metod_15.03.04_atppp_tsisa_2016 (1016619), страница 14
Текст из файла (страница 14)
В таких моделях приняты допущения:линейность зависимостейвыпуска от затрат,бесконечная делимость продуктов,существование точнойматематическойформулировкиглобальнойцелиобщества,абсолютнаядопустимость и достоверность информации,неограниченные вычислительныевозможности.Модель оптимального планирования легла в основу разрабатываемойтеории оптимального функционирования. По своим исходным предпосылкам кмодели оптимального планирования примыкают модели оптимального роста. Внихизучаютсявозможностиразвитиябольшихсистемвовремени,определяется понятие оптимального ростапоказателей, факторы, влияющие навеличину максимального темпа роста.Однако очень быстро наступилаизвестная переоценка ценностей: идеи оптимизации оказались не стольвсеобъемлющими,какимипредставлялисьизначально.Во-первых,представление о том, «что такое хорошо, и что такое плохо», не так просто, дляего анализа нужны глубокие исследования.
Во-вторых, даже если критерийоптимальности и сформулирован, то нахождение оптимального плана само посебе не решает все вопросы, так как разнообразные случайные обстоятельства,учесть которые заранее невозможно в принципе, могут привести к76существенному отклонению результата от плана.Одно из основных направлений развития математических моделей разработкакомплексныхмоделейфункционированиясистем.Модельфункционирования отражает не какой-то изолированный процесс, напримерпроцесс планирования, а совокупность всех основных процессов.Например,модель функционирования экономического объекта состоит из разнородных поиспользуемому математическому аппарату блоков. Основным аппаратоманализа такой комплексной модели являются численные эксперименты на ЭВМс соответствующей статистической обработкой.
В качестве переменных,подлежащих определению в результатерешения модели, могут выступать нетолько числовые характеристики (объёмы выпуска продукции, использованиеили неиспользование тех или иных технологических способов и пр.), но иалгоритм деятельности или структура взаимодействия частей. Например,варьируются алгоритмы составления плана или алгоритмы взаимодействияпредприятийиоргановматериально-техническогоснабжения,производственная структура предприятия.Таким образом, часто вопрос о выборе решений оказывается настолькосложным, что введение критерия, по которому можно было бы провестисравнениеразличныхвариантоввоздействиянасистему,простонеосуществимо.
Поэтому необходим неформальный, с участием эксперта,анализ последствий каждого из вариантов принимаемого решения. В такомслучаевысокуюисследования,продуктивностькоторыепринятоприноситназыватьиспользованиеметодовимитационными.Главнаяособенность их состоит в проведении имитационного эксперимента, но тольконе с объектом, а с его математической моделью. Причем реализацияэксперимента осуществляется на ЭВМ.Имитационные исследования используются для анализа сложных системв таких непохожих областях науки, как исследование ядерных реакторов иизучение психологии человека, моделирование боевых действий и анализпоследствий экологических катастроф, изучение распространения эпидемий и77моделирование исторических процессов.
Особо важное место имитационныеметоды занимают в анализе экономических процессов.В экономических исследованиях имитация используется в широкомдиапазоне задач. К наиболее типичным хозяйственным задачам, где можноэффективноиспользоватьимитационноемоделированиедляпринятиярешений, относят следующие:управление запасами,работа системы массового обслуживания,производственное планирование,анализ рисков,использование ресурсов.Главной функцией имитационной модели является воспроизведение сзаданнойстепеньюточностипрогнозируемыхпараметровеёфункционирования, представляющих исследовательский интерес. Как объект,так и его модель должны обладать системными признаками.Функционирование объекта характеризуется значительным числомпараметров. Особое место среди них занимает временной фактор. Вбольшинстве моделей имеется возможность масштабирования или введениямашинного времени, т.е.
интервала, в котором остальные параметры системысохраняютсвоизначенияилизаменяютсянекоторымиобобщеннымивеличинами. Таким образом, за счет этих двух процессов - укрупнения единицывременного интервала и расчета событий этого интервала за определенныйвременной промежуток и создается возможность прогноза и расчета вариантовуправленческих действий.8.4.
Примеры математических моделейПример1.Пустьнекоторыйэкономическийрегионпроизводитnнесколько видов продуктов исключительно своими силами и только длянаселения данного региона. Предполагается, что технологический процессотработан, а спрос населения на эти товары изучен. Надо определить годовой78объем выпуска продуктов, с учетом того, что этот объем должен обеспечить какконечное, так и производственное потребление.Составим математическую модель этой задачи.
По ее условию даны:виды продуктов, спрос на них и технологический процесс; требуется найтиобъем выпуска каждого вида продукта.Обозначим известные величины:ci — спрос населения на i-ый продукт (i=1,...,n);aij — количество i-го продукта, необходимое для выпуска единицы j-гопродукта по данной технологии (i=1,...,n; j=1,...,n).Обозначим неизвестные величины:хi— объем выпуска i-го продукта (i=1,...,n);совокупность с = (c1 ,...,cn) - вектор спроса,aij — технологические коэффициенты,совокупность х =( х1 ,...,хn)— вектор выпуска.По условию задачи вектор х распределяется на две части: на конечноепотребление (вектор с) и на воспроизводство (вектор х-с).
Вычислим ту частьвектора х,которая идет на воспроизводство. По нашим обозначениям дляпроизводства хj количества j-го товара идет aij· хj количества i-го товара. Тогдасумма ai1 · х1 +...+ ain · хn показывает ту величину i-го товара, которая нужна длявсего выпуска х = (х1 ,...,хn). Следовательно, должно выполняться равенство:хi - сi = ai1 · х1 +...+ ain · хn.Распространяя это рассуждение на все виды продуктов, приходим кискомой модели:х1 - с1 = a11 · х1 +...+ a1n · хn,(8.1)х2 - с2 = a21 · х2 +...+ a2n · хn,....................................................хn - сn = an1 · хn +...+ ann · хn.Решая эту систему из n линейных уравнений относительно х1 ,...,хn,найдем требуемый вектор выпуска.Введем обозначения:79Квадратная (nxn) —матрица А называется технологической матрицей.Модель (8.1) теперь запишется так:х-с=Ах.(8.2)Мы получили классическую модель «Затраты-выпуск», автором которойявляется известный американский экономист В.
Леонтьев.Пример 2.Нефтеперерабатывающий завод располагает двумя сортаминефти: сортом А в количестве 10 единиц, сортом В — 15 единиц. Припереработке из нефти получаются два материала: бензин (обозначим Б) и мазут(М). Имеется три варианта технологического процесса переработки:I: 1ед.А + 2ед.В дает 3ед.Б + 2ед.М,II:2ед.А + 1ед.В дает 1ед.Б + 5ед.М,III:2ед.А + 2ед.В дает 1ед.Б + 2ед.М.Цена бензина — 10 долл.
за единицу, мазута — 1 долл. за единицу.Требуетсяопределитьнаиболеевыгодноесочетаниетехнологическихпроцессов переработки имеющегося количества нефти.Перед моделированием уточним следующие моменты. Из условия задачивытекает, что «выгодность» технологического процесса для завода следуетпонимать в смысле получения максимального дохода от реализации своейготовой продукции (бензина и мазута). В связи с этим понятно, что выборрешения завода состоит в определении того, какую технологию и сколько разприменить.
Очевидно, что таких возможных вариантов достаточно много.Обозначим неизвестные величины:хi—количество использования i-го технологического процесса (i=1,2,3).Остальные параметры модели (запасы сортов нефти, цены бензина имазута) известны.Теперь одно конкретное решение завода сводится к выбору одноговектора х=( х1 ,х2 ,х3), для которого выручка завода равна (32х1+15х2 +12х3)80долл. Здесь 32 долл. — это доход, полученный от одного применения первоготехнологического процесса (10 долл.·3ед.Б + 1 долл. ·2ед.М = 32 долл.).Аналогичный смысл имеют коэффициенты 15 и 12 для второго и третьеготехнологических процессов соответственно.
Учет запаса нефти приводит кследующим условиям:для сорта А:для сорта В:(8.3),где в первом неравенстве коэффициенты 1, 2, 2 — это нормы расхода нефтисорта А для одноразового применения технологических процессов I, II, IIIсоответственно. Коэффициенты второго неравенства имеют аналогичныйсмысл для нефти сорта В.Математическая модель в целом имеет вид:найти такой вектор х = (х1, х2, х3), чтобы максимизировать f(x) =32х1+15х2+12х3 при выполнении условий:(8.4).Сокращенная форма этой записи такова:(8.5)Мы получили так называемую задачу линейного программирования.Пример3.
Инвестору требуется определить наилучший набор из акций,облигаций и других ценных бумаг для приобретения их на некоторую сумму сцелью получения определенной прибыли с минимальным риском для себя.Прибыль на каждый доллар, вложенный в ценную бумагу j-го вида,характеризуется двумя показателями: ожидаемой прибылью и фактической81прибылью. Для инвестора желательно, чтобы ожидаемая прибыль на одиндоллар вложений была для всего набора ценных бумаг не ниже заданнойвеличины b.Обозначим известные параметры задачи:n — число разновидностей ценных бумаг;аj— фактическая прибыль (случайное число) от j-го вида ценной бумаги,j— ожидаемая прибыль от j-го вида ценной бумаги.Обозначим неизвестные величины:yj— средства, выделенные для приобретения ценных бумаг вида j.По нашим обозначениям вся инвестированная сумма выражается как.Для упрощения модели введем новые величиныТаким образом, хi— это доля от всех средств, выделяемая дляприобретения ценных бумаг вида j.
Ясно, что.Из условия задачи видно, что цель инвестора— достижениеопределенного уровня прибыли с минимальным риском. Содержательно риск— это мера отклонения фактической прибыли от ожидаемой. Поэтому егоможно отождествить с ковариациейприбыли для ценных бумаг вида i и вида j:.Здесь М — обозначение математического ожидания.Математическая модель исходной задачи имеет вид:minпри ограничениях82(8.6)Мыполучилиизвестнуюмодельструктуры портфеля ценных бумаг.МарковицадляоптимизацииЭта модель является примеровоптимизационной модели стохастического типа (с элементами случайности).Пример4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
