Димитриенко Ю.И. - Тензорное исчисление (1050322), страница 38

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 38)

.n,=будемглаве/ ах*\д*х<•_обозначенияиспользоватьдлячаст-производных:Ь^M='U(83)ГлаваПримеромX2Х11координатыи[Сь^г]*•¦XхR1,^2)?<крайнейЗафиксировавМточку?,Е(8.4):нейОпределение?называют/ЛЕслиперейти(8.1)согласносистеме(8.5)(а}.. ап)наборпроизводныхахвектораМп.вХ/гчтотойкомпонентыжеМ.точкикасательногобудуткоординатфункцийdXx'/d^=координатамкполучаем,некоторуюоткасательногоСкривойполучимпроизводныекомпонентамиточке[Сьбг],?вычислитьУпорядоченный8.3.отрезокдифферен-раза.можноа?(8.5)иметьа'хвид:?,?тоdX'x=соглас-апвектора/d?этойвсвязаныиагсзаконом:тензорнымafiПосколькуразличныеQ*y.=фиксированнуючерез?,кривыемножествовообщето,(а1..ПустьимеетсядвепроходящиеС\кривыекомпоненткасательныхСуммойсобойпредставляет(Х[кривой+-ХзНОвАналогичновещественноеточкеПосколькуКп,то,наборбазисвыбравкасательный=ej-новыйве,авекторР\(а1..чиселбазис.вэтомточке-Х|(?),функцийнаборадваиа'2сdX^/d^.=наборназовемкасательногоквекторакри-М.агкомпонент\dXx'/di=имеетсяоперациивидевекторовпроизведение\а*МпостроитьdX[/d?компонентыДаннойопределяемА:числовкасательныхпровестиОпределимможно=можноточкезаданныеа\двух.ап).тогдавекторовкомпоненткоторый?2?иМ,точкучерезМп?каждойвговоря,наборовупорядоченных-^2@?(8.6)Мточкунаборами.этимие(-дванекоторый"непрерывнопараметрав?2]предполагаеммере,значение(8.4)[?i,Mn,Еви-вrer.М(8.4)функцииназываютзаписываюткотороеv^eKbfc],точкиМпмногообразиивМп,—>**@=&подифференцируемыми,^?координаты-(?iяв-ко-G.41).функциямитремяСКривой8.2.отображениевиде функции:изопределенызаданыМ2многообразиякриволинейныеэлементарногокоторыхпространствоС:Здесь2)накоторыеКасательноеОпределениевМ3,вповерхности=пространствахримановыхв(пдвумерногоявляются8.1.2.Тензоры8.d(\X{)ldi.=ап)являетсяэлементомпространстваможнопространстве,Мвеществен-накривойС:асампостроить=axet:=a/lej,гдеРимановы8.1.ОпределениеМточкемножествовекторовТеоремаМпТмМп,какПервоеТсложенияутверждениеможноaiвсеВекторыа*2.идействительноXхПусть4»)@dXiQ\/d?векторовиОчевидносовпадаютс8.1.3.1°симметричной,невырожденной:СакривыевМп,которыепрохоквекторовеасвоемвбазисе,жекоторымследова-пространстваЭлементарноеп-мерноескоординатамиdetXх(gij)Vn,омпространствзаданаявляется2?действи-преобразуютсякасательныхриманова8.5.МпСакривые(дх«/дх*)б>а.векторовримановымG(X7)Очевид-АОпределение/AS^ej.=Х1хвекторовтакиекомпонентамиОпределениекотораяeaкоординатамкомпонентыиеТмМп.е,-называютточкенашлимыМточкуследовательно,произ-акасательныхзакону:образом,черезфункции0,=некоторыхновымкасательныхтензорномуТаким?векторовкЭтичисло.компоненты=проходятМп,видукомпонентыпов(8.7)параметракомпонентамипереходеприкэтомСакривыхV*€[0,fc],значенииприсчтодействительноониМ.точкеп«=!•••»5га образуют=преобразуютсяприРассмотримвещественноеМсовпадаюттакже,?«.+положительноеточкучерезпроизводные*'¦=некотороепроходятчтоданнойфункциями:следующими-а^е,=компонен-доказать,вМ.точкиазнезависимымитольконужноислинейноявляютсясложе-а\е{=операцийНамЕобозна-операциюaiпространствукоординаты-заданных?i=базис.Мточкенем.каквекторовкасательномупринадлежатгдеге,-,образуютвтакочевидно,соответствующих1...п,всевоз-котороебазискасательныхпомощьюсопределитькомпонентамиичислоналюбойвобразуюттеоремыумноженияикопространством,е,мно-точку.пространствовекторыавназываютпостроенныхданнуюлинейнымп-мернымобозначаютМп=черезКасательное8.1.являетсяапроходящимС,кривымомпространствмногообразияа*е,-,элементарногокасательныхвсевозможным497Касательным8.4.даннойпространстваф О,V-X,матрицаМпмногообразиевеслиgijкаждойп-гона-точ-порядка,Глава4983°римановыхвпространствахнепрерывно-дифференцируемымиявляютсяеекомпонентыТензоры8.функциями,4°переходеприДвумерныекакрассматриватьматрицейметрическойРасстояниевМточекпотензор-двумерныеЕ?3,вранееочевидно,V2пространстваримановысgjj.имеющихXхкординатыбесконечнодлявводятпространстверимановомМ!,инамирассмотренныеповерхности,можноегопреобразуетсязакону:тензорномублизкихX'1координатамдругимкфунк--\-dXx,Xхиблизиопределяюткакds2где>сбылазнаковое-число,xgijdXx'dXj)=(8.9)выбираюткотороечтобытак,(8.9)формаположительной.РимановособственноназываютпространствометрическаяматрицаVX1#,j,в противномположительно-определенной,случаеЕV,положительно-опреде-псевдоримановыхоговорятеслиримановым,являетсяпространст-пространствах.8.1.4.СкалярноепроизведениеПосколькунасуметрическаяматрицаскалярноеввестивтоОпределение8.6.МпЕмет-определенаТмМппространствеможнопроизведениемСкалярнымaitbвекторовизотображениеобразом:следующимМ.точкекасательномпроизведение.касательныхназываюткаждойвтеперь</,j,VnвкасательногоTj^Mn(р:каса-ТмМппространстваТмМпхШ1,—>построенноеVfc,гдеа*и№компоненты-касательныхXk,координатами(8.10)a(Xk)gijввекторовметрическая-МточкеV"Еданнойвматрицасточ-точке.ЕслиV"риманово,свойствами,всемиследовательно,ТмМпевклидовымЕслижеУпназываютПусть-тоT^iVn,а1, Ь1,базисв(8.10)вобозначаютсоответствующиеа•b=a*Vei•ej=ax\Pgij,ТмУп-векторысистемечтоследует,операциейсле-и,(8.10)пространствакасательныекоторомнемкаксоответствующиепсевдоевклидовыми.-2.8,определениинаЕгопсевдориманово,компонентыизвведеннойс(8.10)произведениескалярноевпространством.V"е,-имеюттоприведеннымипространствоявляетсяТогдасобственно-обладаеткоординатаbиXх.§откудаРимановы8.1.пространстваполучаеме.'-е,-gij{Xk)Посколькуметрическуюнестовырождена,помощьюсоответствиисопряженныхнимкакэлементы(8-13)(см.Toсовпаденииопространств7\<Vn.из<?'Ч-,=соглашениемск(8.12)е1:базисае1"вобратнуюопределитьSi,=взаимноговекторы-которыеможнод%*(Хк):матрицуее(8.11)=gij.gijgjkа499жеевклидовыхп.2.4.4)самоеможноотноситсякиирассматриватьпсевдоевклидовымпространствам.8.1.5.ОпределениемногообразииПослетензоратогоТл<Мп,ввелимыкаквавекторывпостроитькаждойМточкекасательномвпространствеформализмом,воспользоватьсяможноэлементарномМпЕнаборовмножество§2.5,визложеннымикасательныхвекторовгдеЫ')?мМп,Еa,-B.112)сложенияTjj^Mn,ЕОпределение8.7.касательногоКакn-ойфактор-пространство®тензорноеранее,иТмМпстепенипоопределениемкотношению2.24.той2.29Теорема7л\чтоустанавливаем,самойжеVMвводимМточкевпроизведение+q(8.14)2.=фактор-простран-ТмМп)п]хвведеннойсиместо,линейнымявляетсяpкак[(ТмМпимеет(ТмМп)Mn,Eэквивалентности,тоже2,=себя:на=qтензорноепроизведениеквадратадекартова-fрназываютТмМпТмМп®ТмМппрост-где(pq),МпТмМп=операциикасательнымпространстваТЛРЯ)(ТММП)множествечисло.вещественноетипамногообразияэлементарногоэтомнаввестиТензорным(ТмМп)Тппространствоминаумноженияиееопределени-помощьюустанавлипричемпространством,pqБазисныевдиады(ТмМп)Тпе;Ъекгдекасательных[ ]-являетсявведенномPi®п.7.2.3,вРк.чтоЕповерхностьюабазисные(8.15)наборовмногообразиесоответствующихОчевидно,рассматриваемоеесливдиадыIR3,B.118):формуламЫЦек)],эквивалентностиклассывекторов.повведем=то(8.15)ТмМ2совпадаетссоответствующимис?*(*)>касатель-М2введендиадамиГлава8.8.МпОпределение(pq)ЛЛточкевЕПодобновысшихкАВсякийp +этоfc-roПосколькупереходя0XхB.158),8.1.6.Если8.1.7.Посколькуитензоровопусканияи(см.определение8.1.8.(ТмУп)2.29).дифференцированияопределение.можетбытьвведена§6.1)дляримановатензо-B.165).операцииопус-умножениетензоровV"былатензорныхитранс-тензорноедля-определеныскалярноев(см.пространствековариантногооперациясвязностиоперациитакжеоперацийэтихяв-операциичисло,B.159)и(ТмМп)определеныатогоVnиТп\нихформуламиB.166)Мпвнакромеиндексовевклидовомдлязаписьспро-Vn.пространстветензоровсовпадаетТпподнятиякасательномпространстваФормальнаяTj^Vnпространствтензорамитоонопростран-тензорномримановомстоgij,псевдоевклидовым)альтернирования,КоэффициентыВнатензорныеизтензоров(илисовпаденииопространствами,умноженияскалярногоматрицаV",операцииТп{р9){ТмМп)Длясогласнокасательноеаевклидовым-заданномсимметрирования,тензоров.изметрическаяговоритькасательныетранспонирования,произведениепере-то,пространствеоможнолинейнымисложения(8.16)fc.=X",координатамримановомвведенаАлгебраическиеявляютсяqобъект,ксоглашениеп.2.4.4),(TxVn),Тпp +eig,компонент.пространствомЕ V"Миспользуяпространствеможно:инвариантныйвМпточке(см.ТмУпТпв0..МпЕегоримановымVn.2.28атеореме0ehкакМтензоракаждойТогдавпространствовыс-тензорыполучаеммногообразиивсогласно0введенточкиОпределениестановитсяввестибазисуе1'0преобразованияформулуможнодиадному..кАтензорформулам§2.5,кА(Л4)покоординатоттипакасательного2.=врангаipjl-'jqeilA(i=А(М)рангатензорногоqпроделаноразложениемкА2мвторогоэлементМп.втензорпредставитьиТензоромназываюткактому,ранговпространствахримановыхвTnPq)(TMMn),пространства-Тензоры8.пространстваопределенаполей.операцияЭтаVn.жеДадимопераее§Посколькукаждойвматрица^-(А"'),Римановы8.1.М(Хг)точкеdgij/dXkизОпределение8.9.называютКоэффициентыVn.вобратнойпомощьювведенаявляютсянепрерывнопроизводныевычислитьможнообъекты:следующие5(9itJ=мат-метрическая3°,тонихГ;;*Vnсогласнофункциями,образоватьи501?которой,компонентыдифференцируемыми(8.18),родапространства+Функциикоэффициентами9jk9i(8.18)9ij,k).-определенныеГ,^-*,формулампосвязностисвязностипервоговводимродавторогодг^:матрицыс(8.19)Г^=5трГОр.Заметим,F.13)чтовявляетсяевклидовомВКристоффеля.жеримановомF.1)F.2)изаписываютсятольковскоторогопомощьюформулыосновополагающиедвепространствеместоимеютформулааналогичнаяF.1),соотношениясимволывводилисьШппространствеследствиемчастныхнекоторыхислучаяхобразом:следующимr?j=Smk(S-1)kiJ,(8.20)E-1)fe<)i-(S-1)fcj),S™гдевVn:e?=далее,и(8.21)неТВкоординатобозначениямисамомчастныеVnпространстваримановамыслучаииR*е?иветпро-рассмотрим(8.20)формулыместа.8.2.Коэффициенты(8.18),формулеnoслучаеимеютТеоремаVnЭтижеё*базисованалогомсоответственно.общембазисадвасвязывающаяявляютсякоторыев*,К3пространствевS™(8.21)=0,коэффициентов,матрица-за-еслиделе,X",(8.3),',.

РткPTP».(glm,qPij Tlqmформулами9,т)\к++ввпереходасистеме(8.8)получим:\{PljPmk 9,т)ц-\(Р\Р']ip',-введенныетензоров.коэффициентытоГ™,связностивоспользоваться(8.2),икомпонентамиопределитьзатемаГ^тсвязностиявляютсянеgqm,,glmP%g,q,m)-P'k.=+(8.22)иГлава502ИспользуяГ^-:Г$% Plm)Оба(8.17),что(8.22)доказываетипосимметричныПереставляяТVnвIвполе"%Pjl, %j (Xх)яUfc-roтензорабудемсчитатьX1Vnвтензоровранга:непрерывно-МточкиЕVn.производной&1'%Pjl. .jследующий. .Inсиммет-убедитьсялегкоКовариантнойтензора/\fVn(8.24)(8.19),ивTji.=координат8.10.называют«—¦(8.18)вфункциямикомпонентVn,jпроизвольноеQ'1'компонентыОпределениетензорногоАтеперьдифференцируемымив«->T{jдифференцированиеРассмотримегоuT^jTijmUутверждения.КовариантноепричемIjim,iиндексыэтого8.1.9.ототличаютсясвязности=(8.23)¦АКоэффициентыliraко-Г/д„+индексов:пареистинности(8.23)итеорему.8.3.Теоремадгр{Р\Р«тРч5+ Q\pthQ\VqP'iP)=преобразованиязаконаQ\Qmp=преобразованиязаконустанавливаем9'kmT'ijm=пространствахримановыхв(8.19),формулукоэффициентовТензоры8.k-гокП,рангаотопределенногообъект:/ч|1..

t«(8.26)ТеорематензоравобразуетТДокажемдоказательство8.4.римановомКовариантнаяпространстве,компонентытензоратеоремудляаналогично.производнаяопределенная(к + \)-гокслучаяЗаписывая=2,cmпотензо-компонент(8.26),формулесамаранга.длятензоровковариантнуюранговвысшихпроизводнуюРимановы§ 8.1.П\тензораотновыхв(Q'>T=n'»)u(p«-=Q\Pmk=Q'/PT-PriVrfi'm.Здесь+QmP Wp-j;Q"?(fi'ra,rРГrUрСоотношение>т--дх*дхчпомощьюк-тоаV.=(кданыформулытензорVin;2-tpсобойЗаметим,чтоввидевF.48)слу-Vn,вообще®etp1)-го—е1"^1в®(8.28)elfe,®..(ктензорранга.говоря,F.47),вне®-f1)-иШ3былиимеютиместа,V-^e'.^bn,.®eifc,®..(8.30)Шп)вообщекакустановленыиротораF.58)тензораротор(и(8.29)elfc,®...®etp®el'p+1F.52)ие^1ранга,(8.21):V®fen#eI®^7fcfl,определитьсобойдивергенцииформулпервыхе,рпространствеградиента,определения®..fc-roтензорF.47),формулыа®... ^е,,®..евклидовомвможнопредставляетсобойпредставляющийследствие,(врангаза-данномтензора®-L60^Vxfcn=®е,-,Vl-nWa-i>p+I.

Характеристики

Список файлов книги