Диссертация (1026168), страница 7
Текст из файла (страница 7)
формулу 2.11) система(2.7) может быть записана следующим образом:ТТТ{̈ к } + Ω2к {̇ к } + Ω2к {к } = {() } з () + [ ] { } + [ ] { }(2.18)ТРассмотрим -ю строку слагаемого []{ }, которое характеризует вкладосевых сил от демпфера в обобщённую силу, действующую на колесо:() Т{ } { }(0,)()= ∑ ( )(2.19)=1() ТТгде { } – -я строка матрицы [ ] ; =2∙–угловая координата -го узла.ТРассмотрим -ю строку слагаемого [ ] { }, которое характеризует вкладрадиальных сил от демпфера в обобщённую силу, действующую на колесо:() Т{ } { }(0,)()= ∑ ( )(2.20)=1Для решения уравнения (2.18) с учётом уравнений (2.19) и (2.20) использованметод Рунге-Кутты 4-го порядка [56], [57], [58] с шагом по времени △ = 2 ∙ 10−6 .На каждом шаге интегрирования по времени организован цикл (принципиальнаяблок-схема показана на Рисунке 2.10) по узлам от 1 до области со вложеннымциклом по формам от 1 до , по результатам которого определяются значения(,)(,)()() , , и по уравнениям (2.12) и (2.13).
Далее организован цикл по49() Тформам от 1 до для определения значеня { } { } по формуле (2.19) и() Т{ } { } по формуле (2.20).. Принципиальная блок-схема решения уравнения (2.18) на каждомшаге интегрированияАлгоритм, представленный на Рисунке 2.10, реализован с среде Simulinkпрограммного комплекса Matlab. Схема реализации приведена в Приложении П.1.Для оценки эффективности демпфера сухого трения может бытьиспользована величина декремента колебаний системы за счёт работы сил тренияна резонансе [52]:тр =Атр2(2.21)где Атр – работа сил трения, определённая через площадь петли гистерезисана Рисунке 2.2; = ∑=1 – суммарная потенциальная энергия системы по k формам.50Апробация редуцированной динамической модели коническогозубчатого колеса с демпфером сухого тренияДинамика конического зубчатого колеса с демпфера сухого трениятарельчатого типа имеет определённую специфику по сравнению с динамикойодномассовых систем с демпфером сухого трения.В первую очередь, при работе демпфера сухого трения в любом случае,независимо от силы его поджатия, имеют место режимы работы с длительнымиотносительными остановками.
Это связано с тем, что при любой амплитудеколебаний в узлах форм колебаний отсутствуют относительные перемещениядемпфера и ЗК.Во вторую очередь, резонансная частота колебаний системы «ЗК – демпферсухого трения» не зависит непосредственно от силы поджатия демпфера, котораяоказывает опосредованное влияние на резонансные частоты системы черезизменение режима работы демпфера (при наличии «запертого» режима кжёсткости ЗК добавляется радиальная жёсткость демпфера).Каждый узел области в фиксированный момент времени в зависимости отсвоей угловой координаты может контактировать с демпфером как спроскальзыванием, так и без него.Для каждого узла области по формуле (2.13) определяется своё значениеперемещение (,) , зависящее от угла , и, как следствие, своё скольжение (,) .Таки образом, нагрузка и разгрузка -го узла происходит по графику,изображённому на Рисунке 2.2, но со своими параметрами петли гистерезиса()(Рисунок 2.11), что наглядно иллюстрируется эпюрой распределения силы пообласти изменении времени от 1 до 4 (Рисунок 2.12).51.
Петля гистерезиса для различных узлов i области (). Эпюра распределения силы по области Так как система с сухим трением является структурно-изменяемой [11], приизменении её режима работы происходит изменение её жёсткости. Таким образом,при каждом режиме работы имеет место своя собственная частота колебаний.Учитывая вышеизложенное, само понятие «собственной частоты» не может бытьприменено для системы с сухим трением.
Максимальная амплитуда колебаний52будет иметь место при так называемой резонансной частоте, которая может бытьопределена путём расчёта стационарной АЧХ системы. Для этого в областиожидаемого нахождения резонанса проводится серия расчётов амплитудвынужденных колебаний с различной частотой возбуждения.В рамках верификации редуцированной модели в части корректностиразложения колебаний колеса по собственным формам с учётом демпфирования вматериале и определения жёсткости демпфера проведено сравнение результатовработы редуцированной модели и гармонического анализа полноразмерной 3Dмодели в области резонансных колебаний по форме с двумя узловыми диаметрами..
КЭ-модель ЗК с демпфером сухого трения в постановке а) и б)Закрепление моделей в постановке а) и б) осуществлено по внутреннейцилиндрической поверхности колеса. К верхнему зубу в плоскости симметрииприложена гармоническая сила с амплитудой 0 . В постановке б) задан жёсткийконтакт между ЗК и демпфером, имитирующий запертый режим его работы.53Сравнительные АЧХ, полученные по результатам работы полноразмерноймодели в 3D постановке и редуцированной модели, приведены на Рисунке 2.14.. АЧХ, полученные по результатам работы полноразмерной модели в3D постановке и редуцированной модели без демпфера (а) и с «запертым»демпфером (б)Соответствие результатов, полученных при помощи полноразмерной моделии редуцированной модели свидетельствует о корректности проведения процедурыредукции.
Различие между резонансными частотами зубчатого колеса с«запертым» демпфером в 80 Гц может являться результатом погрешности приопределении жёсткости демпфера.На первом этапе апробации модели было определено минимальное значениесилы поджатия , обеспечивающее безотрывный режим работы демпфера()( > 0). Далее была определена сила поджатия из условия, согласнокоторому дальнейшее увеличение силы не приводит к изменению динамическиххарактеристик системы.Рассчитанные на основе редуцированной модели АЧХ системы понормированной амплитуде ̅ () перемещения узла l при изменении силы поджатия54от = до = и амплитуде возбуждающей силы 0 = 100 Нпредставлены на Рисунке 2.15.
Нормировка амплитуды ̅ () осуществлена путёмделения амплитуды () вынужденных колебаний колеса с демпфером намаксимальную амплитуду резонансных колебаний колеса без демпфера.. АЧХ системы при различной величине силы поджатия демпфераСогласно результатам расчёта АЧХ системы подтверждено, что амплитударезонансных колебаний и резонансная частота зависят от величины силы поджатиядемпфера. На АЧХ можно выделить 4 основных режима работы демпфера: режимI с отрывными колебаниями демпфера (нерасчётный режим), режим II спреобладанием проскальзывания в контакте, режим III с преобладаниемдлительных относительных остановок в контакте и режим IV с полнымотсутствием проскальзывания (запертый режим).При работе демпфера в различной области на Рисунке 2.15 будет изменятьсяхарактер и спектральный состав обобщённой силы, действующей на колесо соТТстороны демпфера (слагаемое Фдк (к ) = [ ] { } + [ ] { } в формуле55(2.18)).
Для иллюстрации этого явления на Рисунке 2.16 приведен спектральныйсостав силы Фдк (к ) при работе демпфера на различных режимах.. Спектральный состав силы Фдк (к ) при работе демпфера на разныхрежимах. Ф – номер гармоники, – отношение амплитуды -й гармоники камплитуде 1-й гармоникиНагляднаязависимостьамплитудырезонансныхколебанийисоответствующей резонансной частоты от силы поджатия при амплитудевозбуждающей силы 0 = 100 Н представлены на Рисунке 2.17.. Зависимость максимальной амплитуды резонансных колебаний ирезонансной частоты от величины силы поджатия при амплитуде возбуждающейсилы 0 = 100 Н56Согласнорезультатамрасчёта,представленнымнаРисунке2.17,()установлено, что амплитуда колебаний колеса ̅ принимает минимальноезначение при оптимальной величине силы поджатия ∗ .На Рисунке 2.18 приведена зависимость декремента колебаний на резонансетр от величины силы поджатия..
Зависимость декремента колебаний на резонансе тр от величинысилы поджатияДекремент колебаний от сил трения тр также принимает максимальноезначение при оптимальной силе поджатия ∗ .Сухое трение является амплитудно-зависимым, так как согласно формулам(2.13) режим работы демпфера сухого трения зависит от амплитуды перемещенияузлов системы, которые, в свою очередь, зависят от амплитуды действующейвозбуждающей силы. С целью иллюстрации данного факта проведён расчётзависимости максимальной амплитуды резонансных колебаний и резонанснойчастоты от величины силы поджатия при амплитуде возбуждающей силы0 = 400 Н (Рисунок 2.19).57. Зависимость максимальной амплитуды резонансных колебаний ирезонансной частоты от величины силы поджатия при амплитуде возбуждающейсилы 0 = 400 НПутём сопоставления графиков на Рисунках 2.17 и 2.19 установлено, чтоамплитуда возбуждающей силы оказывает влияние на характер зависимостимаксимальной амплитуды резонансных колебаний и резонансной частоты отвеличины силы поджатия.
В частности, установлено, что с ростом амплитудывозбуждающей силы увеличивается и оптимальная сила поджатия демпфера.Так как применение демпфера сухого трения необходимо с цельюповышения сопротивления усталости обода конического зубчатого колеса путёмснижения переменных напряжений, возникающих вследствие его резонансныхколебаний по узловым диаметрам, необходимо перейти от расчёта перемещенийобода ЗК к расчёту переменных напряжений в ободе.Для решения поставленной задачи проведён гармонический анализ ЗК придействии силы в осевом направлении на рабочую поверхность его зуба (КЭ модельприведена на Рисунке 2.13, а). Частота вынуждающей силы изменялась в диапазонеот 1000 Гц до 25000 Гц, амплитуда вынуждающей силы составляла 100 Н.58Результаты гармонического анализа приведены в Таблице 2.5. Коэффициентотношения максимальных переменных первых главных напряжений во впадине кмаксимальному перемещению обода определена по следующей формуле: =(2.22)где k – форма колебаний; – максимальные напряжения во впадине на k-й форме колебаний, Мпа; – максимальные перемещения точки приложения силы на k-й формеколебаний, мм..Результаты гармонического анализа ЗКПеремещения Напряжения ,Форма , мкмМПа12342612140374344.7299419.921156.9157 МПа/мкм1.112.666.7010.6022.70Переменные напряжения во впадине между зубьями определены последующей формуле:1 = ∑ (,)(2.23)=1С учётом формулы (2.23) построена зависимость максимальной амплитудырезонансных напряжений от величины силы поджатия при амплитудевозбуждающей силы 0 = 400 Н (Рисунок 2.20).59.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
