорыq.путемвектораЭтаматри-суммиро-а(п),иСимметричные§ 4.3.индифферентные__соответствующихисключениемнаоборот:строкjстолбцуккомпонентыаисключитьзатемвХотяSit,u,Заметим,чтодлятакихваннаяматрицаматрицn-гоЕслиS(n),(?,,отличает-поэтомусимметризо ван-Gsматричноеобра-такимпостроенныхитогоиодногожегруппыпредставлениеА^будутD.82),формулы(аопределениюD.94).иобладающегоПодсим-приводимогохарактеровнепрерывнойДлявсесправедливыD.90)ПП,тензорак)х{АачерезхарактеровгруппыхарактерыСимметричныеиндифферентныетензорырангаФормулы)х{Аасвязиft:рангаftft=х{Аа)ислучаядляf2tlt2,установитьлегкоПокажемговоря,B.163),-группыкомпонентвторогоможноодносведетсяпредставлениявторогономерамиА^матрицеиндексовтерминжетакжеанезависимых4.3.2.свообщепопредставления4.2.8,-компонент,$столбцыприводимым.матричногочислаПодсчетсимметриейА^группевсехещеочевидно,пп.4.2.4выводысиммет-х(^п'))*стойиполучимбудет,этогоеслии,.
.,из-заполучится,множествооднойдлятокотороеДлясовпадаютииспользоватьобразоватьА(п)вектора?,з,уровня.теперьматрицобразом•строкипобудем•этомматрицыпостроениеА^•совпадатьсимметрированияоперацииотличается от=припоступитьстолбцыА^будетхарактерa?n)=А^(Можнодобавитьматрицематрицаеенодругая,ajx=227столбцов.иА^матрицыа?хвекторасимметрии,тензорыUt2%1=тензорасимметричного(n=2)вычислениемнепосредственнымхарактеров.это.ВначалеобразуемЗ2размерностиJT_/ITиндифферентные=ЛТ96и„ЪТ\векторыS(n),иа(п)имеющиесоответственно:/Ql_О12О13О21О22О23О31О32О33\иaf2)МатрицаТогдаAWсоотношение=(Й11,будетfi12+иметьЙ21,видD.51)fi13+Й31,П22,П23fi32,+П33).C.42).индифферентностивявномвидезапи-Глава228.тензорыинвариантыиобразом:следующимшетсяИндифферентные4./П"\п12п13п21п22п23п31п32я12п22п23п31п32)\а33/D.97)\п33/где=[А^Просуммируематеперьзатемисключимвявномвиде,выписывая\/(А\А{А{А\Зи7,6и8вAlt4,столбцыдляаB)илиА2\А3индифферентностисоотношение.А2A3А22и4,строкиматрицыизА\А\В7.иD.98)главнойчленыдиагонали:\/ХAB>)симметризованной=+КомбинируяОткуда(А\JА12А2+(А2J+А3А2слагаемыетом+А3J=1{А\+А2+А2 А2+А2 А3окончательнополучаем+\++U21п31U23АоАъ 2Л3+п32/\D.98')матрицы(А3JА13А31.++вП"U12п13U22A\A\JхарактерSB):Л<2>-аB),=A%A-t-\-Вычислимполучимвектора+А\А\А\А3+п22матрице,витогесимметризованноготолькоА\А\ивекторах6+А\А\+А\А\+А2А3+D.99)выражении,+А\А3получаем:\{А\А\+следующуюА3 А2А\А\++А3 А3.теорему.+А\А3+А2А\+D.100)§ 4.3.4.11.ТеоремаобразованногоGs,ХарактерыматричногосимметризованныхпомощьюсвязаныхарактерамигруппыстойуровняпервогоиндифферентныесА^2',уровняСимметричныежетензорыпредставленияD.101)Формулаформулой:Еслитензорасимметрии.D.101)Симметричные4.3.3.D.82),виндифферентныйтеперьвторомупо/3,=иЗ3=27имеета(з)27.=аC)изрекуррентным(n'lU.D.53)nil12+и'1".\?()ихЛ?ЛB)D.102)индифферентныйспособом,рекуррентнымп.4.2.1:(П1'11'21,-\аA)o<l13n'l 'a3).18имеетаC)nil31.вектора^IA(^)|B>D.103)образом:n<l22,а(з)Л|ЛB)ЙB)ре-которыекомпонент,следующим+Ь>аA)'°A)ft'11'22,записатьиндифферентностиобразом:=3П,рангаft1'11'21'8,емузапишем=можно=СоответствующийвекторспособомрекуррентнымУсловиегрупптретьегоft1'11'21'8aB)Симметризованный=различныхиндексам:laB)>aB)>aB))>-a(i)aTs'B)симметричноготензортретьемукомпонент,обозначенияиспользуятотен-тензорыиливекторD.94),илиотносительноиндифферентныеРассмотримсимметричныйпсим-рангатретьеготогдаслучайнаD.90),иликомпонентиндифферентногоранга,C.58)формулынезависимыхчисловторогоD.101)ранга.подставитьтеперьподсчитатьможноА)^аналогомвтороговторогопредставленияматричногоследующейGsявляетсятензорагруппыматриц1симметричного229fi l23nil32,записываемтакжеV/+а\2),ре-D.105)Глава230.Индифферентные4.итензорыинвариантыгде\А\D.106)\AlAWD.103)СравниваяD.104),итолькопроизводитсявидебытьдолжнаD.105)легкодлязаписанабезостанетсячтозаметить,a!L,векторовА\А\А\А33+симметризованномD.107)х{АB))можноD.105)заменаодинаковоЭточтоозначает,вычислитьА^блокахW*33D.107)D.98)иТаквкаксоотношенииА^А^2\получаемпроисходитследующуютеоре-теорему.ТеоремаGsy4.12.ХарактерыобразованноготретьегосА^3\уровняпервогоуровнясвязаныАстойпредставленияматричногосимметризпомощьюжехарактерамигруппыо ванныхследующейгруппытретье-матрицматричногоGsформулой:представленияD.108)D.108)ФормуласовместносформулойDЛ09)а=1(илианалогичнымивычислитьчислотензорапредставленияD.90)формуламинезависимыхтретьегогруппыкомпонентрангаG,.3ПилиD.94))симметричногопохарактерамх{Аа)позволяютвычис-индифферентногоматричногоит.е.характеры,ихсимметризованнуюматрицыIсоотношенияхвD.101).на\IсовпадаютформулепоматрицывсехА^матрицывидевов2А3А\совпадают.Лл3'матрицаAfAj2ваизменения:А\А\А\А\+т.е.симметризованномD.106),вматрицасимметрированиевтогдапред-§Симметричные4.3.Симметричные4.3.4.ИспользуяпопаресимметричногопооднойGsПусть(тсимметрию,видовпредставленийматричных(тнаеслит-омасим-уровненат-омасимметрию,нанаследующимобразом:-(х2(А)=векторыуровне2тгьэтихп.гп_2т,.*n-2m+ii=-аналогичноформулыранга4П,обладающих••+-in-m,rnoхарактерыХ(А^2).D.112)кактакже,аранга,утвержденияD.101).формулысимметриейпообразом:третьегоD.112)сим-симметРиченосуществляетсятензорадоказательствудоказательствакакую-либоследующимD.110)длянаD.111)аBт)П~2т^(Х2М(ГО))утвержденияD.108)формулыпредставленийимеютвекторсвязаныуровняхдоиндексам""новымx(A))x(A(m~2));+a|jTln~m<Скакую-либопоявляетсядвумпоматричныхх(А{2т))Доказательствоследу-имеют^\1^%п~твекторахарактерыуровнеиндексовгруппематрицусимметриясвязаныт-омнамат-связаныm+2ajj^j )уровнех{А{т))еслио ванныхсимметризуровняхэтихнавекторытоуровняхft/J^V**"появляетсяне^ п):г„_т+2>этихGsкакую-либоимеютхарактерыгруппы(тотносительновектораутотолькогп_т+1,четвертогодлямож-ранга,характерова(^"\1п"т+1уровне2)-омсимметрию,ДлядляТогдавекторысимметрии,—дополнительноD.111)третьегоиндифферентныйа(п).уровненаобразомследующимЎирангазависимостиуровня1)-ом—ановыхвыводD.101)D.108)симметрии,тензораиндексовимеетсяп-говекторнаесли3°безвторогорекуррентные4.13.Теорема2°тензоровтензоратензоров.группы1°дляследующиеустановитьсимметричныхможноранговиндексовпаре231тензорывысокогоC.58)формулысимметричноготензорыиндифферентныеболееичетвертогоиндифферентныеслучайрассмотримпопарамтензоровиндексов:D.113)иГлава232.тогдап4,=векторт2,=иинвариантыитензорыиндифферентныйсоответствующийпредставимпомощьюсаD)Индифферентные4.элементовдвухиндексныхD-П4)i\индексыгдезначенийиг^пробегаютсоответствуетзначенияпареТаблицаJ^.3.2i(«i,t2)iТогдаровскогои312произведенияможноизкаждоеим522табл.4.3).пары7623зна-этих(см.ftl l2ts'4831спредставитьА^матрицдо_9,соответствующие21также1тензора413А^матрицуу(ji)Значения)(ii)отиндексов932помощью33кронеке-9x9:размерностьюD.115)81x81гделегкоЛ'4'учетомА^2)имеетвидубедитьсячерезматрицыобозначенийC.42).ВА^.D.114)такогосправедливостинепосредственно,СоотношениеиD.115)представлениякомпонентырасписываяматрицыD.53)индифферентностибудетиметьвид:"B)"B)О19"B)21"B)D.116)O29"B)Q91"B)UBVB>с§Симметричные4.3.индифферентныетензоры.233гдеD.116')tB)9СравнимОчевидно,чтоD.97)вотличаютсяониftj 2D.97)викаксфji32,формакоторогоD.98').BI/то-также,компонентамВстолбцов.резуль-индифферентности:D.117)•аD),соот-симметрированноеповторяетразмерности:.BI\.BI.BJ=аD)Болееточносоответствующихбольшейдлявекторов:81.хосуществляется=точностивтолько81-соотношениеаD)явнаяD.116)всоответствующихсимметрированноесоотношениеастрок,исключениеми9,хD.116).ииматрицразмеромD.111)суммированием-получимрезультате9размерсоотношениясимметризациятого,толькоимеетматрицаD.97)индифферентностисоотношениятеперь2.BJ2Л2.BJ.BK.B)9.B)9D.119)гдеаD) D)=19Здесь,какдиагонали,вычислитьивпоэтому,поD.98'),О"\Т91мыочевидно,выписываемхарактерА^матрицыдиавы-можноD.101):аналогичнойформуле,главнойначленытолькотакойD.119)Отметим,ипорядкачтоматрицыформулаА^2\D.119)ПоэтомунезависитеслиотматрицузначенийконкретныхА^заменитьнаГлава234А^2\симметризованнуюнеИндифферентные4.тензорыформальнотоинвариантыиD.119),результаточевидно,изменится:\А^\МатрицатолькопоДляиндексов,парам4 справедливость>икаждойдляДлякомпонентпары:4.—инегз,г4,жетакимпоказатьможноспо-D.37),соотношениямпреобразовать,формулойеслих(^2'2)чтоучесть,D.101):воспользоватьсяподобные,ТеоремаGs,получаем4.14.четвертогосА^\уровняпредставленияпервогосхарактерамиформулой:2Х(А2)х2(А)Этаформулагрупп)вместепозволяетиндифферентноготензоракомпонентДлятогоD.94),чтобыгруппыG8.?sхарактерысопряженныхвычислитьвсехх(^)характерпринадлежащихгруппыD.90)D.82),А%^матрицможнокGs,веслииодномуучесть,томуПоэтомуравны.какой-либоиливходящихсократить,однойтолькоиндиф-симметриейпредставленийх(А)Вычисленияматриц,непрерывныхтензоровформуламиэлементовдляD.122)обладающегоматричныххарактерысимметриичто4П,воспользоватьсявычислить2Х(А4)).компоненткомпонентхарактеровнужноD.94)независимыхранганезависимыхпомощью+D.90),числоA.263).Расчетс(илиD.82)четвертоговида4.3.5.сустановитьЪХ2{А2)+4Птензорупредставле-матричногоследующейАуровнягруппычетвер-матрициндифферентномусвязаныD.121)представленияо ванныхсоответствующихD*37),условиямивоспользовать-итеорему.матричногосимметризпомощьюможно>).следующуюХарактерыобразованногох{А2^)>\2ПриводяD.120)формулу=ft'112'3'4,рангачетвертоготензорасимметричногоудовлетворяющегоклассуi ,Z2Ат.е.спслучаятеоремыком-ужесимметричноговнутриD.112)формулупспособом.ноD.120)соответствоватьft*1'2'**4,тензорадоказываетичтобудетобразом,такимполученнаяиндифферентногокомпонентам).жеклас-изклас-достаточноматрицыкласса.Например,дляматрицA%jХ(А)моноклиннойиз=х(Е)группы=3,Gsимеем:D.123)§Х(С)ТогдаСимметричные4.3.х(Яз)-3,=D.82)формулампоиндифферентногох(Дз)числонаходим;[Cиндифферентных1,=1)+4.=компонентин-1):—D.124)0,=даннойотносительновекторовРпранга(-1)+235независимыхпервого(-3)+тензоры-1,=(тензоравектора=т.е.индифферентныенегруппысу-существует.ПоD.101)формулевторогоматриц\(X2(D3)=к=П'1'2,По1AхФ?])++D.108)находим6•+3)=2.2 +2)=43х(СC))18,=D.108)-=-3=1-2симметризованных6•-18,=D.127)2,=находим:\1A8-18-2+симметричных2)D.128)0,=тензороврангатретьегонет.группыпорангавторогох(-А^)43))индифферентныхматрицD.125)6,группы.G5:=Наконец,тензорахарактерыгруппы=формулексимметризованных6 ++моноклинной??3)т.е.=\A=1F=симметричногоуровняХ{Е{3))данной3)+х(Лз)2,=х(Д?°))относительнотретьегопоiC2=D.126)компонентформулетогда3)+симметризованныхнаходим:индифферентногоматрицХ(С2))+=Х(С<2))+независимыхчисло-\{Х\С)=D.82)\ {х(ЁМ)G$:+Х(Р1))формулепох(А^)характерыгруппых(С<2>)6,=ТогданаходимуровняD.122)формуленаходимсимметризован-характерыуровня:четвертого=1C4о+2•3-З2+3•З2+2•3)=21,дляГлава236Индифферентные4.i((-3L=2+тензоры3•(-3J•О)?((-1L=+2+23•?A4•3•З2•(-1J•О=3+3+ПоD.82)формуленезависимыхчислоранга^B1Син-+индифферентногоТаблица4-4тензоровиндифферентныхотносительноКласссимметричного5,=5.=тензораккомпонентнезависимыхвторого,четвертогокласса.моноклинногоитретьегосим-индиф-рангов,симметриигруппразличныхивекторовчетвертогокЧислеГруппаGsсим-симметриивек-сим.сим.сим.векторытен-тен-тен-тензорытензорытензоры2-го3-го4-гоп=1рангаЕТрикТрик-линная3)3)13=относительноЧислосимметричных5)21компонентft'1*2*»14,гония•находим:к=-•D.129)21,=+2•2+О3)•З2-З2•2+3+I2инвариантыи132032рангаранга621180линныймМоноклинная41310Моно-418клин-500клинный0Ром-Орто-бичебическаятроп-6170380090359ныйтТетТет-рагональ-рагонаяналь-ный24101411007§ 4.3.КлассСин-индифферентныетензоры.237кЧислоГруппаGsсим-гонияСимметричныесимметриивек-сим.сим.векторытен-тен-тен-тензорытензорытензорып=12-гоКъЗИИЗО-троп-4-го3-горангаКва-сим.рангаранга120131140115006223ныйАРомРомби-бичебическая0276064181Ромби-1902Ромбический2000210221423002401250126132700280нГекГек-саго-саго-наль-наль-ныйККубиКва-чесческая117Ромбическийвная16ЗИИЗО-троп-ный22121290300131003200331свер-3400саль-351336013700380390троп-30Тран-ноизо-5245ныйИзотроп-тропный1002Глава238ПодобныеИндифферентные4.вычисленияможноG,,симметрииэлементовсопряженныхИтогТЕОРЕМАкЧисло4.15.удовлетворяющихгруппЭтоD» 19)совпадаеткчисловсимметрииD-37)и1..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
