11.03.04_28.03.01_12.03.02_12.05.01_fti_zadachnik_kvant_mekh (1016570), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Рассмотреть случай а) 0 < E < U2,б)E > U2.8.МОМЕНТ ИМПУЛЬСА МИКРОЧАСТИЦОсновные формулыˆ2~• Операторы L и L̂z в сферической системе координат2ˆ~ = −~2∆ϑϕ,LL̂z = −i~∂/∂ϕ,где угловая часть оператора Лапласа∆ϑϕ1 ∂∂1 ∂2sin ϑ+.=sin ϑ ∂ϑ∂ϑ sin2 ϑ ∂ϕ2(8.1)(8.2)• Собственные функции и собственные значения оператора L̂z481ψm(ϕ) = √ eimϕ,2πZ2πm = 0, ±1, ±2, ...Lz = ~m,∗ψm(ϕ)ψn(ϕ) dϕ = δmn.(8.3)(8.4)0ˆ2~• Собственные функции и собственные значения оператора Lψlm(ϑ, ϕ) = Ylm(ϑ, ϕ),(8.5)L2 = ~2l(l + 1),l = 0, 1, 2, ...,m = 0, ±1, ±2, ..., ±l.
(8.6)• Сферические функции и условие их ортонормировкиYlmm + |m| s(l − |m|)!(2l + 1) |m|2Pl (cos ϑ)eimϕ,= (−1)(l + |m|)!4πZ2π Zπ0Yl∗0m0 (ϑ, ϕ)Ylm(ϑ, ϕ) sin ϑ dϑdϕ = δll0 δmm0 .(8.7)(8.8)0• Присоединенные полиномы Лежандра|m| |m|d|m|Pl (ξ) = (1 − ξ 2) 2Pl (ξ),dξ |m||m|Pl (ξ) = 0 при |m| > l.(8.9)• Полиномы Лежандра1 dl 2lPl (ξ) = l(ξ−1).2 l! dξ l• Несколько первых сферических функций1Y0,0 = √ ;4πrY1,0 =3cos ϑ;4π49(8.10)rY1,±1 = ∓3sin ϑe±iϕ;8πrY2,0 =5(3 cos2 ϑ − 1);16πrY2,±2 =rY2,±1 = ∓15cos ϑ sin ϑe±iϕ;8π15sin2 ϑe±2iϕ.32π(8.11)Примеры решения задачЗадачаЧастица находится в состоянии с волновой функцией ψ(ϕ) =A sin ϕ cos ϕ.
Какие значения может принимать проекция момента импульса Lz этой частицы и с какими вероятностями? Найтитакже среднее значение проекции hLz i.РешениеОтнормируем данную волновую функциюZ2π1=ψ ∗(ϕ)ψ(ϕ) dϕ = A20Z2πsin2 ϕ cos2 ϕ dϕ =0 2πZ2πZZ2π= A2 sin2 ϕ(1 − sin2 ϕ) dϕ = A2 sin2 ϕ dϕ − sin4 ϕ dϕ .000Вычисляя полученные интегралы методом понижения степении перехода к двойному углу, получаемZ2πZ2πsin2 ϕ dϕ = π,03sin4 ϕ dϕ = π.40Это приводит к значению нормировочной постоянной A =√2/ π.
Отнормированная волновая функция принимает вид2ψ(ϕ) = √ sin ϕ cos ϕ.πРазложим нашу функцию по известным собственным функциямоператора L̂z (8.3)501ψm(ϕ) = √ · eimϕ,m = 0, ±1, ±2, . . . .2πДля этого проще всего воспользоваться формулами Эйлераeiϕ − e−iϕeiϕ + e−iϕsin ϕ =,cos ϕ =.2i2Тогда волновая функция принимает видiiiiψ(ϕ) = − √ · e2iϕ + √ · e−2iϕ = − √ · ψ2 + √ · ψ−2.2 π2 π22Таким образом, в данном состоянии квантовое число m можетпринимать только два значения m = ±2.
Используя известноевыражение для собственных значений оператора L̂z (8.3) Lz = m~,получаем искомые возможные значения и их вероятности11Lz,−2 = −2~,w−2 = .w2 = ;22Вероятности получены как квадраты модулей коэффициентов,стоящих при ψ2 и ψ−2.Теперь найдем среднее значение проекции Lz .Lz,2 = 2~,Z2πhLz i =4ψ ∗L̂z ψ dϕ =π0Z2πsin ϕ cos ϕ(−i~∂) sin ϕ cos ϕ dϕ =∂ϕ0= −i~4πZ2πsin ϕ cos ϕ(cos2 ϕ − sin2 ϕ) dϕ =0 2πZZ2π4= −i~ sin ϕ cos3 ϕ dϕ − cos ϕ sin3 ϕ dϕ =π00 2πZZ2π4= −i~ − cos3 ϕ d cos ϕ − sin3 ϕ d sin ϕ =π0051"2π2π #1 4 11 4 − cos ϕ − sin ϕ= 0.= −i~π4400Отметим, что среднееP значение Lz можно найти и гораздо проще, так как hL̂z i =w i Li .Задачи8.1. Непосредственным вычислением определить собственноеˆ2~значение оператора L , соответствующее собственной функцииψ(ϑ, ϕ) = A sin ϑ cos ϕ. Является ли эта функция собственнойфункцией оператора L̂z ?Ответ: L2 = 2~2.8.2. Найти возможные собственные значения оператора L̂z иих вероятности для частицы, находящейся в состоянии с волновойфункцией ψ(ϑ, ϕ) = A(ϑ) sin2 ϕ.Ответ: Lz0 = 0, w0 = 2/3;Lz,2 = 2~, w2 = 1/6;Lz,−2 =−2~, w−2 = 1/6.8.3.Вычислить среднее значение квадрата момента импульса частицы в состоянии с волновой функцией ψ(ϑ, ϕ) =A sin2 ϑ exp(2iϕ).Ответ: hL̂2i = 6~2.8.4.
В теории момента импульса часто используются операторыL̂± = L̂x ± iL̂y . Найти коммутаторы [L̂±, L̂z ] и [L̂+, L̂−]. Используявыражения для этих коммутаторов, показать, что L̂±ψlm = const ·ψl,m±1.Ответ: [L̂±, L̂z ] = ∓~L̂±;[lˆ+, L̂−] = 2~L̂z .8.5. Непосредственным вычислением получить явный вид опеˆ2~раторов L̂x, L̂y , L̂z, L , L̂+, L̂− в сферической системе координат.∂∂+ ctg ϑ cos ϕ ∂ϕОтвет: L̂x = i~ sin ϕ ∂ϑ;∂∂∂− ctg ϑ sin ϕ;L̂z = −i~ ;L̂y = −i~ cos ϕ∂ϑ∂ϕ∂ϕ∂∂L̂± = ~e±iϕ ±+ i ctg ϑ.∂ϑ∂ϕ528.6.
Найти возможные значения Lz и их вероятности в состоянии с волновой функцией ψ(ϑ, ϕ) = A sin ϑ cos ϕ. Вычислить средние значения hL̂2i и hL̂z i в этом состоянии.Ответ: hL̂z i = 0, hL̂2i = 2~2.8.7. Частица находится в квантовом состоянии с волновой функциейe−r/aψ(r, ϑ, ϕ) = A(Y0,0(ϑ, ϕ) − Y1,1(ϑ, ϕ)),rгде a - заданная величина. Найти нормировочную постоянную A.Чему равны средние значения hL̂2i и hL̂z i в этом состоянии?√Ответ: A = 1/ a;hL̂z i = ~/2;hL̂2i = ~2.8.8.
Вычислить возможные собственные значения оператора L̂zи их вероятности для системы, находящейся в состоянии ψ(ϕ) =A(1 + sin ϕ).Ответ: Lz,0 = 0, w0 = 2/3;Lz,1 = ~, w1 = 1/6;Lz,−1 =−~, w−1 = 1/6.8.9. Частица движется в центральном силовом поле с потенциальной энергией U (r). Доказать, что оператор квадрата моментаˆ2~импульса L и оператор L̂z коммутируют с гамильтонианом частицы. Какие отсюда следуют выводы относительно стационарныхсостояний частицы?8.10.
Нормированная на единицу волновая функция частицы всферических координатах имеет вид ψ(r, ϑ, ϕ) = R(r)Y (ϑ, ϕ), гдеR(r) - некоторая функция. Найти постоянную , вычислить средние значения hL̂2i, hL̂z i в этом состоянии и квантовую неопределенность ∆Lz , если:а) Y (ϑ, ϕ) = A sin ϑ cos ϕ;б) Y (ϑ, ϕ) = A sin ϑ · eiϕ;в) Y (ϑ, ϕ) = A(1 − 3 cos2 ϑ) sin ϕ;г) Y (ϑ, ϕ) = A sin ϑ cos ϑ · e−iϕ;д) Y (ϑ, ϕ) = A sin2 ϑ · e−2iϕ;е) Y (ϑ, ϕ) = A sinp ϑ sin ϕ.223/4π,hL̂i=0,hL̂i=2~, ∆Lz = ~; б)A =Ответ:а)A=zpp3/8π, hL̂z i = ~, hL̂2i = 2~2, ∆Lz = 0; в)A = 5/16π, hL̂z i = 0,53phL̂2i = 6~2, ∆Lz p= 0; г)A =15/8π, hL̂z i = ~, hL̂2i = 6~2,∆Lz =p0; д)A = 15/32π, hL̂z i = −2~, hL̂2i = 6~2, ∆Lz = 0;е)A = 3/4π, hL̂z i = 0, hL̂2i = 2~2, ∆Lz = ~.8.11∗. В состоянии частицы, которое характеризуется угловойзависимостью волновой функции вида ψ = A cosn ϕ, где ϕ - уголповорота относительно некоторой оси z, n - целое число, найтивероятности различных значений ~m проекции момента импульсана ось z.n−m 2n!Ответ: w(m) = nCn 2 ;2 (2n − 1)!!m = n, n − 2, ..., −n.8.12∗.
Представить оператор момента импульса системы из двухчастиц массами m1 и m2 в виде двух слагаемых, описывающихмомент импульса частиц в системе центра масс (момент относительного движения) и момент центра масс системы.~ˆ = −i ~r ∂ − i R~ ∂ , ~r = ~r2 − ~r1,Ответ: L~∂~r∂R~ = m1~r1 + m2~r2 .Rm1 + m28.13∗. Найти волновые функции стационарных состояний иуровни энергии плоского ротатора (система жестко связанныхдруг с другом частиц, вращающихся в фиксированной плоскости)с моментом инерции I.
Каковакратность вырождения уровней?√Ответ: ψm(ϕ) = 1/ 2π exp(imϕ), Em = ~2m2/2I, m =0, ±1, ±2, .. Все уровни, кроме основного, двукратно вырождены.9.ВОДОРОДОПОДОБНЫЙ АТОМОсновные формулы• Потенциальная энергия электрона в поле ядра с зарядом ZeZqe2e22U (r) = −,qe =.(9.1)r4πε0• Стационарное уравнение Шредингера для электрона в водородоподобном атоме и вид волновых функций5412L̂+ U (r) ψ = Enψ,K̂r +2mer2~2K̂r = −2meψ = ψnlm(r, ϑ, ϕ) = Rnl (r)Ylm(ϑ, ϕ),2∂∂2+,∂r2 r ∂r(9.2)(9.3)m = 0, ±1, ±2, ..., ±l,(9.4)где K̂r - оператор кинетической энергии радиального движения, n- главное квантовое число, l - орбитальное (азимутальное) квантовое число, m - магнитное квантовое число.
(Сферические функцииYlm приведены в предыдущем параграфе.)• Радиальная часть волновой функции и условие ее нормировкиn = 1, 2, ...;l = 0, 1, 2, ..., (n − 1);Zr l−2Zr2ZrRnl = Cnl e nr1L2l+1,n+lnr1nr1Z∞2Rnl(r)r2 dr = 1,0(9.5)2~где r1 == 0, 529 · 10−10 м - первый боровский радиус, Cnl 2me q eнормировочнаяпостоянная.• Полиномы ЛагерраskddLsk (x) = s ex k e−xxk .(9.6)dxdx• Спектр энергии водородоподобного атомаmeZ 2qe4 1En = −.(9.7)2~2 n2• Явный вид первых нормированных радиальных волновыхфункций 3/2 − ZrZe r1 ,R10 = −2r1 3/2 − Zr 1 ZZrR20 = √e 2r1 1 −,2r12 r155 5/2 − Zr1ZR21 = − √(9.8)re 2r1 .r2 6 1• Специальные обозначения для квантовых состояний с различными значениями ll: 0 1 2 3 4 5 6 7s p d f g h i k(9.9)Примеры решения задачЗадачаНайти составляющие вектора плотности тока вероятности всферической системе координат для электрона в атоме водорода.РешениеПо определению (7.1) вектор плотности тока вероятности дляэлектрона с массой me имеет вид~(ψ ∗∇ψ − ψ∇ψ ∗).i2meВоспользуемся известным из математики выражением вектора"набла" в сферической системе координат~j =1 ∂1 ∂∂+ ~eϑ+ ~eϕ, ~er , ~eϑ, ~eϕ − .∂rr ∂ϑr sin ϑ ∂ϕВолновая функция электрона в атоме водорода имеет вид (9.3)∇ = ~erψ = ψnlm(r, ϑ, ϕ) = Rnl (r)Ylm(ϑ, ϕ),где радиальная и угловая части волновой функции даются формулами (9.5) и (8.7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
