Димитриенко Ю.И. - Тензорное исчисление (1050322), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

г)Системаиной,непПбытьтензораможетсо-матрицырангакомпонент,т.е.р,<?иНоненулевыхбольшеизnilАр.скалярныхгбазисомпредставленФункциональныйнезависимыхинва-Gs,преобразованийеслинезависимой,вэтуэтойотносительно4>преобразованийгруппыгруппыфункциональновходящийц'({1)инвариантовотносительноотносительноявляетсяонабытьтогдабольшерфункциональнымтензоралюбой-бытьтолько(д1а/дп{1'"{п)тензораназывается-независимы,-независима.можетможет<? rang4.8.инвариантовинвариантамибазисОпределение(где1..

Г,=имеетФункциональный=неft'1*1"какг4.4.4.будуттакжефункционально-числотакааl. .r,=4.18,теоремеdla/dU11'*1!2451.. г,=/а(?}и"-1п),Ja(fil '"fn),тоaтеоремысогласноинвариантысоотношения:вследствиеусловиюсистемаСкалярные4.4.базис,жевидевскалярныйсистему,функцииочевидно,инвариантGsпреобразованийгруппыэтихотинвариантовявляетсявсегданеединствен-единственным.Заметим,установленыскалярныечтолюбогодляD.130)инвариантыПП,тензораобязательнонебытьмогутустанов-индиффе-являющегосяиндифферентным.Из4.18теоремынеинвариантовG$относительногруппынаправляющихегокрайнеиредко,Заметимчтоимеетмаксимальнособойкомпонент.любыебытьнезависимаяговорятнеявновозможноекрай-собой,компонентачислоичтоиненулевыхслучаевсеноинвариантахпредполагают,жечастномнапример,междумехани-виспользуютнезависимыхофактическиВзначения,равныоднаРеальнорассматриваются.когдаПП,тензоране"Пиnft®nft®nft.иинвариантыдалееонитакже,приниматьмогуттензораздесьсверткитензоромданнымполиномиальными.называютотноситель-операциисгруппеnfl<g>nftкомпонент/7(ПП)помощьюсданнойвнезависимыхнезависимых-инвариантынеполиномиальныедругие,компонентахтензормеждуО7инвариантыфизикекобразованыстепенямиТакиемеханике ибытьфункциональногчисласкалярныемогуттензоровтензорнымичислобольшебытьНезависимыеПП.тензорачтоследует,можетэтоитензораотнюдьнеодининвариант.различныхмогуттензорыкомпонентыэтотпри-ft'1-1*чтоозначает,ПоэтомууГлава246вездебудемдалеекомпонентИндифферентные4.сэтогоучетомНеприводимые4.4.5.Иногдаограничиваюткакой-либо(т.е.полиномаприводимым.набор-являются-любойпназываютегонеприводимым.обладаютftтензорасвойствами:инвариантовскалярныхкоторыетоприследующимиотно-неприводимыми,представитьвтакойтоизGs,группырасполи-видевназываютегоиними,представленинвариантов,другихотслучаепротивномвыбранбытьможетстепеней)ВЕслииинвариантамимеждумеждусоотношенияинвариантсуммыотносительнозависимостивидполиномиальныетолькоеслиинвариантовдопущения.инвариантырассматриваютэтоминвариантынезависимыхпонятиеиспользоватьтензораитензорыиной,невидеполиноманаборвходящийнаборэтотвэтихотминимальнымназываютможноинвариантпредста-инвариантов,бази-рациональнымцелымбазисом.Очевидно,базисачточислоик.ВбытьможетТакиесоотношенияотЦ*'другихполныйЦ*функциональноостанетсяонлиботакойсоотношениемеждусизигииявляется,сДругиевможновидеполиномавыразитьвДалеебудутнасОднакобазисрациональныйизкаких-другихчтобудутcl\+вдругнеполиномиальнойО,=общемотслучаедруга,Д,нитовижеввДниДоткупражненияхфункциональноосновномнельзяДвремяфункцииприведеныинтересоватьсо-полиномиальноеилиД.или§4.4.незави-инварианты.Наиболее4.4.6.вчастосимметричныхтензоровмеханикевторогоИнвариантыгруппыскалярныеGsиспользуютранга,инвариантыпт.е.=1ивекторови2.Рассмотриммогутинвариантыбытьобразованывектораспомощьюа—операцииа,е,-симих.вектораНезависимыеотносительновидесизигийпримерынезависимыевходить/г:иbhh+Очевидно,числа.-выразитьДцелыйнапример,Динвариантамиalla,b,будетнесоотношений).ещеПримеромгденеполиномиальнуюполиномиальновыражаетсясизигииизвремязаведомовнеТа-инвариантов.войдетинеженезависимыхнеприводимымконечно,товыразитьоннихизодининвариантов.кактогдабытьможетрмеж-нидругихВможноинвариантов,набор(если,отсизигиями.инвариантфункциюнополиномавиденазываютсякакой-либоввасоотношениякогдаполиномиальными,выражен<С р,гситуация,являютсяинвариантамифункциональнонезависимыхпричемвозможнаделе,ба-рациональногонабораразличны,говоря,самомминимальногорполноговообщеинвариантов,большемеждуэлементовчислоэлементовготноситель-скалярногопроизведениявекторапразмерности§ 4.4.Скалярныесобразующима1) соответствующей=ПриО,G).этомпревышатьчисло^ кгИсходяизG5,образующимиса(тензорамиОG)вектороматакжетензораминезависимыхразскалярногорангавторогоинвариантовможетневектора3.=D.27)направляющихспособомвышеуказаннымвекторовможнопо-тензоров,итолькопостроитьсле-а:вектораинвариантыследующие0гперечнячтополучим,247группыатензорапроизведенияинвариантыоа-ёаВзависимостиа2=принадлежностиотинойG,,группе'-ftQa<g>a-,направляющих=dpa^.даннойGs.группыпостроенныеа,векторавекто-инвариантыНижеинвариан-приведеныспособомуказаннымтойтензоровD.142)набораизполучаемотносительновектора цинвариантыa<g>a--ё2|a|2,=D.142)иливсехдляGs,групп.

.39.з=1,Вскобкахвектора/.ТриклиннаяGi :G2выписанасингония/iX)/|•B)аёа=а=fti•43)1,2,3,==|a|2,=аг{аьа2,а3}3;=D.143а)°a=^2•{а2а^3;=гB)Цаоаз,=•a«хаз,=|а|2}а^з,/3=1,2;ё§•/J4)=a.e2.aG4:а=•ё3а=РомбическаяjJ6)=a.e».a/3=п3{аь3;=а§}а2,/3^1,2;га3>a2,•=1,2,=а2,{а2,3;=а3}D.1436)/3=1,3;агaia2,={af,3;==а|,Тетрагональная=46)=а-ёзa^,{а?,г=3;i4f)7,8:{б?,s•гa2}aia2,сингонияG6:sa2,=4а§,==/J5)=a.e2.aG5:а•=44)Gs,а•/J3)=a.e/3=d/3,43)IV.ааа,=°сингонияG3:G,,компонентычерезинвариантовё,.МоноклиннаяЯ/.записьявнаябазисева,Я.a<g>a--Еаа,=a.e*-a=а|,о3}o|,=а§}аз,а=1,2,3,г:4")=а.ё2.а3;D.143b)сингония9,11,12,14,15=l[$)a==а1,•Ег•=a=2;|a|2,{а?,о|}Глава248Gs,sИндифферентные4./|4)10,13:=РомбоэдрическаяV.=|а|2,7<')=а-ё3=|a|2,4''=5=16,18:G,,s/{4)17,19,20=l[']:D.143д)Гексагональная21,23,24,25,27:G,,5=22,26:=28,..32l[s)КубическаязVTJ/.l[s):33,35G,,5=34,36,37:j}#)l\a)=38,39:45)=техгрупп,:ИзотропияОчевидно,чтодля|а|векторанавектораг=2;{|а|2,а2}a3,=ag,=rr2;{|а|2,а|}{|а|2,2;==а3}D.143е)являетсяг{|а|2}1;=DЛ43ж)изотропияерсалъная=длинай2,=1{2']|а|2,=s5{|а|,а3}2;=сингонияТрансеG,,l[s)\&\2,J<f)=|a|2,=G,,/X.га3,|a|2,=1[']G,,=G,,{|а|2,а3}D.143г)а3;=сингония5V7J.инвариантыисингонияG,,VI.тензорыиа§,/^|а|2,=|а|2,ггг{|а|2,2;=°з}D.143з)а2}{|а|2}1;={1а12'2?=а2,=которыхутакжеD.143и)являютсяинвариантамиявляетсяинвариантом\/(aiJOeie2:плоскость4'>|а|2,=*>,=+(U2J,СIдлинаиэтотнопроекциинеинвариантнезависимым.ТЕОРЕМА4.20.векторабазисФункциональныйотносительноагдег-для1=г-для2=G,G8группыгруппизотропногонезависимыхинвариантовизсостоиткубическогоиэлементов,гклассов;ромбоэдрической,тетрагональной,кубическойгексагональной,Gsгруппысингонийитрансегексаго-сально-изотропногоеркласса;г-3=ВдляостальныхбытьмогутвыбраныD.143).РассмотримЎТогдаможновекторовкоторого,изотропныйпреобразований,напримербазисытобазисее,-связанывыполненыодининвариантAljоднуусловиявекторавсегдасуществует,/,Gне=(Ja'Si,это,=А\А\ака18^изё,абытьнапример,=A3{ej.dkdl8kl.Ноаз-числозначитболеедлина=веквсекомпоненту4.19,можетa*ej.=преобра-чтокак|а|2аоднимПосколькуе3.=ненулевуютеоремыае,-,матрицамитолькоинвариантовавекторматрицаимеетинвари-векторбазисортогональнымитакаяапроизвольныйиортогональныйбудетез,найдетсявекторСледовательно,независимыхклассновыйпостроитьортогональныетакI.СбазисафункциональногокачествеинвариантывGsгруппне-одного.Новектора|а|,§ 4.4.Следовательно,гРассмотримё*причемкпринадлежитусловияНокактак/^инвариантауввходящиеКзчисло:гк=Носоответственно.относительнокакМsвыполнены,ос1,2,=Т,будеттеоремап.2°,неа,,Аз,К-Н"»Дз,3,еслидоказана,(максимальноD.1436)иD.143в)иIQS\Дляасоответ-1, 2,3,=изотноси-4.18,теоремынезависимостидоказательствасоставиммывозможноевытекаеточевидно,п.2°.условия1а4.18вектораинвариантов.

.8,1,3,—2.^гнапример,теоремыклассовD.143а),системахвОиэтихG,,инвариантовизинвариантовнезависимостьгрупптакЗ1)изчислоэто,-а^).групптрех=выполненными4.4.4.Е,классовнезависимостьматрицаТзкомпонентыупражненияизгруппустановимтоль-имеетасуществуют(илиа>з—условия:такаягруппыимеютсядлякачествевДля|а|2теоремыоставимвекторследует=спеизоказываютсявсегдаЦинвариантДоказательствосновадляинвариантаНезависимостьD.143з).инвариантытое,про-помощьюсПосколькуа3.следовательно,и,независимыхдваТз,группебазисеие,ф выберемуголВfli4.19,теоремыбазисгдеА\ъ3-.=компоненты:ненулевыеAXjC.6),видаДлякласс.новыйвведемAxjа2/а1;—двеопятьаматрицыфtgтолько249трансверсально-изотропныйвектораспециальнойинварианты1.=теперьпроизвольногоСкалярныечастныхматрицупроизводных:2а3Очевидно,чтотакиесуществуютзначениячтоaj,этойопределительматрицыДотличенотзаключениеs.32,3,=1а4.4.1.являетсянезависима,тоонаилинейноУпражнение(а'^а(-Т2т.к.а)(т.е.,выражаютсячто1а=1, 2, 3.групп§п.2°.4.18А4.4линейноже4.17остальныхтеоремысистемаеслиее,зависимыхинвариантовфункциональносистема1^а|выполненычерезПоказать,(а=условияполныйчто1, 2, 3)абсолютныеявляютсянезависи-D.131)),наборкомпонентзначенияоднаковектораотносительноинвариантамиониинвариантовнеI,группынезависимыми,являютсяобразом:следующима,/9,7=2.=теоремойнезависима.4.4.2.=чтозависимой;ДполучаемспомощьюкПоказать,функциональнои1,=соответствиивУпражненияУпражнениеa3—а\)-относительносустановитьлегкоa<iиa\+инвариантовинвариантов9,.—=независимостиоНезависимостьG5,aiпри(dIQ/dd%)rang2a3(a^=например,нуля,Следовательно,делаем[dialда1')det=1,2,3;Глава250Индифферентные4.Д4.4.3.Упражнениеявляетсячтоотносительнот.к.независимым,(?з>гC)i-учерез4.4.4.Доказать4.20теоремуИнварианты4.5.дляфункциональноТ,классовизгрупптеперь2.31,теоремеМ3врангатензорымножество7звПостроениевсехлинейноеобразуетподпространствомS$пространство,являюще-тензораскалярныеТрангатензоровсимметричныхсимметричногонезависимыевторогосимметрично-инвариантыкомпонентамисT^fijei^ejвбазисеё,-некоторомусверткиотносительноклассу,классаТ2,миИсходятензоровследующиегруппыбытьмогутсимметрии0.ТТиТсамимТпостроеныТ,тензоромТ3.Т,0чтотабл.4.1)вышеуказанныминварианты¦-Е=Gs,стензоров(см.изперечняполучим,,скалярныеТс0D.144)симметрииобразующихсимметричныхГцт.е..инвариантовФункциональносимметричного тензораТ,рангавторогоA.181).условиюСогласнотензоровсимметричныеудовлетворяющиевтороготензорарангасимметричныхРассмотрим4.5.2.являетсясимметричногоПространствоявляющеесяне:второго,ноК.и§4.5.1.инвариантыскаляргруппывыражаетсяиG<2O<2O<2)I/2.=Показать,инвариантомУпражнениеЯ, К3тензорылибо(см.ОG)его?22+Тзз,табл.4.2)ксвертданногостепеня-тензорныминаправляющихспособомсимметричныхможнопостроитьТ:тензора+принадлежащейоперацийпомощьюТ•О3=2Т12D.145)не-§линейные-Инварианты4.5.тензорамиилиТ2Е•(ё2Т)•-ё2•Т22ТТТ®ТТТ2Т®квадратичные••••Т®сТ|3+Т23),Г13Г23),-(ё2-(ё2Т23+Т2з,D.146)Т22),Т22)-2Т12Т23),2Ti2Ti3)+сверткойтензораквадратавторогоё2Оз,Е,рангаD3,О/,(T2-O(Q))..(T-OW)T,T2®T-..-4O(Q),•2Г13Т2з,==-тензорами(ТТ)•Т)•Таз)образуемыерангаТ3--О(а),+-4(Т2з(Тц=Оз:•4Т12(Тц=иf222 +1323,+-направляющимичетвертого•f2!=-Пзл•-n3d•Т•4(T13(tu=Т®Oh•-D3•ё3)-Т)•направляющимиЕ+(Озинварианты,Тилиили•••f12t22сё^,2G*++(Е<g> T•Т23+Т23,+Та23,=ранга2(fuf12=+Т)•Т22+-О3•Т2!=-(ё2•2»251Тсверткойвторого=Т2Т2тензораобразуемыеинварианты,ёавекторами-симметричногоО(в))(Т••От).(Т¦OW)T,•D.147)(Т.-4О(а)).(Т-О(/3))..(Т-Оы)т,(T.O@))-(T--40(/J))..(T..40G))TО(в)кубические-{Е,Gё2 },Оз,тензорамистепенивторогоТ®Т®ТтензораСреди4O(Q)срангаПм}Пзл,D3,сверкойЕ, ОзнаправляющимикубаиТ3тензораё2,сте-ранга.инвари-четвертогоявляютсяраспространеннымина-стретьейилитензораминаиболеепоследних{Oh,=образуемыеинварианты,направляющимит.п.иинварианты:(ТТ2®ТСформулируемвведенныескалярыОЬ)••••.О„(Т•=•2»-Oh)+¦Т32теперьD.145).(Т+•f-О„)ЗзD.148)действительноТйТц(Т?2+изтеорему,-=которойТ*2++Т23)следует,являютсяТ33з,++D.148)T22(fl2чтоинвариантами.+всеfвведен-23)+Глава252Любой4.21.ТеоремаИндифферентные4.тензорыскалярныйинвариантыиполиномтензорарангавторогоТ;/(Т)2иО—^=T0..

Характеристики

Список файлов книги