Димитриенко Ю.И. - Тензорное исчисление (1050322), страница 28
Текст из файла (страница 28)
l)использованопростотогоdTji'~jmRjl=ТранспонированиеЗдесьпроизвод-тензоромиликомпонентамиd{mT)Преобразуем297называетсятензоромназываемыйтензор,обладаеткоторыйаргументааргументуявляетсяодинещеE.88)ТензортензорномуnoчтоВведемтензорногоSj.Используемопреде-теперьтогдакпридемследующейтеореме.Дифференциалпредставляет5.4.Теоремааргументатензорного#Например,еслит=собой=т/т-.. -<*(шТ)(т"л>.2,тоДлятензорасимметричного=Тоттен-видавыражениеE.92)E.92)формулаdfE.82)функциискалярнойимеетвид:fT. dTT.E.93)/ необходимофункциювпредставитьвиде:\аE.87)формулатогдапроизводнойтензор*=\ш^0Ri+Rj*R<)дляE.88)E.94)дифференциалавид:приметзаписатьможно=следующим\(wj+^)Ri0Ri-образом:E-96)Глава298Такимобразом,df/dTijE.96)Изтензорномучтопроизводная5.2.3.поТеслиДифференцированиеслучай,(а)Цвкогдавекторазатемгf*тен-симметричномуE.97)скалярнойвыбраныфункцииврассмотренныеп.4.4.6:/(a)=jW(a),sгде-номергруппысимметрииполномнаборе.соответствующемВычислимИнвариант/,.(а)затемчастные=составимиИнвариантыдаетискомое^-=суммирования=2a,R«'E.99)2а,=производнойдляпроизводныепода?(~а2aiy=отинварианта.a2Q.=частные5?ап+E.88):да*(по(а),jfyинвариантов8?ат=выражение(в)соот-винвариантапроизводные:согласновекторЦВычислимномер-различных—(атапдтп)\а\1которыйоту|а|2.=сначала-^\а\2аапоаD.142).вВычислимE.98)G,,производныеприведенныхjвекторакачествеа,аТТ.=инвариантовРассмотриминвариантыиндексытензором:/т,=сим-1/2.симметричным(/т)ТТ1-7,поменятьскаляраявляетсяпопроизводнуюсимметрии9//5Т1-7следует,аргументуучетакоэффициентомспроизводные/скалярачастнуюбездифференцированияобесложитьотвычислитькомпонентамдевятирезультатаупроизводнойвначаленадовсемпофункциивычислениядлятензорусимметричномуТензорные5.нет),составими-^Ов.=26?ааё{компонентам:декартовым''~согласновектор=°'2&aea.E.88):E.100)и§ 5.2.ИнвариантыСкалярные(a)ЦЧастныефункциииЧастные^,(в)=и<$,.оё,.=<хфaQap,производныеинвариантаотпроизводная^ц299aQ.=производныеИнвариантыаргументатензорногоимеютE.101)ёа.=@.отпроизводнаяимеютинварианта+|а|2,ИнвариантыпоэтомуможноaтензоруВсе0aэтиdQapиa2.=производной линейнойпоэтомускалярнойфункцииT--ClПгде-некоторыйОТ1*2'\и,Теоремапо5.5.E.82)функцииотТензор~птп),+теорема.производнойлинейнойотфунк-скалярнойТрангавтороготензорасимметричногоТ:E.103)\(Ппт=следующаяместопроизвод-тензорапт8?)Пптимеетследовательно,тензордляТогдатензор.9ТЧ(~1*линейныеTmnUnrn,=фиксированныйа,-,симметричномуформулусимметричногооткомпонентоткакобщуюполучимE.102)понихрассматриватьможноа2,ототвид:ааер.зависятквадратичнопроизводныеинвариантыфункциитензорныеа\вычислитьвид:вычисляютформуле:-^(ТЕслиТ¦--П)=i(finroнесимметричен,+Umn)Rnформулу=i(n+Пт).E.Ю4)тоА(Т..П)ИспользуяRm®E.104),получаем,П.=чтоE.105)Глава300Тензорные5.функции(.ЛИ)5.2.4.ДифференцированиеглавныхтензоравторогоВыберемвтороготензораПроизводныеД(Т)инвариантаЕ--Т=Ji(T)TДалеевычисляем/ первыйфункцииТрангачастныеE.107)Д(ТП),от¦SJijVmkTnl9»k9lm)=2пот2TJtRf'ТЕОРЕМАJi(T)TE.108)ВыберемД(Т2)ТтеперьСогласноиД:'з(Т)=^(Т)/2(Т)D.152)и2ТТ,-/з(Т)(см.п.4.5.3)3h(T)h(T2)RJ'=ЗТ2Т.E.109)производнойследующийимеют/i(T3)TскалярнойкачествевD.151)через=®теорема.тензораТЗТ/'^.Я1'=следующаядлятензораинвариантывид:(Т3)тДВыраженияЕ,=2ТТ,местостепенейинвариантавыразить=имеет5.6.имеютинвариантовШ®образом,главные22},,5.производныеТаким3:и=^=E.105):используянаходим,=h(Т2)твычис-иE.=производные=ТогдаглавныйТпстепенейегоиТ.попроизводныеихвычислимскалярнойкачествевтеперьД(Т)инвариантинвариантоврангаотпервоговид:=3TT2.E.110)/ второйфункцииитретийТ.тензораэти+инварианты2h(T3)),вы-можноE.111)§5.2.СкалярныефункцииE.111)Дифференцируя/з(Т)тТТ2-Ji(T)TT=ИспользуяКэли,Т,посD.161)следствиеФормулыквадратичныхВразделе/(Т),E.113)симметрииформулыдифференцированиявыбираемдлякоторойска-/*инвариантыотносительнорангавторогорангавторогогруппТквадратич-тензоракачествевтензорасимметричногогруппh(T)T~\линейных,получимфункцииГамильтона-виде:=различныхданномскалярнойE.112)формулывинвариантовотносительноЕЛ(Т)-ТТ.=дифференцированиякубичныхи301получаем:(см.п.4.5.4)/з(Т)т=5.2.5.E.110)/2(Т)ТE.112)записатьаргументаучетомEJ2(T),+такжеможнотензорногоразличныхG,:симметрииE.114)ДТ)=Ц(Т).Какбылоинвариантовпоказановсехвгруппможнотензорныхстепенейлюбойчтосчитать,представленлибовидевизквадратичнойп=2,4,6-ПроизводнаявычислениянайдемрасшифровкискалярногополученысТогдаЦ(Т)бытьможетпред-E.115)Т--П,==T®T..
.4ft,E.116)частныепроизведениявэтойтензоров=отпроизводныетензоров1(П+выше:полученаE.118)ивысшихтензоры,ПТ).квадратичнойсGsгруппегруппы.былаE.115)функциипроизводнойихE.117)индифферентныенекоторыелинейнойот6П,А(Т..П)функций,инварибытьмогутТ,Т®ТиТ®Т®Т.Т®Т®Т=образующихизсоставленныеДлянезависимых39функции:/nft,1..функции:кубическойгде=функции:/либоsинвариантовлинейной/либонаборыполныеG8сверткипомощьюп.4.4.4,симметрииправилаучетомрангов,кубическойфункрасшифров-приведенноговГлава302Тензорные5.функцииупр.1.8.1:rphlО/гпТПП1 /( (и,-д.*\+—=lTj(g'kglt+g"gtk)(Ulkj4)Т+(о,-+(rpkl/тгТОТЛЧ|0.*+iТ^^АОJv-f10|*0*~Ь\) ) ^(Ьт-*==\+(ff' "У"+(RnЗдесь)(Т*0,- 0?-=(грТПП—«/SVm)(fi,i»m+Rm0+Rm+Rn)(fi,jnm0обратныхпроизведение)tijinm)+E.119)•матрицметрическихпредставленовви-виде:gtmgtnСоставляяскалярнойR'®выражениетеперьфункции,R"•дляRm,0ит.д.E.88)производнойтензораотска-получимА(Тили,R"=Т0-4П)..^(T™T*'fi*nw)R''=определениеиспользуяследующуюоперации0R*=A.266),симметрииполучаемтеорему.Теорема5.7.функциипроизводнойТензорквадратичнойскалярнойоттензорасимметричноговтороговычисляютрангапофор-формуле:^(ТВторое--равенствоЕслиA.264),Т0из2Т=-справедливо4ffcтензорто--.4П)E.120)—(ТдТ.4П<*>24ft<->¦E.120)-Т.Тсимметрииввидусимметричный,-=т.е.и4ffc(').условиямудовлетворяетполучаем:0Т•••-4ft)=2Т•-4ft=24П•-Т.E.121)§ 5.2.ЕслиСкалярныеквадратичный/¦(А=тензорногоТ)•-(В•АгдеТ)•Виаргументаимеетинвариант(см.упр.1.8.4),Т=структуруТ0••вида:-(А•симметричные-303В)A432>0E.122)E.120)формулатотензоры,вид:принимаетАвтораягде((А-(Ввычислитьi=((ты+г-)рт+T"9)(np,i nm+(Tnm+Tmn)(Tkl+T'*)(njm.nmкэти^(Т-Или,получаемвТ®+®9>19гк){9а*9Ьр+R*0трехf0Ra0•••-R'итоговое=0Rfc0Rpрезультате0R9.частнойвыражениевпро-получим:JLтобозначениеиспользуяследующуюоперациитеорему.симметрированиянихнапример:индексов,R6изодногодляпричемвидевматрицметрическихпроизводной,6П)изкаждое9>p9tq))расположениетензорТE.124)разбивая+подставимоперации,®—тR'=E.124)производнойUijlknm),ранга,фиксируем9ak9bl9sq9tpПроделавnpqijnm)+произведениелевого)функциинапример,четвертоготензоров(например,кубическойпроизводную:9al9bk)(9'q9tp+представляемдвухA.268).поопределяетсякомпонентам,2,наеще(9ак9ЫДалееE.123)Т,•от+((g'kgHсвертки[•]+ковариантнымE.124)вВ)"®т+(rПереходим2(А=частную+слагаемыхТ))•производнойтензоранеобходимопр.№пт•симметрированиянахожденияE.117)Т)•операцияДля¦функции(см.A.270)),Глава3045.8.Теоремафункцииот6ffc{'}E.125)из—(Тс/Т5*2*6.0тензораТ..E.126)<g> Т.инвариантовсимметрииE.118)формулулинейнымкполучимсимметрии,симмет-относительнорангагруппПрименяя36ft=отвторогоразличныхгрупплинейных6П)производнойТензорырангаявляетсяужечтоТ0шестоготензором6Птензорследует,ТE.125)=3ftT®T.исходныйжевид:имеетрангасимметричнымЕслитосимметричным,второгоЗТ®ТпявляетсяA.269)).кубическойскалярнойоттензора=Тензор(см.функциипроизводнойТензорсимметричного(т®Т®ТП)дТТензорные5.Ц{Т)инвариантамследующиепроизводнойтензорыразныхотли-инвариантов:дт(Т)Остальныевыше,линейныег@)т(М)_if)поэтомуоперацииij*)=совпадаютсуказанными[•]:симметрирования-§fЯ/(М)-^-^((ё?=•различным(п.4.5.5),Т)зт((^'1ЛАЕ)__E.127')т.п.,и•квадратичным-(ё|•Т))инвариан-расшифровкипослеполучаем-О2=Я==JA)_производной.кGsсимметрииAT)4Q)тензорыE.123)АЕ)__4Л),=ихиформулугруппAM)т(Е)_совпадаютПрименяяинвариантамклассовинвариантынапример:О2®•опе-E.128)-Т,1•т)•"(Оз•Т))=-(О!®О2+О20Ох)•-Т§для-Скалярные5.2.моноклинногофункции8df((ё^=ёз)'(ё''=Т))*2Ql=Ol'0EЛ29)Т-ё|••(§§ё|)®•-Т(А=-i(Oi®1/дТ)2((Е=-ё§)®®ё|)ё»)И•-Т==2(ё?Oi+®ё?зтО2®+2О2)-ё|2дтOfc)••E.130)-Т,ат-Т,ЯитетрагональногоТ));гат1ат•O®O)T+2(OfcТ•(°®°д1(р.305класса;ортотропногодляТ)'^-аргументакласса;"длятензорного(кромеквазитрансверсально-изотропногоклассов;и1Ъ_"дтдля-Л-ромбоэдрическогои(кромеБ-ромбоэдрическогодц/дТ)классов;•ТE.132)Глава306функциикласса;квазиизотропогодля-Тензорные5.^Г==~~И~«F'"игексагональногодляРазличныхвсего("ат-1,2,з,=атзтклассов.трансверсально-изотропногокубическихвоинвариантоввсехсимметриигруппахтри:/|Q)/з(Т),Тензорпроизводнойвычисленот40)=4О)-иглавноготретьегоE-134)ужеинвариантабылвычис-п.5.2.4:в2МЕ1(длявоспользуемсяиl[Q)(Т=производнойформулойтензоравычисленияE.117)Т).тензорасимметричногоДляE.135)•-О„)•(Т-О,,)•(Т••l[отE.126):-Oft)=Т'Т®6О„,Т0вегопредставимвидеE.136)dI(Q)где6ОПтензорявляетсяследующийимеетсимметричнымшестоготензоромрангаивид:збOn(Oft=.Oft).-Oft? S^S^S^ei,=00..ё,-в.E.137)a=lЕщеодинкубическийАО)Цквазиизотропии},можно=E.125),формулу=з((ё?0T0T0Tклассахвисртотропиивиде:впредставитьё5-Т)Используяимеетсяинвариантего(ё?®ё2®ё§)A65432).E.138)Т.E.139)получаем:ё\0eD^^y•.•.Т0Скалярные§5.2.Можноэтомвтензорного(см.упр.5.2.3),показатьучаствующийфункциичто,tOa307шестоготензорпредставимвыражении,аргументаранга,Од04-ОдOa)0участву-образом:следующим0O7E.139a)Om,=a,/3,7=lтогда^r36Om-..
T®T.=E.140)УпражненияУпражнение5.2.1.компонентныеДоказатьпредставленияУпражнениеУпражнениечтопоказать,(ё2Применяя®ё2совпадающиесУпражнениед¦ТиП--П)компоненты:R^M'S^SifSi'ei,=симметричные.=®Е)A423>ё,в.<8>..формулысправедливостьE.88)определениеДоказать,((П0доказатьпроизводной,функцийтензораскалярныхпотен-подифференцирования:правилами(f)тензоров,представлениедифференцированияобычнымиE.139).формулыкомпонентное{•},правила5.2.5.j-{T2=записываяОп.иследующиеИспользуяместоимеютdеслиимеет5.2.4.тензору,явноесимметрированияУпражнениечтосправедливостьe2)(i65432)®операциюE.139а).показать,ДоказатьE.136),формулыO/jЗаписываяE.139а)тензор5.2.справедливостьтензоров5.2.2.5.2.3.§к¦?что+(П®Е)D123>)•Т=П¦Т+Т•П,Глава308§5.3.1.5.8.существуетОчевидно,ПТВсnr(nT)=ф(пТ)функциятензорпроиз-функцией:этой^.=потенциальныхдлячтоодинаковыйимеютназывает-потенциалом,совпадает"SE.2)илискалярнаяназываемаякоторойфункцииEЛ)функцияТензорнаяаргумента,тензорногоитензорнойеслиотфункциитензорныепотенциальнойОпределениепотенциальной,производнойфункцииПотенциальные5.3.ОпределениеназываетсяТензорные5.E.141)функцийтензорныхnSтензорыранг.E.141)формулакомпонентахимеетвид:^i:(TJl-ja)ПридругуюкомпонентноеE.3)согласнокриволинейнойоднойотпереходеХ'хсистемыфункциивдру-соглас-образом:следующим$,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
