Димитриенко Ю.И. - Тензорное исчисление (1050322), страница 40

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 40)

.•••Ка-ьточек:(9.3);x(j\r_i),X(jv);;x(a_!),X(Q);. .-ихкоординатыX(?a)вИЛИпространстве.x\q)=Х*(?а),Скривойпарыявляютсякоторых(9.2)6v-?о ^ ^соответствуютконцомдекартовыхС:кривойх'"@,N(9.1)где=вё,-п.®функциямиявляютсявдоль[?o,6v]Х(о),Х(!);. .X(a)ТочкиG.1).кривой.пП(хг)п%1"Лпкоторые..тензороввид:изменяются=вэтойтензортензорахзаданнаяконцомиследующийэтогоотпараметрическимпЩх{),[?n-i>?/v]«(см. рис.9.1),ска-тензора,?,криваякривойбазисесфункцийкривойначаломназовемдекартовомотинтеграланекотораяРазобьем?,тензоровдлякоторыхинтегралывдолькоординаттрехмерногоповерхностиоперациюскалярныхэтуизложениедетальноенапример,вдольдвумернойнаВведемКриволинейные9.1.имеетсяпространстве,М3.вV[39].заданногоевклидовомлибообычныхинтегрированияболееОпределение9.1.1.либоинтегрирова-операцияобластииграетнекоторойвпространствалибофизикеизаданныха=0,...,N,Глава536.ДлинычастейэтихдугИнтегрирование9.тензоровобозначимкривойASQI=какds,(9.4)1.. ЛГ,a-максимальноевведемизначениеА5,-:средиА/={Два},шахa=l.

.NназываемоемаксимальнымразбиенияшагомНаша-кривой.каждом[?co?a+i]отрезкевозьмемоднойпоеще?аточкекоординатами:*(«)=*•"(?«)Рис.9.1.Разбиениекривой(9.5)a=l. .JV,Nначастейиследующийобразуемтензоринтегральныхсумм:N(9.6)a=lкоторый,являетсяочевидно,КомпонентысвязаныэтогосП*11>lnтоготензоромSll'"tnтензоражечторанга,декартовойвисистемеПП.координатобразом:следующимN(9.7)а=1где(9.8)ПосколькуклассическойсуществуютмаксимальногокоординатсуммпределышагаП|1>Лпкомпонентакаждаяфункциейразбиенияхг,(9.7)топридляN—уА1кривойобычнойявляетсяможнонееоо—уклассичесчтоположить,истремлениикнулюсущестмакси-0:(9.9)a=lс§Криволинейные9.1.ОпределениевдольтензораС (илиобозначаюттензора)и{1"Лп{х{)A8Определениеот9.2.заданногопП,тензоратензоровназываютойкривкомпонентотинтегралом(9.9)Предел9.1.компонентотинтегралы537отинтеграломиволинейнымкрин-какS1'1-1".=Криволинейным(9.10)интеграломвдольСкривойродапервогоследующийназываютобъ-объект:nSТВNсамомаихбазисадекартова(9.9),формулампП(х(а)),тотензоров,изпереходе(9.11)nu{x)ds.какой-либов1..

JV,=fl^V'fcnПосколькусуммысвойствакомпоненты-базисинечислаотвынестиможновQ'fcej=топроизведениепере-следующимЩ.базисечленоввсехдляодинаковаiV,собойприсум-используяизвестныеякобиевыхматрицзаполучим:тогдапредела,Q% kразбиенийматрицазависитпределов,знакnft(x(a))тензораякобиева(9.9)nSпредставляютпреобразуютсяR*компонентыобразом:Здесьобъект(9.11)ранга.кактакделе,различныхJcпоп-готензором[®..

®efn=Введенный9.1.Теоремаявляется5l"*-i"»el-1=гдеа=1так(9.14)какгдеСкривуюI-длинавж'=±всейкривойбазиса,выбораоткомпонентамиявляютсязадатьдуги:длинызависятнеS%1"Anчтоследует,ЕслиAsaдугдлиныпараметрическом»•(«),виде0^5^/,G.8)(9.13)изтоиАтензора.какфункцию(9.15)С:l=J*Nds,(9.16)Глава538то(егоППтензорфункциюкакnft(x(s))s:=одномерныминтегрированияS%1'"tnJoот0этомвс/:дослучаепеременнойnU{s)ds,(9.17)имеюттензора/Г1=вид:n«i. .«n^)deeJoКриволинейные9.1.2.fэтого5»1..-«прассматривать(9.11)интеграломотnS=компонентыможнотакжеИнтегралопределеннымизменяющейсяs,причемтензоровП*1—1п)nft(s).компонентыотобычнымбудетИнтегрирование9.интегралы(9Л8)второгородатензораКриволинейныйинтегралотобразоватьможнотензораинымспо-способом.ПустьВекторы,(9.3)разбиениеимеетсяэтисоединяющиеСкривойточки,Дх(а)=Х(а)-х(а_1)соответствуютсредиaимеетсякоторыхТензорумножения(яП(х(в)))<те1-те»>(см.n"lTw(9.19)отличиевДх(а)на{Д?а}-max=составим,векторовя|а)-»!„_!),l.

.N.=Д?сумм0.. N.=?:максимальноеинтегральныхскалярного=параметраприращенияаХ(а),какДя{а)илих(а)=х(?(а)),Имточкамиобозначим(9.8),отпутемтензорытранспонированныегл.1):Е=Дх(«)•"%))(Ш1"<тщ|.(9-2°)а=1где(mi. .mn)одинаковуюдлятоизозначаетвсехзначений(пследующий1)),i\ . .inп"Т(дг)иегоимееткомпонентырангнавдекартовойизодинако-индексов,подстановку(каждое(см.пП(х(а))индексовТензор—некоторуютензоровтпmi. .какое-принимает§1.8)).чемменьше,единицусистемекоординат(т.е.ППимеютвид:,(9.21)§9.1.Криволинейныеотинтегралытензоров539Nа=1Здесьи.iWnЗаметим,.чтонеобычнымправилам(п,пизнабораэтоминдексов,п2,. .—{i±..гп}.,1),i\индексуAxtlutn%n'"t^iэтоследующиеNа—>пределынабораиндексов?Определениеинтеграламисуществуютi\.

.in-iiкнулю:следу-(9.22)называютобразом:дальней-((в)){^криво-скалярнымиродавторогоследующимобозначают(9.22)Пределы9.3.криволинейными;ГвД?этомПрипримераиприih}-•нашегопараметрачтокаждогодлязначения•использоватьсяприращениепредполагаем,оо,например•длябудетрасшифровывать{гп^п-ъэтокомпонентотиобыч-попринимаютсуммирование,записьмаксимальное0,—>всегдапримераидетТакая.УстремляяД?нашего(9.21)в(mi. .mn),iWl,. .iWnДлязаписанаследуетподстановкииндексы..слеваиндексы(9.21)ееiWlкомпонентасуммирование.свободныеизначениях1)—идетформуламенеерасстановкиподальнейшем.неi\по(9.21)втемконкретных1,—а.гп,.формальнохотясовпадают,Притак.i2(тгчтоозначает,значенияпринимаютсправаWnQ^1'"записьдалееитензора(9.23)9.4.Определениеродавторогоот(птензоропределяемымиДлятензора—формулепоэтого1)-го=элементарномуДх(а),векторутакженазываютопределяе-Т*1'*-1,®..и(9.24)ё,-п[=Jcвдольтом•"ft(™i-™»)чтоосновании,отмеченокривойdxвС.п.7.1.2,стремятся(924)(x)#радиуса-векторанабылокакобозначение:интегральноеэлементарного(9.23)dxС,кривойкомпонентамииспользуют®длявсвто-интеграломвдоль(9.23).ра..

«пё.аОбозначениеиспользованокриволинейнымзаданногоП~1Трангатензораn-iTвекторыСкалярнымПП,приdx=Д?—Укcte'e,0элементар-ис-малыеГлава540Если(9.20)формулахв(•)умножениязнакнамыГ1~**ё{1®ё.-я®..[=Г€kjh5ij=€к**0символЛеви-Чивитыформулах(9.20)-втензорноготоумножения,интегралn+iTвв(9.25)(9.26)поменятьё[=(•)знаккриволинейныйтензорный0_умно-векторные1.4.1).такжеполучимуи.. .-n+i^=скалярногополучим(x«)dxitСрода:второг•'.-»д»'^(см.п.(9.24)-то»п<го*-те»>(х),dxxJcvЕсли(х),рода:второгоfki,. .inЗдесьзнакпоменяемумноженияинтегралы=тензоров(9.24)-векторногокриволинейныепТИнтегрирование9,наин-(9.27)пП(х),dx®знакгде/Wi<««'(9.28)JcСвязь9.1.3.'ТемкомпонентыиивторогоcnocoGoMjже+1)-госвязьтеперьПустьявляютсякриволинейнымимеждуСG.9)взаданаG.10),иотопределенногодлинепараметрическом(9.24)интегралинтеграла:видевектораdx(9.15).tможно=длина1)-го,ипер-дугиотвыступает0можноИспользуяперейти?'§,-.представитьв(9.29)видеобычного/дов/.определен-(9.30)Joизменяющейсявтоn-годуги:=здесь—новуюинтеграламиэлементарногоdx-tds,Тогда(птензорами(9.26)впереходеинтегралырода.криваяформулыкэлементарнойприкриволинейные(9.27)икомпонен-(9.23),формуламзаконутензорномучтопоказать,посоответственно.рангов,второгоиможноопределяемыеследовательно,и,(9.25)Установимпервогоп.9.1.1,впо(9.24),родаиTl'i-I'n+1,координат,второгоинтеграламиродачтоf1'»-1'»,T1'1-1^,преобразуются(9.28)систему(пкриволинейнымимеждупервогоролипеременнойинтегрирования,из-§9.1.ВКриволинейныекомпонентнойотинтегралы(9.30)формулазаписиГ1тензоровимеет541вид:-•(9.31)JoЗдесьIх(т.е.косинусы(s)-компонентыединичногодекартовойсистемыАналогичнымобразомкриволинейныйГ1пТ=Joтензорныйикоординат).-криволинейный/Joп+1Т=Г1(9.32),(9.30),иинтеграламиЕслиСкриваякриволинейныепредставить(9.33)ии(9.32)связь(9.2),(9.30)видеобразом:междурода.(9.17)родавторого(9.33)s.устанавливаютвторогопараметрическомвпервого1Г1/ i '(s)ui^inJoпервогозаданаинтегралыследующим--(9.27):Г*~л*+1=(9.17)ФормулыкриволинейнымиГ1осямикриволи-/ i (s)Utwi';'twn(s)ds;Joekiil=интегралt{s)®nu{s)ds,свекторныйTki*'~inСкривойкривойкпреобразоватьможноt{s)xnn(mi'"mn){s)ds,ккасательная(9.25):интегралкасательнойвектораимееткоторыеуглов,итокриволипред-можноftтакжеаn"lT=/^JТосамоеженаправлениеменяютсяместами(9.17),—"можнопредставлениекриволинейныхтензорногоЕсли"Jtio(9.30),передх(?о)=Х@)(9.33)?поинтегрированияинтегралом.ивекторногодляиинтегралов.точки(9.32),(9.35)получить-пределыиХ(дг)интегрированияпоили=х(?дг),sтоменяется,аиме-интеграловузнак"+"наГлава542Независимость9Д.4.отПустьинтегралаППтензорнеявляетсяапроизвольным,потенциаль-§6.2):V=ПФ"^Ф®V.^^-^R1'1=(пнегодлянаранга.A,т2,.=(9.36)Rtn,®..кри-транспонирования••стоитскалярномвподстановкуобязательноместепервомвыбирая.тп)(mi.®выражение(9.24),образом:индексы1)-го—подынтегральноеинтегралеспециальнымRt2®тензор-потенциал-Вычислимкриволинейномт.е.криволинейногоскалярноготеперьnftгдетензоровинтегрированияпути(см.потенциальнымИнтегрирование9.,"in),(9.37)i,индексавсеостальныепроизвольны.Тогдавыражениеподынтегральноеdx•»n(i">-"»n)(dx'Rf)=•V.^'^-'-nRHRl2®=®Rtn0..=_»-1Шп-1полныйсобойпредставляетЗаписываяж1),(9.38)подставимдифференциалвдекартовой(9.38)формулуее(9.24),ввотпотенциала.тензорасистемерезультате(Хгкоординат=получим:Jc1тп_1(х(о)^гдеиспользованадифференциалаТакимобразом,Теоремаотнегонеточках.доказанаследующаяЕслизависиттеорема.-"путиС,),интегрированиятензоракоторойпотенциалаП"Фиродавторогоинтегралпоудовлетво-т.е.потенциален,криволинейныйкривойдиф-интегрированияППтензорототзначенийразностьюНьютона-Лейбницафункций.скалярныйто(т.е.интегрированиеначальной9.2.(9.36),удовлетворяетформулаобычныхот(д 39)происходитопределяетсявконечнойинтегритолькоиначаль-§Криволинейные9.1.интегралыКриволинейные9.1.5.отпоинтегралытензоров543замкнутомуконтуруЕслиСкривойу=Х(о)тоX(jv),такаяначальнаяконечнаяиточкисовпадают:замкнутойназываетсякриваяилизамкнутымконтуром.Криволинейные(9.25)интегралы(9.27)иэтомвlnSl(x)ds,nS=ипервогообозначаютсяслучаеОпределениеЕслитензор(9.39),иТакимобразом,имеетпПравнадляконечнаяасовпадают,совпадают.такженихвзамк-покривойП~1Фтеорема.тензора).потенциальногоциркуляциилюбогоегоЕсли9.1.1.второгоинтегралы?=/Жс«а=/а«JcI9.1.2.(9.24),родаавектораПприбытьмогут(что1 криволинейныевП2,=бытьвиде:Же,JcI a®dxjеслимогут—представленыJcdx®a=(9.27)и9.1.t=/dxxa=-/axПоказать,(9.25)для(9.27)иЖе,T=Упражнениечто(9.25)Jc§кПоказать,(9.24),рода(9.41)=0.УпражненияУпражнениеnтензоратранспонированного/лс.пПAт2-Шл)второгоберетсяточкиследующаяформуламестоимеетпотенциаленциркуляциянулю:moместо(о9.3ТеореманегопотенциалатензораПП.тензораинтеграли(9.40)винтегралкриволинейныйначальнаязначениязначиттензорпотенциален,токонтуру,замкнутомутоскалярныйеслинокриволинейныйциркуляциейназываютпП(9.40)n+1T=Скалярный9.5.(9.24),образом:^x-nft(mi-m»>(x),n~lT=контурузамкнутому(9.11),родаследующимxxnn(mi-m^(x),повторого.криволинейныетоинтегралыобразом:следующимпредставленыгрt=/dx•П=/Пт•Же,Т=/dxхП=-( fПТхЖеJ,Глава544I=Упражнение9.1.3.евклидовомdxтакихB31)\IПdx®jVобластидвусвязнойдляпотенциальноговтрехмерномявляетсятензорапостоян-координат):пЦК1т*-т*)n~lr?-любому,поconst,=вточку,Vобластивлежащемупреобразованиемнепрерывным[=Сберетсяинтеграл•тензоровчтоотзависящимIеслиП®циркуляция(нетензоромdxПоказать,пространствепостояннымИнтегрирование9.причемтензорконтуру,несводимомуn"~Tоттензораодинаковвсехдляконтуров.§Поверхностные9.2.интегралыПоверхностный9.2.1.Рассмотриминтегралнекоторуюпространстве,теперьтрехмерномпервогоевклидовомродаограниченнуюзаданнуюЕповерхностьвG.40):образомх{х*(Х\Х2),=X1криволинейныеизвестнымиПредполагаемопределяетсяповерхностныйгденакоординаты-(см.классическойотG.63).формулеПустьнавообщетензор,этойкомпонентамикоторогокактом,осовпадаетнаЕ.поверхностизадансЗдесьпоопределяемаяn-готензорX2))(этотдвумернымпЩхг)рангатрехмерныйнатензоромде-стен-поверхнос-п.7.2.3).Определениеотсведенияповерхности,?1%1'"%п(хг(X1,невродаповерхностныеЕповерхностиговоря,поверхности, введеннымзаданнойплощадкикомпонентамидекартовыми[39])f(x{)dS/(ж1),функцииэлементарнойплощадь-поверхности.напримеринтегралLdE(9.42)=1,2,3,гтрех-обра-параметрическимЛоверхностным9.6.пПтензоравинтегралытензордекартовойсистемеотпервогоинтеграломназываюткомпонентп-гокординатU%1'"ln,nS,рангаS%1'"Xnкомпонен-являютсят.е.(9.43)§ 9.2.Поверхностныеотинтегралытензора545гдеSh~'inТакжеS%1'"tnкакбылоэтоповЗаметим,чтопоказать,pi^.

Характеристики

Список файлов книги