Диссертация (1026168), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Перейдём отабсолютных координат {к } к обобщённым координатам {к∗ } с использованием[к∗ ] в качестве матрицы перехода. Следует отметить, что данный переход неявляется математической линеаризацией системы. В случае наличия разрывовлюбого рода в функциях абсолютных координат {к } разрывы будут иметь место ив функциях обобщённых координат {к∗ }. Абсолютные и обобщённые координатыбудут связаны между собой следующим соотношением:{к } = [к∗ ] ∙ {к∗ }(2.5)где {к∗ } – вектор-столбец обобщённых координат колеса и демпфера размера3к x1.35Далее примем, что в матрицах собственных форм размера 3 х 3 модели сколичеством узлов первые строк относятся к колебаниям по осевойкомпоненте, вторые строк относятся к колебаниям по радиальной компоненте, атретьи строк – к колебаниям по окружной компоненте в полярной системекоординат, ось которой совпадает с осью колеса.Чтобы уравнения движения по каждой обобщённой координате сталинезависимыми, требуется дальнейшее упрощение модели, для чего принятыследующие допущения:1.Внешняя сила действует на колесо в осевом направлении и приложенав узле с номером l;2.Масса и жёсткость демпфера пренебрежимо мала по сравнению смассой и жёсткостью ЗК;3.Из к собственных форм колебаний колеса выберем только те n форм,которые имеют максимальное значение в узле приложения силы l и частотыкоторых попадают вхарактерный диапазон частот вращенияпередачиавиационных ГТД.4.Приведённые к узлам силы, действующие в контакте между колесом идемпфером, имеют только осевые и радиальные компоненты;5.Инерционные нагрузки, действующие на зубчатое колесо с демпфером,не оказывают существенного влияния на динамику системы.С учётом допущения №1 вектор внешних сил будет иметь единственнуюосевую компоненту с номером l, отличную от 0:00⋯{в ()} =з ()⋯( 0 )(2.6)36где з () = 0 ∙ sin() – осевая внешняя сила, действующая на колесо скруговой частотой .При работе зубчатого колеса в составе передачи действующая на него силаносит полигармонический характер.
В настоящей главе с целью наглядногоисследования зависимости резонансной частоты системы при различной величинеподжатия демпфера закон возбуждения зубчатого колеса принят гармоническим.Исследование динамики конического зубчатого колеса с демпфером сухого тренияв составе передачи с учётом полигармонического характера возбуждения зубчатогоколеса приведено Главе 3.Подставляя выражение (2.5) в первое уравнение системы (2.1) и умножая егослева на транспонированную матрицу собственных форм [к∗ ]Т , нормированную помассе, с учётом допущений №2, №3 и №5 получим следующую систему:{̈ к } + ( + Ω2к к ){̇ к } + Ω2к {к } = [к ]Т ∙ ({в ()} − {дк ({к })})(2.7)где {к } – вектор-столбец обобщённых координат при собственныхколебаниях колеса по формам с узловыми диметрами размера nx1; = 0 – коэффициент пропорциональности матрицы массы, определяющийвнешнее демпфирование вязкого трения;к – коэффициент пропорциональности матрицы жёсткости, определяющийвнутреннее демпфирование в материале на соответствующей форме колебаний;Ω2к – диагональная матрица квадратов первых собственных частот колесаразмера nxn;[к ]Т – транспонированная матрица рассматриваемых первых n собственныхформ колебаний колеса размера × 3к .37Определение параметров редуцированной динамической моделиконического зубчатого колеса с демпфером сухого тренияДанный раздел посвящен определению параметров к , Ωк , [к ] и кд ({к })системы (2.7).Внутреннее демпфирование в материале выражается в так называемыхгистерезисных потерях энергии деформации.
Различные модели трения вматериале рассмотрены в работе Я.Г. Пановко [50], где также отмечено, что прихарактерных для машиностроения периодах нагружения (от нескольких минут дотысячных долей секунды) внутреннее неупругое сопротивление не зависит отскорости деформации, но при этом нелинейно зависит от величины деформации.Е.С. Сорокиным было принято допущение, что петля гистерезиса являетсяэллипсом, а внутреннее неупругое сопротивление пропорционально упругой силе,но сдвинуто относительно неё по фазе на угол /2 [51].В общем случае вязкого трения введение обобщённых координат неприводит к независимым дифференциальным уравнениям относительно каждой изних.
Лишь только при пропорциональном демпфировании главные координатыоказываются несвязанными между собой. При пропорциональном демпфированиисилы внешнего трения пропорциональны матрице масс, а силы внутреннего трения– матрице жёсткости [52]. Таким образом, для каждой собственной формыколебаний обобщённая сила внутреннего трения будет иметь своё значение. Врассматриваемой задаче внешнее вязкое трение отсутствует (=0).Одним из параметров, характеризующих рассеивание энергии в материале,является степень демпфирования , который определяется по следующей формуле[53]:=2где – декремент колебаний в материале.(2.8)38Коэффициент пропорциональности внутреннего вязкого трения к матрицежёсткости определяется по следующей формуле [49]:к =2 ∙ 2 ∙ к(2.9)где к – частота колебаний по к-й форме.Декремент колебаний материала зависит как от физических свойств самогоматериала, так и от условий работы конструкции.
В работах [54], [55] приводитсяописание основных механизмов внутреннего рассеяния энергии колебаний вматериале. Вводятся понятия амплитудно-зависимого и амплитудно-независимоговнутреннего трения, описываются релаксационные и резонансные процессыразличной природы в материале, отмечается зависимость декремента колебаний оттемпературы для различных конструкционных сплавов.Так как на настоящий момент значения декрементов колебаний дляматериаловавиационныхЗКотсутствуют,впервомприближенииврассматриваемой модели принято, что декремент колебаний равен =0.01 [52] и независит от амплитуды деформаций.Представим кольцевую область , по которой происходит взаимодействиедемпфера с колесом, в виде p линейных элементов длиной ∆ каждый, междукоторыми расположены p узлов (Рисунок 2.1). Угловую координату центракаждого элемента обозначим .
Представим вектор {кд ({к })} в виде блочноговектора, состоящего из трёх векторов сил, действующих в осевом, радиальном иокружном направлениях соответственно. В таком случае вектор {кд ({к })} можетбыть записан следующим образом:390̅{ }0̅{кд ()} =0̅{ }0̅{ {0̅} }(2.10)где { } вектор размера px1 осевых компонент сил в области ;{ } – вектор размера px1радиальных компонент сил в области .Представим матрицу выбранных собственных форм колеса [к ] размера3к × в блочном виде:[ ]() т{ }[к ] =[1 ][ ]{0}т[1 ][ [0] ](2.11)где [ ] – матрица осевых компонент собственных форм в области размераpxn;() т{ } – вектор-строка осевых компонент собственных форм в точке lразмера 1xn;[1 ] – матрица осевых компонент собственных форм в оставшихся узлахмодели размера (к -p-1)xn;[ ] – матрица радиальных компонент собственных форм в области размера pxn;40{0}т – нулевая вектор-строка радиальных компонент внешней силы в узле lразмера 1xn;[1 ] – матрица радиальных компонент собственных форм в оставшихсяузлах модели размера (m-p-1)xn;[0] – нулевая матрица окружных компонент собственных форм колесаразмера к xn.Пусть демпфер поджат к колесу с силой .
Тогда компонента вектораприведённых сил, действующих на колесо со стороны демпфера в узле с номером iобласти в осевом направлении может быть записана в виде суммы статическойкомпоненты от поджатия и реакции суммарной демпфера по всем n формамколебаний:()=()(,)+ ∑ (2.12)=1(,)где ()= д (,) ;(,) () (,) = к – перемещение -го узда по -й форме;() = / – сила статического поджатия демпфера в каждом узле ;()д – жёсткость демпфера в осевом направлении при колебаниях колеса поk-й форме;(,) – компонента формы в узле i при колебаниях колеса по k-й форме.Для вычисления компоненты вектора сил, действующих на колесо состороны демпфера в узле с номером i области в радиальном направлении,необходимо учесть наличие гистерезиса в элементе сухого трения, соединённого сдемпфируемым объектом последовательно с упругим элементом (Рисунок 2.2).41(). Зависимость радиальной силы в -м узле от радиальногоперемещения (,)()Сила при нагружении и разгрузке демпфера определяется следующимсоотношением:()()⃗()⃖()⃗ , ̇ > 0= { ()⃖ , ̇ < 0() ()̃ , ̃ < ={ ̃ (), > () ()̃ , ̃ > −={()− , ̃ < −()̃(,)= ∑ ̃=1(,)()̃ = д ( (,) − (,) )где ̇ – скорость -го узла в радиальном направлении;(2.13)42() = тр / – максимальная сила трения в -м узле;()д – жёсткость демпфера в радиальном направлении при колебанияхколеса по k-й форме;(,) () (,) = к – радиальное перемещение -го узла по -й форме; (,) – скольжение -го узла при перемещении в радиальном направлении по-й форме.Скорость -го узла в радиальном направлении находится по следующемусоотношению:(,) ()̇ = ∑ ̇ к(2.14)=1()где ̇ к – обобщённая скорость колеса по -й форме.Скольжение в узле i возникает при превышении радиальной силы ̃ помодулю максимального значения и определяется следующим образом:(,){Собственныеформы(,), ̃ > ()д, ̃ < −()д− (,) =+колебанийколеса,нормированные(2.15)помассе,определены при помощи МКЭ.
Результаты расчёта собственных форм вбезразмерном виде для характерных точек ЗК представлены на Рисунках 2.2 – 2.5,а максимальный нормирующий коэффициент – в Таблице 2.1.43. Распределение осевой и радиальной компонент собственной формыпри колебаниях по 1 узловому диаметру. Распределение осевой и радиальной компонент собственной формыпри колебаниях по 2 узловым диаметрам. Распределение осевой и радиальной компонент собственной формыпри колебаниях по 3 узловым диаметрам44.
Распределение осевой и радиальной компонент собственной формыпри колебаниях по 4 узловым диаметрам. Распределение осевой и радиальной компонент собственной формыпри колебаниях по 5 узловым диаметрам.. Значения максимальных нормирующих коэффициентов длясобственных форм колебаний ЗКНормирующий коэффициент, мм()Номер формы()154,621,9256,723,2360,125,2465,126,945Полученные значения компонент формы колебаний для характерныхобластей зубчатого колеса представлены в Таблице 2.3..Значения компонент формы колебаний для характерных областей зубчатогоколеса, нормированные по массе(,)(0,)(0,) , мм , мм54.639.312.0462656.741.415.13870460.137.318.141421865.141.024.052022069.837.921.3Номер формыЧастота, Гц136572, ммЖёсткость демпфера при колебаниях по собственным формам колесаопределена при помощи МКЭ.
Для определения жёсткости при различной формеколебаний использована КЭ модель, представленная на Рисунке 2.8 а.аб. Симметричная КЭ-модель для определения жёсткости демпфера (а) иеё граничные условия (б)46В качестве граничных условий к узлам зубчатого колеса приложено осевое ирадиальное перемещение при колебаниях по соответствующей собственной форме(Рисунок 2.3 - 2.6) умноженное на коэффициент 0.0001, а между демпфером иколесом задан жёсткий контакт.()Полученная в результате расчёта эпюра распределения осевой силы ̃ иосевого перемещения ̃ (,) по области для формы = 2 представлены наРисунке 2.9.(,). Эпюра распределения осевой силы ̃и осевогоперемещения ̃ (,) по области Согласно результатам расчёта характер распределения радиальной силы(,)(,)̃ соответствует характеру распределения осевой силы ̃ , а характерраспределениярадиальногоперемещения̃ (,)соответствуетхарактерураспределения осевого перемещения ̃ (,) .На основании результатов модального анализа (Рисунки 2.3 – 2.6)аппроксимируем значение нормированной по массе формы колебаний колеса,осевого и радиального перемещения и осевой и радиальной силы от демпфера вкольцевой области следующими гармоническими законами:47()(0,) () = ()()(0,) () = ()̃ (,) = ̃ (0,) ()(2.16)̃ (,) = ̃ (0,) ()(,)(0,)̃ = ̃ ()(,)(0,)̃ = ̃ ()В таком случае осевая и радиальная жёсткости демпфера при колебаниях пособственной форме колеса может быть определена следующим образом:()д()=д =(0,)̃̃ (0,)(2.17)(0,)̃̃ (0,)Рассчитанные описанным выше способом осевые и радиальные жёсткостидемпфера для рассматриваемых форм колебаний приведены в Таблице 2.4..Жёсткость демпфера при колебаниях по соответствующей собственной формеЖёсткость демпфера, Н/ммк()Осевая, д()Радиальная, д15048816325729851831072186575423833900925302576251148С учётом записи матрицы [к ] в блочном виде (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
