Димитриенко Ю.И. - Тензорное исчисление (1050322), страница 30
Текст из файла (страница 30)
<р4об-следующимобразом:^92п--А1A<Я>Ч-4Я))=2^4Я)А4А1.. А5гдефункциивпредставитьS(Al(/f>+(A4(Oi0/2-§з,S11ТензорноеисчислениеE.198)А5,l[HK..l[H\/f >)+Oi+О2+Аз4Я))Е+О2)®линейные•4Я)),+=^4Ч>\,-инвариантовРасшифровываяТАз(/!Я)+E.192)тогдаможновиде:==(рз=>A2/f=А31<Я\+А)2А5+(А,4Я)Аз(/{Я)+•4Н)))ё1++E.199)-Т.1{инварианты+Ц=Е•получаем:=(AiE+A4(OiЕ0®+OiА2ё§+ё§0О2®О2)+А3(Е+02А5А)ё|+•-Тё§=4С¦-Т.E.200)-Т,Глава3224СТензорссовпадает(В)-РомбоэдрическийТензорные5.функциикласс:ВведемAi.
.функцийвформулахшестьфункции<pi. .<p$Аб<РзЦТS•A4(OiЛ2ё|+Oi04СТензорЕ0такжеE.179)кel0O2+0ч>ъО2)+%\+А7Ai. .функций2А6А)отсоответствующим=4СE.202)-Т.•E.78).тензоромЦинвариантов4>ь-4>ьE.202)аналогично4СтензорА4,=у?4Аб,==4С(Кз)-Квазитрансверсалъно-изотропныйфункцийследующим=вводятсяформулахв•4А)),+E.203)2А5,2А7.E.179)формулойопределяется=у?бприводимSEч 189)-Тобразом:^зШестьЕ-=Е)+0-)где+4класс:следующимТогдаАб.=l[ё§0A5D5+сE.201)виду:А3(Е+совпадает[А)-РомбоэдрическийСемь2А5,=представляя4В)),+инвариантовE.190)приводим(AiE=+-ёз,<р*X3(l[B)+\виде:влинейныхрасшифровкипосле=А4,=4>ь-ЦинвариантовотE.190)}ТогдаE.79).тензоромсоответствующимквиду:E.204)-Т,E.77).класс:Ai.
.образом:Аботинвариантовц'вводятсявформулах«Т,§Квазилинейные5.4-функциитензорные323E.205)E.189)формулутогда4Стензорможно(Г)-ТетрагональныйAi. .функций?>2E.76).А7отPi-=У?5E.177)функцию4С=A2/f>=2у?42Аб,у?бможно(О)-ОртотпропныйAi. .образом:функцийследующимформулахв4>ьE.206)А5,=2А7,=привести\A3jf+-кE.204),видуE.75).тен-которомвА9от'Цинвариантовлинейные=1.2,3;а,/3,7E.207)2Аб+а.=расшифровываяформулахввводятсяфа,E.188)тен-класс:ДевятьТогдакоторойввводятсяц2А4,формулойопределяетсяE.188)инвариантов2^4Т)-Ч>ъ~Ч>ьтензорE.204),видуобразом:следующимтогдаккласс:СемьE.177)привестиформулойопределяется'Цинварианты=Т•-ё^,приводимвиду:кзS?(AQ4°>=+А3+7/ГА3+/з4О))ёа++Аб+а(Оа0Ов)•-Т=а=13==ЗдесьХ1(Лаё«4С.тензор0ё«+А3+7(ё^®Ц+Ц0ё|)+Аб+а(Оа0Оа)'"ТE.208)-Т.4СопределяетсяформулойE.74).=Глава324(М)-Моноклинныйфункциикласс:ТринадцатьА13Ai.
.функцийE.175)формулахТензорные5.'Цинвариантовотввводятсяфор-образом:следующимзу>4? А9+а/?м>2=4А94М),+E.209)А8,=у>5а=1?>6РасшифровываяA/2)Т=-Оз,•Ai3,=А7,=<Р7линейныеинварианты1апреобразуемвыражениеE.175)Т=кl\-е^,•=виду:за=1Аб+а(Оа¦Ь1Оа)0®а+Аз+а(в^+O300Ai3(Oi+ё7ё7+00О2ё^)+О2+Oi))0Аб+аОа-Т•0Оа+-T==а=1O30%D)Aii(Oi+0O2+O2Oi))0•4C.-T.=E.210)4СТензорсовпадаетсранга,четвертоготензоромпоопределяемымE.73).формуле(Е)-Триклинныйкласс:ДвадцатьE.174)формулахвводятся<Ра=А21Ai. .функцияоднаобразом:следующим\ЛЕ)+/{инвариантовотАз+,4Я)+As-w/W+'вц..фор-}+2A9+a/fзa=2Y,афрфчфа,Расшифровыв?1Яубеждаемся,видуE.204),вE.174)выражениекотором=Т--ё|,инварианты/aлинейныечтоE.211)a,/3,7=l,2,3.тензор4С/з+„действительновыражаетсяможнопоформуле|T"Oa,=привестиE.71).к§ 5.4.КвазилинейныетензорныелинейныхтензорныхПотенциалы5.4.4.Представлениепомощьюсфункциюобразующимс325функцийтензоровчетвертогоквазилинейнойизполучитьлегкофункции4С,тензоромпозволяетрангаобычнуюлинейнуюнужнотолькотензорнуюAQвсеположитьконстантами.ПолучимкаждойдляидлявыражениетензорнойлинейнойфункцииДлягруппы.(Е)-Триклинныйкоторыеобразующимсэтогосоответствуют4Стензоромвспомним,соотношениямивоспользуемсяп.5.1.9изчтомеждуиу>7Аа,введеннымивп.5.4.3.класс:E.211)Изф,потенциаловимеем:'_^_2^\-=Решениемэтойт(Е)3уравненийсистемыцинвариантовf(*>г(В)л.О1...--2УАзи+б+аС,+E.213)-r(?)J.O\.-являетсяf(?)j.01..функцияскалярнаяот:,a=lкотораяиклинномявляетсяклассе,Тензорлинейнойпотенциалома.производнойфо-постояннаяотэтойфункции-тензор4Сопределяетсяфункциивинтегрирования.—гдетензорнойформулойимеети•-1,E.71).вид:id.Jiojтри-Глава326(М)-Моноклинныйявляется+Аз+а//зJэтойот4С,(О)-Ортотропный(IЕ=\а=1Тензор?,Х{°JЧастныеэтойот4САадф/дЦ7>—приводят1vфункции2'1чтобытогоE.207),формуламкимеет2вE.215)E.75),снеобходимоА2=+вид:^3-^1/О\\IГ\этойтетрагональным)*"/Гл/.Iфункциикпривел4С,тензоромQ\ftiли-определяе-положить:3Ai2А3+А4E.206),'от+А5+A4+AsАб,=производныекоторыхвсе-\ьу?7АаА3=+E.219)Аь1~=частныевА32Аб,~случае/Л^б-'д^^4-*з-^2производнойтензорфункцииА2константами.функциюконстантами.+этомлинейнуюобразуетфункцииположитьследуетлинейнойтВE-217)класс:Потенциалформулам*>•+/E.74).(Т)-Тетрагональныйпо2AeWiS)+"производныевсекоторыхопределяемымE.215)вид:имеетАз+а4ОLО)+производнойДляфункциюE.73).функциитензоромслинейнойлинейнуюдаетполинейнойE.215)E.216)Фо.+класс:Потенциал*2А134М})+функцииопределяемым+2А8/5+2Хт1гJi]l[M)2А9+а4М+производнойтензоромчастью-2А94МТензорправойсфункция:скалярнаяследующаяф~^МХа1а+E.212)уравненийдифференциальныхE.209)зсфункциикласс:РешениемизТензорные5.также+=следуетАб-дф/дЦкприводятсчитатьконстан-Квазилинейные§ 5.4.функциитензорные(Кз)-Квазитрансверсалъно-изотропныйПотенциалкласс:E.218),видимеетфА7ноl=производнойчастныеJ^}к2Аб/^)+4Стензорулинейнойф=i(A{4+2А54Л)А2=Тензорфункции3Ai+2А3++4СвE.205).Ai=E-221)А4А3,+линейнуюавидимеетфА4функциюобразую-сдф/дЦE.221),вА7котором=0:lix=А23Ai4-соответствует+2А3+тензор4В)^о,2Аб,А3четвертого=Ai4Сранга(Н)-ГексагональныйE.222)А4А3,+E.78)E.201).=ПотенциалследующийимеетА4классы:вид:^ГfА2ч-3Ai+2А3Аб,+коэффициентыииТ^-Трансверсально-изотропный=Аб.+производныечастные4В)А2=класс:ПотенциалемуE.76),видеЛ,+А3E.77),E.203).(В)-Ромбоэдрический2А74Л)+2Аб,формеформуламк=E.220)^о.вид:ф образуетоттензоромимеетАб4Л)+производнойА2вформуламкприводят+класс:Потенциалприводятприводитдф/дЦ(А)-РомбоэдрическийобразующимфотпроизводныеА20:=А5Тензор327+2А5,А3=Ai+E.223)o,А3,А4=А4+А5,аГлава328соответствуетемуТензорные5.функциичетвертоготензорранга4СE.79)+2A2/<Q)+коэффициентыиE.198).(К)-Квазиизотропныйкласс:Потенциалимеет+емусоответствует(/)-Изотропныйвид:|а»^>=имеетi(Ai=деле,14С..
-Т®Тфрассматриваяможем4Скакфункций§5.5.4С<*>=•ТДляформупредставленииB)Рассмотрим4С=действительноТE.227)S,=тензоромчетвертогоявляетсяпотенциаломТа-ранга.длявсехещеоднутензоровпредставлениеОпределениеспектральногоквазилинейныхпотенциальныхпредставления,основаннуюпространство•E.121):согласноE.227).Спектральноетензоров.квадратичногопроизводнойвторого5.5.1.E.226)функциюскалярнуютензорсимметричнымE.226)линейныхдляможносимметрии^0.+каквычислитьявляетсяобразом,фпотенциалвиде:-^аТТакимклассоввсехE.194).у?74Срангачетвертогоф=E.116),E.225)V>o,+коэффициентыифункцийвпредставитьтакE.196).у>7А2/2-E.81)тензорапотенциальныхсамом\2)ll+4Стензориспользованиемтипакоэффициентыивид:соответствуетлинейныхВE.80)E.224)*,,класс:фС^LQ)+4СтензорПотенциалему(Л2+Дадимрангапредставленияфункцийнаопределениесимметричныхтакможноназываемомдатьспектральномэтихтензоровпредставлений.второгоранга§__ТеоремаСпектральное5.5.5.12.ПространствоподпространствгруппыпреобразованийортогональныхсуммунекоторойотносительнополнойподгруппойпредставлениеортогональнойИначеV(i)=любойговоря,S$'разбитьможноV(Q),ФG8,относи-Gsсимметричныйподгруп-являющейсяIq:Р(„),0..прямуюнаинвариантныхпреобразованийгруппыSi2)329тензоровтензорE.228)/о.СТрангавторогоможносуммойпредставитьE.229)п<6,(в)>а=1каждыйгдеобладаетвторогоP(Q)ранга,Р(а)Р(в)--Р(яфункциейQпреобразований4°Заметим,ПосколькуQ)<2431)9P/QvдействительноV(Q)P'(e)l=P(aj(QT=-АT•тожепостроивсимметрии.т0~преобразований.Ттензора-любогодля*Р(а)преобраQ G G,,относительногруппыпп.5.5.3E.231a)V(a)iместоE.229)ввVlay€принадлежитимеетотносительнот.е.группQ)линейноепереписатьеееслиP'(Q)P(e)lE.231а)какпредставленияконструктивно,•себя,вподпространствотакинвариантноВозможностьразличных-Р(о)инвариантноеE.231а).преобразованиято•Т:отопределяетV(Q)виде:(QгруппеE.232)действительноподпространстват.е.E.231)Q),•а=1..
п.E.231)формулачтоТфункциейтензорнойР(а)(Т)=4Г(а)--Т,=преобразование•соответствующийлинейнойявляетсяР(а)P(a)(QT=G,,преобразованийпреобразований,G,;Р(а)тензорQ•индифферентнойявляетсягруппыР(О)(Т)E.230)афC;P(Qjлинейныхтензор-•взаимно-ортогональны,~еслиотносительноQTгде0,=подпространств)тензорнойV{a)\подпространствуподпространств)(инвариантностьтен-симметричнымявляетсяпринадлежащим(ортогональность3°свойствами:следующимиподпространств)сумматензором2°Р(а)тензор(прямая1°5.5.8этидокажемпредставлениянижекон-дляГлава330Определение4°>-называютсимметричногорами,причемнеранга,второгоE.229)4Г(а)некоторые-Т,отпостоянныетолькоабылоилитензорыобразующихотустановленоСреди4Г(а)этихпроизведениемимеютсяприводимые,4Г(а)ДляГ^а)Изиа(а)QT.a(a).Q=компонентном-5.5.2.рангаа(а):E.233)п.E.234)1..
п,+т=-Р(а)(Т)чтоследует,т.е.сами,тен-должныD.12):4r(a).. .(Q0Q0Q0Q)G5312468),=E.235)виде:='Л')Л4ё,1Г=Агкафункции4Г(а)<.тиндифферентныD.7),а(а),а(а)где.4Г(а),бытьусловиям4Г(а)¦\г^2должныудовлетворятьв¦индифферентностиусловия4Гаили¦тензорнымвторого1..=группыинварианты:(—тензорывводятсяа(а)4Г(а)=аа(а),ааиполученныетензора0-уа(а)=4Г(а)тензоровт.е.ран-О,G)тензоровсимметричногонекоторогор-тензо-четвертогоGa.симметриисвойст-девиаторамиобобщенныминазываютсязависящиеобладающеепредставлениемранга.представлениеспектральноеР(а)E.229),спектральнымтензораВпервыеБ.Е.Победрей.ТензорыфункцииПредставление5.10.1°свойствамиТензорные5.0а^)ё,ё,-20ё,а®а^ej,Инварианты,связанныесоE.236),Г/'а)"'4^1'1-!=преобразованийматрицапроизвольнаяЦа)*4ё,-4,0а^А*кА^=из•-^t4-4^•G8.группыспектральнымпредставлениемВведемихР(а),каквсотличиеуоткоторыхР(а)тензоровпомощьюинвариантов,4Г(а)Ув(Т)инварианты=§4.1,вприводимым,является—а(а)аа¦-Т,Т,тензоравведенныхкак=1..YQ{T).ДляYQинвариантаобозначим.т,техвводитсяE.237)§5.5.E.232)изпричемСпектральноепредставлениеE.233)иследует,E.237)скалярДляР(а),называютсячтоЗаметим,E.239).формулаС(Т)(Vi—чEE.237)2ШЗаме-инвариантами.такжелюбогоразложениефор-справедливатензоравторогоТрангавидевпредставленоформулойЛ1/2-Р/.квадратичнымибытьможетинвариантом.вводятсяинвариантыинвариантовE.238),учетомE.229)линейнымra-fl.
.п=спектральнымилинейныхдляE.238)спектральнымаYи^-Ya&{a),=называетсяостальных331чтоР(а)атензоровп__ОтметимбудутР(а)ортогональностиР(а)(Т)'E'24°)разложений,спектральныхР(а)скалярноY1которыедальнейшем.виспользоватьсяУмножаяа=т+1свойстваважныхдваТ)+**аа=1Т,научетомсE.229)представленияиполучаем:пР(а)**ТЕРИ='*((>)РИ="РИ'E-241)*=1".".Уа'=/3=1РассмотримвместоскалярныйтеперьТР(сфортогональностиквадрат*'Р(/з)S=всехквадратовсуммаодинитотжеР(")"•с*Р(а)-Типодставимучетомортого-инвариант=? У'спектральныхYaинвариантов-следa=lE'242)а=1а=1а,/3=1образуеттогдаполучим:")т.е.ТтензораE.229),разложениеспектральноеотквадрататензора:всегдаоб-Глава332Спектральное5.5.3.Тензорные5.функцииклассадляпредставлениеизотропииДокажемТтеперьПокажем,введенныеНачнемсуществуют.aклассаЕ.ot(i)-Тогдаегоклассетолькотолькосуществует(см.п.4.1.8)одинодинсу-рангавтороготензоринвариант:=аA)(I).-этомвпредставленияспектральныеизотропииО5G)тензортензора(а),п.5.5.1всОбразующийэто5.12.теоремучтоСпектральныйЕ,т1,=линейный(Е=аA)•-ЕI'2>/3.=выра-следующимопределяетсяинвариантE.244)выражением:iLLT).СооответствующийE.245)емуP(i)тензор|^ВторойобобщенныйдевиатордекартовойсистемеfДругихдляклассаПокажем,обобщенными|J2{'обобщенных=имеетвид:E.248)отензорыкоордината'({}E.247)^Е0Е.А-=образом:i/iE.-4ГB)тензорему4ГB)ВТ=E.246)следующимстроимРB)СоответствующийE.238):формулойопределяется=с*1'' ,-(SikSjlахвдевиаторовэтом4ГB)вид:имеютл/г,=SuSjk)+иа.^-E.249)-SijSkl.классенет,пчислот.е.изотропии.чтопостроенныедевиаторами.такимобразомтензорыР(а)являются=2Спектральное§ 5.5.Проверим-РB)*ЕЕкомпонентнойт.к.(Т+'(Т"РA)=РB)>и^-т.е.S(J=Р(а)записидевиаторнуюСпектральный%=E.253)Представлениесамом+РB).склады-деле,E.250)E.230):справедливостьJ'lE"имеюттензорыiS\i)+"'Е)°=вид:..-ZW=+разбиениемназываютРЦуE.253)тензоранашаровуюичасти.квадратичныйинвариантУB)ЭтотвВ3.Т'3его^ДЕ)-Р(Х)5/lE==•Вb/lE=ортогональностьР()E.229).333получаем:ТПроверимтензоровформулысправедливостьР(а)>тензорыскладываяпредставление(РB).-РB)I/2.=называютинвариантдекартовойE.254)интенсивностьюсистемеE.239):поопределяемТ,тензоравычислимкоординат:зTlY*=PijPij==53Р««+2(Pi22Р12з++E-255)Р2з)-а=1ноPijfij=Рп=A/3)TkkSij,-Гц-поэтому\(fuРгг=Рзз=Pl2f22+=\ITi2,+Тзз)((Г22(№з--Р13=|((Г„Ги)+(Т22Гц)+(Тзз=Т13,-T22)+(Гц-Гзз)),--P23Г22)),=E.256)Т2з.Глава334Тогда,E.256)подставляяТензорные5.функцииE.255),впослеподобныхприведениячленовполучаемTl| ((Гц=Т22J-(fu+ТззJ-(Т22+Т33J+-E.257)декартовойвпредставлениекоординат.используемоечастосистемевторого(кубический)Квазиизотропный5.5.4.Какп.4.1.8,впоказановСледовательно,агэто-имеетсяЕ,впоэтомуил/3,=обобщенныйпервый1ш=Е,=такжерангавторогочислоa(i)классеIf-классетензорпредставленииспектральноминвариантаклассквазиизотропномобразующийодинтолькоспектральногоmE.258)1.=Р^)девиатортакойкакже,виизотропии:РA)-^ПаA),v3=E.259)гдеYi(T)Однако,посуществуетрангаещедевиатор--=общееп=3.OhРA)возможностьРC)-число^Е®E.261)Т.•вид:=4Г(а)-ОЛ-принимаеттензорыСледовательно,квазиизотропиису-четвертогопоявляетсяТ=этомТ=Соответствующие4ГB)случаетензорследовательно,приРB)квазиизотропномдевиатора:одногоРC)ВторойвE.260)образующий(см.п.4.1.8),О&построения/-классом,дополнительныйодинэто-ссравнениюеще^=h(T).=ОЛ•Т-i=YiE.-выражаютсяЕ,обобщенныхE.262)образом:следующим4ГC)=девиаторовА-E.263)О„.дляквазиизо-Спектральное§5.5.Проверим,E.232)СвойствоиндифферентныхтаккактакжекакE.230)состоятиндифферентАиО/,.изЕ,тензоровP(Q),E.241):функ-всехтолькоортогональностьE.232).-индифферентностьиобразующихклассавзаимную335свойствами4Г(а)тензорыК-относительноПокажемтензороввсемиочевидно,Р(а)(Т),функцийобладаетP(Q)чтопредставлениесвойствоиспользуяА)-о,=a=lP(i)-PB)•P(i)=PB)-PC)•P(i)-(T=Oh-¦Т=УB)ЗапишемТ=(Т••Oft•-Т•-Т)-=^ДЕ)обобщенныетеперь-T)-(Oft•-T•11-i2—Т2+-i21ЕОЛОл-••.(Т0идевиаторы=E.264)0,=\о=вид:имеют•=h)i/xE)-инварианты-.(Ofthh=—T2)квадратичныеУC)-P(i)•/ЛI V^ (t2=Спектргшьные-T•-(ТТ)®-Т)=2ICQ),i/2.инвариантыE.265)вкомпонен-компонентах:р^=7z6ii'р™=% ^fа=1Тензоры4Г(а)имеюткомпоненты:следующиеа=1"$%Y*6i*'E'266)Глава3361Г(з)г/*/ЛинейныйYiYxиМатричное22-E.267)SiaSjaSkaSla-а=1Уг,квадратичныеУз4=(№i=функцииSuSjk)+-bffcb=У2Г{&ik&jl1=Тензорные5.Т22J-Узинварианты\/ЭД2=(Гп+f+23ТззJ-1/°00Т33JI/2.-девиаторов:0\01E.268).(Т22+обобщенныхпредставлениеTI3I/2+PC)«i»10•Т12\Т13=PB)ij? |О2Т22ВэтомТ230ОТ332Тзз-Т11-Т22/E.269)(Тз)-Трансверсально-иизотропныйклассыЕэто-образующихдвасуществуетклассе(см.п.4.1.8)О(,O-О(Й')-Гексагональный5.5.5._°\ОГц-0Т23О=Г1аё2,ивтороготензораобразоватьможнопоэтомурангадватензораа(в):иихпричеминвариантыпринимаютИм=(Е-ё3 ®ё3)ё3®-m•ё3®-ё3®ё3ё3)=3|ё3|4=-2ё3Т-.ё2,E.271)1,=•спектральные=ё3+1инвариантыу2=E.270)2,=значения:следующиелинейныесоответствуютобобщенные-(Е•У1(Т)иё3=O(i)а22)Е-ё|,=аB)=3-2 +1Т:тензора-Ьт--(Е-ё2)E.272)Р(а)девиаторы®ё3,РB)=4=Уг(Е-ё3®ё3).2.=E.273)§5.5.Спектральноепредставлениетензоров337_Полноеслучаечислоортогональныхправно4,=V[a)подпространствоставшиесяадваданномBвычисляютр-тензораслу-следующимобразом:Р(з)Т=-^У2(Е-4Г(з)Тензорыследующийи4ГD),Л=-(Е-этичто-ё§)(Е0%1)--(Oi=ё§+ё\•Т=E.244).Проверим0ё|=+наJ(Oi+ё§+•E.274)Т),имеютдевиаторамизР=™ё30ё3.-(Е-ёз0ёз)1.Аналогично-(Oi-О20Т,при0Ог+О2+О2).О2),®E.275)E.274),Ог0следуетортогональностьРA)"РB)Запишемё§девиаторамE.229)Справедливость|ё§|Bё|ё\0Oi4Г(а)соотношение:•ё\-0умножениемочевидноет.к.•этимсоответствуюттензорынепосредственнотензоров(Т-соответствующие4ГD)ТY&1+вид:4ГC)Тоё§)-этомО2О2))0проверяетсяучестьследуетпостроения•E.276)-Т.E.273)тензорови(<*)'•^(|ёз|2~|ё3|4)=можноустановить-0,E.277)другихортогональностьР(а)длявыражениядвухспектральныхквадратичныхинва-инвариантов:-Учитывая,4Ух(Т•ё!+ё|•Т)-ё|•+4Y?.E.278)что(Т.ё|)--(Т-ё2)(Т.ё1).-ё1==(ёз-Т.ё3J(ё§.Т).-ё1==У1,У12,E.279)Глава3385.Тензорные8УХ2+функцииполучаемУ42=2ё|•ВыражениеТ22УХ2+-Узинвариантовдля4УХ22(ё2=Т2.сполучим-У*).E.280)помощьюсоотношенияE.242):У32Запишем/i(T2)=компоненты-тензоровУ2У22-иa(Q)У42.-Г(а)вE.281)декартовойсистемекоординат:aB)ВыражениясимметричноготензораобобщенныхдляТимеют=V^,E.282)произвольногодевиаторовсимметрич-вид:Гц-il-/22№'i4;i&*2&зг)++Гзз^з^уз-№з^з+E.283)ИнвариантыУаТтензораУ2вычисляются1=--j=Tij(8ijобразом:следующим-Si3Sj3)=Гц—¦-=—,+Г22§5.5.г3Спектральное-/»j-t—=jlUnгм9OfHT10\0О(ПН%\i-гг)—Тзз/0+-Ч-мз—f\-'гз)-/1220Тц)/20Т13Т23t23000=\Ti3тензора,увеличиваетсяё|,инаклассечислаикакзаодинимеютсядваТензорыjE.285),,тензорарангаСледовательно,Од.2,пиа(а)образующихчетвертоговданномзначения:=аналогичныа(а)|дватензоровследующиеmт.е.имеетсятензорасчетимеюттипЯ-классе,виндифферентныхчислоно0классже,такклассеО110(^з)-Квазитрансверсально-изотропныйЕ000/0этомвид:Т12-0В=\0(Т22Т125.5.6.^-^-33имеет,фП^='(Ги-Т22)/2РD)уПН^>1девиаторовРШ,+E.284)\00339^iJfc3^Jk3~обобщенных=00PA)>ii22/rniПНпредставление/0тензоров4T12J,+?\1кг±къ—+vilx—^22)-\/2МатричноеI33—1представлениетриE.286)5,=4Г(а)тензораранга.четвертоготензорамсоответствующимв(Я)и(Т3)-классах:a(i)Линейные=ё§,аB)=Е-ё§,сцинвариантыспектральные1,=такжео2остаются=E.287)2.безизмене-изменений:У1Т--ё2,=СоответствующиедевиаторыРA)=Пё2,у2-2=Т--(Е-ё2).=имеютPA)E.288)вид:=-Ly2(E-e2).E.289)Глава3404Г(а)ТензорыО„=ё|-4ГD)4ГE)АСоответствующиеё|0±(Е--(Oi-обобщенныеим§1)-(Е®+O20О2),0Oi+О2Qi0Ол-вид:имеют-(Oi==функцииклассаданногодля4ГC)Тензорные5.ё§),-E.290)О2).(8»выражаютсядевиаторыследую-образом:следующимРD)Р(б)ЗдесьПоскольку=-•4=У2Тл/2ПятыйТ==такой-Ofc-(Е)¦¦.Ол/!(Т2)-системе2Т2•ё2)-•координат-ё§-ТОл=исвойсохраняетвидE.292)+УХ2=•••У22+-Т0Т-Oh•тензоры••-Т0Т2УХТ-Y?--Oh•У22.•-ё2-E.293)2У!2.+иa(Q)=а=1(см.(Я)-классадляинвариантE.243):изнаходимдекартовойкакже,2(Т2--ё1-У12).=-Oft¦инвариантУ52все-У32:-Р(з,•обладаютинвариантыемуинвариантРC)2У1ё^р-тензоров.соответствующийиУ42У22обобщенныеE.232)РD)-девиатортоВычислимВE.276).E.230)E.274)),E.280):E.291)+образомтакимсвойствамивсемиё1.Т-2Г1ё§,+Т-Ол-.Т-Т.ё1-ё1.Т=свойствоучтеноВведенныеТ.ё§=1)E.294)4Г(а)пB)имеют=у/%,вид:E.295)§5.5.1ГD)г/Ы=Спектральное№"йзГпредставление^k3)Sj3+тензоров_3411+X12ОбобщенныесимметричногодевиаторыР=/TlМатричное^11—.fnSj3этих00000имеетвид:=01P{2)ij,Тзз/0=10Т130\00\0(Т22000Т13\0Г23Т230РE)«/=0Т120\^12°°000/\ТE.297),0//,тензораинвариантыГц)/2-совпадают'линейнымисинвари-(Тз)-классе:YiКвадратичныеNС00вСE.296)девиаторов0инвариантамиСвид:2Т3з<Ы;з,-(Тц-Т22)/2Линейные/Симеют/XII=00у^22+fj35i3+представлениеPA)ijТтензора=инвариантыY2Тзз,в(^з)=4=(Tiiv2+E.298)вид:имеютT~i223/ \1/2Г22).'у_5—л/V 0|77,^|о-|l121/ГС-\O.?%7VJOQQ\Глава342Ортотропный5.5.7.Втензора второгоимеетсяиобщеежетТензоры4Г(а)иа(а)3,=имеютмакси-девиаторов4Г(а)а-Оа_3=пдевиаторыE.300)6.=вид:ё*,=а(а)Обобщенныетензо-симметричныхобобщенныхчислот.е.шести,равноиндифферентныхтриё^,ранга:максимальнофункцииклассклассеэтомТензорные5.1,2,3,=а(в)Оа_3,0аE.301)1,=4,5,6.=образом:следующимопределяютсяР(а)=Уаё^,аE.302)=1,2,3,гдеYQлинейные-спектральныекомпонентной-ё*E.303)свойстватакжеа^Оа^з(Т=всечто•инварианты,Р(в)Проверим,СпектральноеТ=•.Ов.з),аE.229)р-тензоровE.229)представлениеE.304)4,5,6.=-E.232)проверяем,выполнены.переходяккомпо-записи:?Р(«)(У«ё«Е=а=1а=1^°«+з(Т+•-Оа+3))=3а=1Индифферентность®а>Оа0ОаиндифферентныВзаимнаявекторовР(а)(Т)функцийР(а)ёа:•-Р(/з)=ё«--ё^=0эт.к.очевидна,классаР(а)ортогональностьбазиса-относительновытекаетаизф /3,а,0=всетензорыортотропии.век-ортогональности1,2,3,E.306)§ 5.5.Р(а)"'^(р+з)2(ёа-ё7)(ёв-ё*)=Р(а+з)Спектральноеёа=представление-Ор•-Poj+з)КвадратичныеОа=ёа0О^•Уа2а#/3,0,Запишеминвариантывсетакже=1,2,3.определяютсяавведенныеё7)ё«$ 0а,/3=Р(а)--Т=Л(Т--Оа_3J,=ё<$ +0E.241):формулам_3431,2,3,==спектральные-(ё7•а,/3,7,*0,=•ёа=тензоровформу-E.307)4,5,6.=декартовойвтензорыпосистемекоор-координат:SiaSja,=O(a).j-иrea*o*io,=Р(ъщaftatfnSjs=,=Tee,aОбобщенныеP{6)ijY41,2,3;имеютдевиаторы2\2(*a*,-2=+f23(Si2Sj3=л/2|Г12|,=вид:РD)у6а6ц),+=имеют1,2,3;E.308)фРффа-инварианты=1;=аа**)девиаторыЛ«)У1,2,3,—SbWSWUОбобщенныеa^2^1),E.309)6i3Sj2),+Пследующеепредставле-матричноепредставление:00\000,000//ГцP{1)ij=\/0РC)у\0/РEH5.5.8.Вэтомиравны000Т13\ООО00/0Ти=V0/0Р(в)у,О=\0Т22000Т120\0000/E.310),00ОТ23Т23ОклассклассевторогоТзз/\Т13Триклинныйтензоровсовпадают=РD)у,0\0/00Р(а)у\00=00/0=имеетсяранга:индифферентныхшестьeQ®ёр,тен-симметричныхследовательно,всечислашипсовпа-шести:тп^Ti=б,E.311)Глава344обобщенныеаТензорные5.функцииТензорылинейными.являютсядевиаторыимеютa(Q)вид:gСпектральныеYaаё7®-ё»•ПоэтомуУ3+аобобщенныеР(а)Очевидно,=^Т=YaelPC+Q)2Оа•=а(«+3)поформулам:/?>,,а=1-E.313)1,2,3.=вид:^3+аОа,=свойствавсеОа'=имеютдевиаторычтоё/з)®E.312)1,=а(в)определяются/<?>,=1,2,3,=ё7+инвариантыТ=(ё/3=»(а+3)ё?,=а(а)авыполняютсяр-тензоровE.314)1, 2, 3.=такомприпо-построении.Вдекартовойследующийсистемеимеютследу-афрфчфа,а,/3,7=1,2,3,аобъектывведенныекоординатвид:E.315)также^(a)ijYa&iaSja>=СпектральныеP(a+3)ijимеютинвариантыYaПМатричноекаждая(P(Q)ij)=\PC)ij/00V00одну00\000,ооо//ГцP(i)ij=|Т13|,УбобобщенныхимеетE.316)1,2,3,—осY5представлениематрица&П^р)-+видТаос,=|Т2з|,=^^{^i^h==|Т12|.очевидно:такжедевиаторовненулевуюкомпоненту/0P{2)ijE.317)00=\оТ:тензора0>Т220оо,t23IО=000Т,Рш=00^,E.318)§5.5.Спектральноепредставлениетензоров345PF)ijСравнение5.5.9.сДляклассаДляостальных(О),ц\Вклассе./3=ЭтотклассеортотропиикакраззакончилиЗаметим,(К),(Я),(М),инварианты,спектральныено0,>(А)(Т),и(/).=т,п,имеютсяположительнонеразложенияР(а)5.5.1.чтоследует4Г(а)•-4Г№=0,показав,YQформамиостальныхчто(О),(Е),классов:опре-поотклассов:инва-квадратичные(см.п.4.5.5),определенными§кПоказать,5.12,дляАпостроены.УпражненияУпражнениедляпоэтомукоторыхуявляющиесяспособомопределенными1,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
