Димитриенко Ю.И. - Тензорное исчисление (1050322), страница 36

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 36)

.2)-введениеположитьЕсли=Тз-классовифункциифункцииGJ^инвариантовфункциональныхкромепредставленияхj[?=Wкласса=вид:(elT)..(el.B),=Wдобавочные=AT=A?инварианты=неE.550)вводятся.ГЛАВАвТЕНЗОРНЫЙБольшинствофизикизаконовТаккакэтимеханикиОказываетсякомпонентотпоэтомудифференцированиет.е.являютсязависетьотдолжночастныекакого-компонентамиприменяюттензоров,нетензоровобычныечтооднако,нетензоратензора,другоговеличинами.дифференцированиеипомощьюстензорными"объективны",бытьтокоординат,свойство.этозаписываютмеждудолжнызаконысистемыучитыватьпроизводныелибоисоотношенийдифференциальныхвыбораАНАЛИЗспециальноеикоторомуковариантноенастоящаяпосвященагла-глава.§Символыв.1.1.Пусть0х%иКовариантное6.1.КристоффеляможноШ3пространствевдекартовойкромекриволинейнаянекотораяимеетсязаданодифференцированиекоординатXхкоординатвкотороетензор-функциюкакрассматриватьпП(ж),полетензорноенекотороесистемысистемакриволинейныхотA.2),A.3)силумож-координатпЩХх).Рассмотримбазисаслучайпростейшийтакогополя-локальныевекторыR,-.ПосколькусистемаХккоординат(хг)базисавекторыдействительноотзависяткриволинейная,тот.е.имеетсябазисадИг/дХ^.дК{/дХ^координат,локальныеполевекторноеkРассмотримвектором,векторовпроизводныефиксированныхпригзначенияхтоегоможнои{коэффициентамиразложениясвязности),объектпоразложитьdRi/dXjКоэффициентыj=Г^-являетсяRj:базисавекторамr*.R*.F.1)КристоффелясимволаминазываютониПосколькутожесимметричныпонижниминдек-Глава402Г^.сам:Г?,=Тензорный6.т.к.3R,дХ<дХкКристоффеляпереходеоднойиззакону,отличномупроизводныеотнесистемыкоординатR;произ-Для(см.R*ипоВычислимдКк/дХ\базиса:междупе-припреобразуютсяупр.6.1.1).(см.соотношениетензора,онидругуюввзаимноговекторовF.2)компонентамиявляютсятензорногоотпродифференцируем6RkдХ*'дхдХкСимволыанализпродиф-этого1.1.5):упр.тогда9KiУмножаяэтоуравнениетензорноdRj/dXkв.1.2.Г*,СвязьсОказывается,Г^-A.14),сJ|iМеняясвязаныrj-fcR,=iиндексывF.4)fc,иRy•СкладываяF.5)F.4),F.6)и=fc,илевуюсамомделе,иправуюTljk¦R,Т\кдн=+Т'^дц.диф-F.4)rUi,-+r>/.аналогично:1-частиF.6)извычитаяучетом.Т\кдинаT!jk9ilA/2)<7*т,Кристоффелясимволов..-выраженияполученногосимметрииdg{jTijguF.5)получаемзатемс+•^иполучаемdgikУмножаяВполучим:jиндексыR,-+^уравнениед^.F.1):|fМеняяматрицейс_dRiRj_обозначенияучетомF.3)имеем:Вдцилиполучаем:-r?fcR\=gijчтодифференцируяR1,на=2Г^/ЬпридемF.7)ктеореме.§1Отсюдатолькочтовидно,вdgikkm9декартовой\d9ijсистемекоординат,гдеconst,=gijо.=Частоформулу,используютсвязывающуюdgimВычислимтакже(g{j)с_dgkm\_)~A.156)формулыучетомimdgim1dx*ьх™Xk:noКристоффелясимволыdgkj+dxkdetопределяютсяГ™gij:_*403КристоффеляматрицейметрическойдифференцированиеСимволы6.1.ТЕОРЕМАКовариантное6.1.29отпроизводнуюF.9)F.10)иFЛ0)чтополучаем,fcm~~2gdXk/КристоффеляСимволы6.1.3.Г™-УмножаянаgmkпервогосогласноГ,;*ковариантныеполностьюКристоффелясимволовИзметрическойF.8)КристоффеляиF.12),ДляназываемыеГ?]этомвПустьточкиследуютсоотношениямеждусдд&dx>"Г,^dgij\эх*)'скаляраимеетсяМназваниеиспользуютматрицей:ГрадиентКрис-символамислучаерода.второгоih_ +6.1.4.F.12)T?j9mk=очевидно,индексами,жонглированиясимволы,рода.первогородаправиламполучим~скаляркоординатами'g-Из.."dxk'y>(Xfc),Хк.заданныйкакфункциякоординатимет-=Глава404ОпределениеанализГрадиентомобразом:6.1.следующимопределенныйТензорный6.назовемскаляравектор,kЗдесьVкоторыйГамильтона,символ-набла-называемыйдействиекактрактуетсяFЛ4)символического^,ВведемтакжебазисуRfc:пообозначенияF.15)компонентдляУ7<рвектораразложенияhполучим-ссовпадаетДляF.15')производнуюковариантнуюобычнойчастнойскаляра,очевидно,которая,производной.такоготензоровивекторовко-ом,операторвектора:каксовпадения,увидим,ужедалее,нет.Ковариантные6.1.5.РассмотримIR3викомпонентпроизводныепроизвольноетеперьеговычислимЗаполевекторноеХк:попроизводныеда1da'R,~дхквектора'"дхк)Величина,отстоящаяскобках,вивектора^производнуюКовариантнуюпроизводнуюотсамого^гКонтравариантнойконтравариантныхпроизводнойобозначаетсякакaT^.отковариантныхвекторааF.17)компонентвекто-каквектора определяютТогдаFЛ6)jlковариантнойназываетсякомпонентконтравариантныхзаданное<9R,дхк~,_~дхкa.(Xk),=V*a'"Rj=производнойкомпонентвектораможновиде:F.19)R'Vfcfly.от,соответственно,называютивпредставитько-V"V=иконтра-величины:следующиеgmkVkaj.F.20)§ 6.1.Набла-операторв.1.в.вектораRkиРаскроемприращениеблизкуюва^0смысл:R*=RjVkaj.0градиентаскакегорассматриваяизпереходомMiF.21)вектора.da,вектораточкувзаимноговекторовда./дХкR*=физическийдифференциала, обусловленноевектораХк0(градиентом)произведениепроизводныхV405векторатензорноечастныхВычислимградиентНабла-оператором6.2.называютабазисадифференцированиеиОпределениекоординатамиКовариантноеМточкиХккоординатамисdXk:-f^X"ЕсливкачествевыбратьаF-22)х,радиус-векторто^kF.23)УмножимслеваR1'иdx•итоге=gimgmkdXk•RkdXk=dx-Rk=dxVkajRk•образом,векторасапереходе(V=градиентR1'=6idXkRmgmkdXk-=F.24)dX\=образом:следующим=dx®RjRk•dx=•(VХкточки(Vтензораа)т•V<g>F.25)a.F.26)dx.0а)тсвязываета)т0наприращенияхрадиуса-вектораприращениямиматериальнойформальное0векторасоответствующимиотДля=получим:daТаким-^F.23)тогдапреобразоватьможноda{Xk)ВR1'F.22)Следовательно,R,-,на=получим:kсправаприра-координата-кХк4-F.15)основанииприdXk.следующеесправедливопредставление:(V®а)т=а®Vда=j-g®Rfc=VkajRj®Rfc.F.27)Глава406V'a-7производныеТо,Vчто0Xхкоординаттензорномузакону.V,'aj,V,aJVа®аVa^,<g> R7Следовательно,dcij/dXk,ко-компонентамииПосколькутензорявляютсякомпонентамибазисах:R,V'cyR,-=частныхотRj<g>=VVR,-R,.F.28)<g>даг/дХкпроизводныхконтравариантныеявляютсяпроизводныефизическиедифференциальнымиинвариантнымизаконыРоторописываются,икомпонен-кактоуравнениями,(аковариантныев.1.7.егопо^тензора.именночто<g>отличиевсистемыпреобразуютсякомпонентыV.a'R'=обратному-пооднойизпереходесоответствующихвF.26)изприследует,Vctjвто-V'oj,тензора.например,егоF.21)изV.-aj-R1'=Х1хтензоромконтравариантныеэтогоследует,тензор,другуюНоииСледовательно,вявляетсяVt*Ojкомпонентамипризнаку.тензорномуV®aVt-oJ',являются-анализвектораковариантныеаранга,ТГрадиент6.2.ТеоремавторогоТензорный6.частные)неинва-правило,внихиспользуютпроизводные.вектораОпределение6.3.определенныйРоторомследующимVИспользуяхаR1=-^хA.33)определениекомпонентыназываетсяавекторавектор,образом:rot=авекторногоF.29)2w.=находимпроизведения,ротора:VВекторявляется§1.9).называютu>образованныйх=—e^V.-ajR*.двухвектором,Кромеявляетсяft,которыйпоП=¦i*Ехо)1=•((*•&)-Rt..®R'xRJ:"-с1и>A.203)некоторомуЗа¦*>&)=можноявля-(см.псевдовекторомсопутствующимобразом:образо-вектор,векторов,говоря,вектором,тензорувсякийполярныхвообщет.е.,с*>того,Каквихря.произведениемаксиальнымF.30)л/9векторомвекторнымкососимметричномуследующимаобразоватьКовариантноеj 6.1.ЗдесьF.21)определениеКососимметричныйназываютможновсегдаегопроизведения,векторноговектора.П,свихря,_407двойногоградиентатензортензоромвектораA.48)свойствоиспользованотакжеадифференцированиетранспонированныйпредставитьF.31),формулойопределенныйпомощьюназы-градиентвиде:в(V®a)T=eF.32)ft,+гдеeсимметричная-def=^аЕЕ(Vа+(V®линейнымназываемаячасть,F.33)а)т)®деформациитензорома.надПодставляяF.32)разложениеF.26),вГелъм-формулуполучаемголъца:daкотораяа)т<8>•dx•ft+dx•Т=векторадеформацииДивергенцияаи•dx+F.34)dx,xu>Мточкиокрестностиввихря.вектораОпределениеследующийТ=линейнойтензоры1.8.dxприращениеопределяетчерезв.(V=Дивергенцией6.4.вектораследу-называюта.скаляр:vСF.11)учетома•Ri=F.17)и*4^v«a*==divF.35)выражениеF.35)a.впредставитьможновиде:L^в.1.9.Набла-оператор—Набла-операторVсамостоятельныйсамостоятельныйумноженияпроверить,F.35)набла-оператораичтобудутсправедливымиобычныхформулыпри<8>а=R*VfcF.37)являютсяF.21),ротораформальном<g>ajRjлегкоF.29)умножении=VkajRkумножепрове-операциивсеНапример,векторов.градиентадлясправедливыVR*Vfc.=длякаксложения,кова-операторыявляютсяпроизводной:VДлясамосто-какрассматриватькоторогоконтравариантнойиливекторформальноможнокомпонентамивектор,риантнойF.36)<g>R,-,иVдивергенциинавектора:Глава408VVВxaVkОднакох.отвФормулаформальномобратномподходеаVвектора,однакоVk<pпроизвестиполученад(р/дХк.=умноженияоперациипорядке:V0амыможнодругбытьможетF.15')обычныеперемещатьтожескалярастоящийначтоможносогласно®,компонентамдействует(напомним,произведенияхкаккV*тензораградиентатакоперацийзнакамотношениюпоихкомпо-перемещениякпоF.38)vfc*imVfcajRm.правилаперемещатьопределениюV*a*,==отношениюпоидляR,xобычныетензорахR,•V*a'R*=какпутем,ЗдесьVkajRkкомпонентыдруга).F.14)формальныманализ=.местосимволнегоaxa'RjтакотносительновxajRj•действуютV*компонентыПриV*нельзявекторов,справаR*любоеввекторовдругихF.38)=R*Vfc=отношениикомпонентилиа.Тензорный6.V-ajRj=ajRj=RkVk<g>R*Vfc•R*VfcxопятьajRj=поступаемRjRkajVk•какF.39)a'V,-,'=4V9обычнымисотношениюпоRkajVk)<g>R^VxV*сперестановкаR,==R,=век-компонентамиа\куказывалоськаквыше,недопустима.Чтобыформальныев физическихрасшифровкеобязательноF.39)умножениядальнейшем.образом,"странные",являютсявполнеДлянихвектора,Всеширокох•аиdefприменяютсяоперациианазываютимеют(а)def=левымref±(а)операции.а)0=аdefоперации:такиечетыре•(Vа)т,0отрицательным)(илиположительнымнаддеформацийJ(V±аиа±^(V®а)тводнакодифференциальныенелинейныеи•(V0векто-надоперациилинейными,являются-распространениеlef±тензоромвектора.ротордифференциальныевышеVа,Наибольшеекоторыеградиентправыйправыйидальней-векторомрассмотренныеVвназвания:векторадифференциальныенадвектором:используютсяиследующиедивергенцияумноже-операциивзгляд,расобя-F.39)скаляр.иливектортензор,первыйихприоперацийотдопустимымиНелинейные6.1.10.смыслпотерялисправанаприменяютправаянесоотношениях,какой-либостоятьдолженТакимF.39)операцииа)механик啧6.1._____Ковариантноеэтихlef-t(a)ref±(а)==R,-базисевтензоровVja,-±V,-afcVjai(Vfa,+Vj-a,-±Vfca.V^a^R1'Х'%р/7s\nИспользуякоординатсистемеRJ,0R>.атакжеизрезультатысистемыкоординатли,у/гаркQnj Q kTfi;i6.1.2.Упралснениецилиндрической/лтQmi=,jfcркF.13),ипереходеприQ2—0образом:следующимpfcвид:6.1.F.8)формулыКристоффелясимволыпреобразуются§кИспользуячтодоказать,)R*+6.1.1.Упражнениеследующийимеютx(Vg-aj2Упражнениявдеформа-тензорома.Компонентыупр.1.1.9,Xх409отрицательным)(илиположительнымправымдеформаций наддифференцированиеF.8),формулучтопоказать,Кристоффелясимволыненулевыецилиндри-ввторогородаимеютвид:^аКристоффелясимволыненулевыеr=Упражнение6.1.3.Т\2асимволыПоказать,КристоффелясимволыКристоффеляГ221Г122-г=первого==г,Г133=гsin219,Т.—сферическойсистемекоординатвид:имеютsin2sin2-г==Г§зtf,имеютродаГ3з1-г,вродаГ?3-г,=Г221чтовтороговид:имеютродаГ,==21¦первогоTl22ненулевые¦*¦=sin-«M>вид:2,«0,1-Г332Г2зз=-2=g2r2 sinг2 sin•M-2t9'нену-Глава410-Упражнениев.1.4.впредставитьТензорный6.Показать,дифференциалчто<р(Хк)скаляраможновидеdipУпражнение6.1.5.имеетскаляраанализПоказать,=V(pчтовdx.•декартовойсистемеградиенткоординатвид:а=1Упражнениев.1.6.Показать,V<g>xУпражнениеF.18)V-xE,=6.1.7.Показать,F.35)градиента,длячто0.=декартовойвчтосистемеF.29)идивергенциидля-Vxx3,=формулыкоординатдля-имеютвекторароторавид:дакVflrotaдсцda==a=lУпражнениев6.1.8.Показать,символическоговиде1Xrotа=——л/9гдеVt-умножаетсянаdjаслева,axVгдеVtумножается§на6.2.ОпределимДляэтогоF.29)вектораCLj=RiViR2v2aia2правыйпредставитьможноF.39)-RiR2ala2a3ViV2V3ввиде:R3справа.тензорапроизводныепроизводныепроизводнуюрангавтороготензоровковариантныевычислимR3v3роторДифференцированиеКовариантные6.2.1.роторчтоопределителя:второготензораоттензораТ(Хк)}заданногоранга.какДифференцированиеS 6.2.тензороввторогоранга411__функциякриволинейныхотХк:координатшR,ЗдесьобозначениевведеноЪГ'Ъ=F.40)R,-.®производнойвторогопроизводныеКовариантныеконтравари-ранга:ковариантныхкомпоненттензоракакопределяютдТ-аR,-ковариантнойтензоракомпонентантных®?TmjT?kпроизводнуюковариантнуюTimT?k,-смешанныхF.42)компоненттензораследу-образом:следующимLУмножаяковариантныедктп,матрицуТрГF.43)обратнуюнапроизводныеметрическуюмат-производные:контравариантныеполучимГтГ%.-F.44)в.2.2.ДифференциалПоаналогиисдифференциаломвектораЙПП,рангаn-готензора71П,тензораобусловленноеXkкоординатами+как«M(X*)точкиизпереходомдифференциалопределимегорассматриваяdXk:приращениетензораблизкуювточку*хктИспользуяF.24),формулуЗдесьdx-Rk®=дляЯпV®—?обозначениевведено"П=Rfc®^j-F-45)получимЯп<Гпсо=градиентаVfcfl'^-'-R*г)=dx•VПП.0n-готензора®F.46)R,-в..рангавRn.F.47)ко-Глава412Градиент6.3.ТеоремаF.4V>представляетVfcO11***'11ныеitТДоказательствосоотношенииВэтойдоказательствуко-6.3теоремыоснованоитензо-производныеконтравариантныепреобразуютсядругуювкоординаттензораОпределениеТисистемыДивергенция•являютсябазисах.соответствующихзакону.6.2.3.Vпроизводныепоковариант-аранга,^однойизопределенныйранга,1)-го-fVfcnfl*#*tnвтеоремы,тензорномуп-го(птензортензораF.46).переходеприпотензорасобойаналогичносилутензорованализконтравариантныеэтогокомпонентаминаТензорный6.6.5.ДивергенциейследующийназываютVДивергенциюТ•тензоравторогорангавектор:дТR*=тензора.F.41)учетомсУ,Т'>К,=j^div=F.11)иF.48)T.можновпредставитьвидеVТ•=*1илииначеV-T=F-50)>-ОбаэтиF.49)представленияРотор6.2.4.6.6.следующимобразом:VИспользуяхТхкомпонентынаходимVРоторA.138)формулутензора,частовиспользуютмеханике.тензораОпределениеопределяютF.50)и=4=€°'*у/9V«'Ti'R*тензораТ=R1'хдляV®хR/второго^г=rotвекторногоТ:=ТрангаF.51)Т.ивекторапроизведенияу/9ЪкЧ'Т>!11копреде-0R/.F.52)§6.2.ДифференцированиетензоровКовариантныев.2.5.рангавторого413метрическойпроизводныематрицыЕслиT{jкачествевF.8)ивыбратьметрическуюто</tJ,матрицуF.42)изполучим:1-dgkidgkjAki9mj1\kj9rni-dgkjdgkid9ij/\_естьтоV^yОтсюдаA.38)изиV*^0,=F.54)0.=чтоследует,^^'Такимобразом,Теоремаgxiр,у,всехпри(но6.2.1.кПоказать,константамичастной!)неУпражненияУпражнение§правыйчтоковариантногооперацияхсчитатьможноgковариантнойзнакаиз-подиметрическойнулю.чтоследует,дифференцированиявыноситьпроизводнаяравныgРиччитеоремытеорему.КовариантнаяопределителяееиИз(Риччи).6.4матрицыследующуюдоказалимыF.55)0.=выно-ипроизводной.6.2.следующиеимееттензорароторкомпоненты:ВBimправаяиправыйхТ=•V=a'RiRm®®V=BimBimRi®Rm,=V9=компоненты:a'R,=a,-a1Т{kVk,TikVk,=градиент:=Т6.2.2.нуль:В1тК{=имееттензора3ПсимметричныйVy/getnikTi'V*,=дивергенцияаТ=тензор,=O^R,-Используятодвойная®Rj®F.52),формулусверткаегоротораij^Rfc,показать,сметрическимчтоеслитензоромТ-сим-даетГлава414УпражнениеП6.2.3.Используякососимметричный-LOИз-2V=определенияеслиметрическимu>,•ковариантныхпроизводныхдифференцированиесуммF.17)производныхковариантныхаддитивностьсП.Ковариантное6.3.1.чтопоказать,ротора?гоx(l)EE..VxfiСвойства§6.3.F.31),исверткаобразом:сопутствующийвектор,-F.52)формулыследующим/i(Vгдеанализдвойнаятотензор,выражаетсятензоромТензорный6>операциидифференцирования:ковариантногоF.41)иследуетF*56)(Гттожесамоеотносится,Bim)Tjmk+очевидно,всемкоVfcT^'=mkVfcB0',+F.57)комбинациямдругиминдек-индексов.Изаддитивностиковариантныхнабла-операторааддитивностьдивергенциииVVЪ)+b)+V)правила®(Т+В)=+R,<g>bj)RkVxaаBij)RkVx(T+B)+B)для<g> RtVxT==V•T+V+<g>b,F.58)Vxb,+.и+(T<g>i()Vk(Tij•V==справедливыVимеем:векторовV)R{+аддитив-градиенте,операциях:для-Lcy*Vi{ajy/9=следуетрассмотренныхV,-(aJ"=(АналогичныевсехНапример,роторе.(а®(axпроизводныхвоb.тензоров:®Rj+VxB,V=V<g> T+V®B,F.59)•B.Свойства§6.3.ковариантныхДифференцирование6.3.2.КовариантныеВпроизведениявектораилисамомф(Хк)вычисляютдругойформальнымфункций.напоклассическихпроизведениясогласноделе,искаляраПтензордифференцированияправиламвектораскалярпроизводные<р(Хк),415'произведенийнатензораскалярпроизводныхF.15'),определениямF.17)F.41):иF.60)АналогичныеформулыTimTjmk)+ткместоимеют<рЧкТ**=дляи+Т*Чк<р.комбинацийдругихин-индексов.Образуемпомощьюстеперьформулэтихпроизведенияградиентскаляров:F.61)градиент,роторVV<g>х[<ра)((ра)=такжеR,-e'^Vi^JR*—•(<pa)Vtp=0аа+tpV+®вектор:F.62)а,=Vt(^af)=ироторградиент,0наскалярапроизведенияVk((pa{)Rk=VадивергенциюиV^>=•<pV•a,наскалярскалярапроизведениядивергенциютен-тензор:,V6.3.3.•(<рТ)Вычислим,отиспользуяпроизведенияV<p•Т+<pV•Т.произведенийДифференцированиепроизводную=двухвекторовдвухF.43),определениекомпонентвекторовF.63)производ-ковариантнуюаи%Ь:+a'Vfc^.F.64)ГлаваИспользуянайдемформулу,этуТензорный6.анализградиентскалярногопроизведениявекторов:двухV(aЬ)•Формальнодля=Vfca'R*=(VЧка{КкЬ{=R,0а)0-Ь)0скаляраRt0=F.65)бызаписатьVкактензорного(а0Ь),•обычнопроизведениявекторногоградиент<цВ?•а.•былознаквычисляемVkVRk+(VЬ +•+bjRjможноградиентаиспользуется.АналогичнонеVk{a%)Rkоперациюэтуоднако=произведениядвухвекторов:V(а0Ь)х\?т{у/деука*Ы)Кту/9Ък{{Чта')Ы==(V=ЗдесьтензораВычислимb•V•(аЬ)Ь)0х=F.66)а.свойствотакжеаR*0векторногопро-1.4.7).упр.дивергенцииневозможно):х(V(очевидно,произведенийобразоватьЬвозможныедветеперьa0bтензорногоавекторнах-F.28),(см.свойствоиспользованопроизведения=WvmV)Rm-а)0R*0хавекторногочтоотдивергенциюbскаляра==(V=аa)xb-(V-b)xF.67)a,•такжеVтензорного(a•Наконец,произведенийb)0=Vk{akbj)Rj=(V•вычислимa)два(Vkak)VRj=b +0a•возможныхVakVkVRj+=F.67')b.0отротораивекторноготензор-векторов:V(ах==Ь)х((Vna*Nnb•Ve'"' *eimnVt-(am6n)Rfc=+0а+a*Vn6na(V-•b)-=bkVwamb(Va'V.-b*)-•a)-a•VRk0b,=F.68)и§Свойства6.3.использованыздесьF.30),ротораVхатакже(а0определениясвойствоЪ)(VвекторногоЬ0(Vха-Леви-Чивиты;RmиRm0=Ь).0ро-=-Le^ajVibmRkл/9-F.69)произведенийДифференцирование6.3.4.A.33)произведения0bmRm0417символов4=*°'*^,-(а;Ьто)К*л/9=а)хпроизводныхA.36)с(\?щ)Ккл/9=ковариантныхнавекторатензорУбедимсяформальночтовначале,правилоисохраняетсядифференцированияковариантногопроизведенийдлякомпонентТтензораиа:вектораa,-(VfcT'J)a,=Пользуясьэтимпроизведениятензора(ТV.-afcR1'V0+наа)-вычислимправилом,0F.70)отградиентыскалярногопро-вектор:Vt(Tifcafc)R1'(VTjkKj=Т^ка'.+R,-0T)0=(У,Г^)К1'=а•R,-0+(V=V.-o^R1"а)0Rfc0•amRm+Тт,.F.71)иV(а0+Т)-V.VTj^R'=V.Tj-fcR1'Rk0ВычислимRfc®Rj0amRm•отдивергенцию(V=a)0•0KjT+TmfcRm•(VTT)0произведенияскалярногоR*+0•a.F.72)натензоравектор:V(Т•и(aдивергенциюТензорное(Т.+14••Lл/9исчислениеха)V,(Iu.afc)+T)=отV=(V-T)-a=Vа)•T'fcV,afc+=T--(V®a)T,F.73)Vi{akTki)(V=векторного=(V,-Ta>fc=TT)••a+T•-V0a,произведения:Vi(>л/9=(V•Т)хаpj+(Тт•V)ха,(Q.74)Глава418V(а.1у/9Здесьиспользованоа=формальноеВычислим(Vxанализтакжеа)T•а-•F.51)дляF.75)Т).хкаквек-тензора.ротораотроторы(Vнабла-оператораопределениеформулытакжеТензорный(-^€V,-=^(ViTjk)Rkam_вектора,Т)х6.произведенияскалярногонатензоравектор:VV(Тх=xЭтимеханики.а)х(ax=T)x=(-VroamTfc,=-(Vправила•kTT)широкоx+V.-o'T*,а®(TT-R'xa1'V,Tfc,xнавектор:V)•F.77)a,безиндекснойF.78)xa,®R;+akViT,)+при(TT=V))Rk-V,omRfc+"(V®a)-T-a-V®Tиспользуют-R1®e''fcemnjV,(amr;=aтензораa"R*T)x+a)T•произведения(V--^-e^T']V9=€y*€/m«V,-B}mon)Rfc=R'®(V=(^ey*V«TiW)a"RfcF.76))R*)Rfcamвекторного^е/то„VV)T-a,(v,-T7отроторы^V9=-Le'i'v.-KT?y/9=_Le*i*+и(a-T)xа)•хТ)-а-(Тх(V=V(Тх=Rfc®R'=F.79)a®V-T.записиуравнений§Ковариантные&.4.производныеДифференцирование6.3.5.РассмотримТтензорадваВии419тензоровчтопокажем,компонентихформальногоправилампорядкапроизведенияпроизведенийотпроизводныевторогоковариантныетакжедифференцированияпро-вычисляютсяпопра-классическихпроизведенияфункций:^Г;ВтпT) (В>пГ?к+СвертываяВычисляятеперьТV(Т•=(VfcT*.=(V•ВTT+.V§6.4.1.отRjT)•-У,Б*ПК*производныеРассмотрим=RmRn®=иначнемдвукратногоприменениеF.14),VоператораксобойпредставляющегоVпримененииотдивергенциянабла-оператораприменения<р(Хк).полюдиффе-ковариантногодвукратногоспорядкаскаляровоперациютеперьдифференцирования,первый<g>второгодифференцированиескалярномупро-T) VkBjnRn+<g> Rfcскалярноговектора.Двукратноескаляраприповторномградиента,РассмотримдивергенциюF.81)F.82)Ковариантные6.4.Однократное+частности:*)BjnRnF.80).B,0компонентыполучаемк<g> RnB'nRs•в*(VkT)+Г,- VkBmn+отсюда,F.81)=Т\Т^)Втп-)BmnполучаемBjn)RnV*(T*-=T).га,помощьюс)Rj•иIt(Г)+(УЛГу=В:•В)T'km)jиндексампопроизведенияВ"!-)возникнутиградиентакприводит<рвекторныйградиентуобъект,триобъекта:роторотпоэтомуотградиентРас-градиента.случай:/л\а.-F.83)ДифференцируяучетомF.3)впроизведениевыражениедляградиентаскобкахпоотградиентачастям,получаемскаляра:суче-Глава420собойпредставляющегоопределенииF.83)анализсимметричныйвтороготензортополучимЕслиранга.F.15')обозначениеиспользоватьпрозводных,риантныхТензорный6.иF.84)альтернативноеF.21)вкова-дляпредставле-представление:R*=F.85)СравниваяантныхВсV,(V^)R*=находимR*.®длявыражениеF.85)ковари-вторыхскаляра:чтотого,(Vk<pRk)F.84),ипроизводныхсилучастнойA"0ковариантнаяпервая(см.прозводнойнезависимостиковариантныхвторыхдифференцирования.ДивергенциюмыполучилипроизводныхградиентаотскалярасовпадаетскалярапроизводнаяF.15')),формулуне-правилоотскаляраобра-следующимопределимпорядкаобразом:Дифференцируячастямповыражениевскобках,получаем:F*88)Tт.е.этанад(р.следующийПереходяназываемыйскаляр,лапласианачерезчастоковариантныелапласианомимеетпроизводныевид:VVРоторобразуетоперацияЗаписьот=V•V^If=V.V^R'A-•ковариантным{Vk<pRk)•скаляраградиентак=Rfcвычисляютпроизводным,VхV<p=-L€«i*v.-V^Rfc/9==V.-VV=VV,^.F.89)образом:следующимполучаем:=0,F.91)§6.4.всегдаравенсиндексамдвумт.е.векторовVнабла-оператораприменениеразличныхприводитавекторуктензоров:F.92)A,VG{®,x,-},взависимостиотивекторногосочетанияскалярногоПереходяF.92)вкдругогооперацийзнаков(здесьумноженияумножения).сим-градиентаотротордифференцированиеДвукратноеобразованиюкпоA.37)),(см.421порядканулю.Двукратное6.4.2.второгосворачиваетсяV,-Vj9?тензоромсимметричнымскалярапроизводныеЛеви-ЧивитысимволкактакКовариантныесначаладляковариантнымЛЛVивектор-тензорного,внешнегознакомявляетсяненабла-оператора,одногоспроизводным,затемаF.16)учетомдляF.47)иполу-получим:F.93)-надпредставлениевектором.в6.5.ТеоремакомпонентВнабла-операцииМ3пространствевектораи,перестановочнымибазисетензорномпривообще,двукратномпроизводныековариантныелюбоготензорапорядкавторогоотпе-являютсярангадифференцировании:1-1'».ОбразуемТразностьковариантныхпроизводных:ViVfcfl1-1"*ВдекартовойнейГ^системе=согласно0,икомпонентамиVfcV.-n'1-1'*-=ковариантныепроизводные6.3,произвольнойвтаккаквНоявляютсятензоровпроизводныетогда0,=частными.ссовпадаютковариантныетензора,Mikil'"in.Mik%l"'*nимеемвсегдакоординаттеоремеF.94)XхкоординатсистемеимеемJLfMikоткудаVследуетРассмотримвF.93).«l.

Характеристики

Список файлов книги