11.03.04_28.03.01_12.03.02_12.05.01_fti_zadachnik_kvant_mekh (1016570), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Доказать основные свойства (5.11) дельта-функции Дирака.5.14. Частица совершает одномерное движение вдоль оси x. Таккак x̂ = x, то собственные функции оператора координаты определяются из уравненияxψx0 (x) = x0ψx0 (x),где x0 — собственные значения, образующие непрерывныйспектр. Проверить, что функцииψx0 (x) = δ(x − x0)являются собственными функциями оператора x̂ и удовлетворяют условию нормировки на дельта-функцию (5.9).5.15. Пусть спектр некоторой динамической переменной Aвключает дискретный набор собственных значений {An} и уча000сток непрерывного спектра в интервале от A до A . Тогдаестественным обобщением разложения волновой функции Ψ(t)по собственным функциям переменной A имеет вид (аргумент ~rопущен)00Ψ(t) =XZAan(t)ψn +naA(t)ψA dA.A0Записать условие нормировки волновой функции Ψ(t) и выражение для среднего значения hAit через амплитуды вероятностиan(t) и aA(t).
Предполагается, что дискретные собственные значе000ния An лежат вне интервала A < A < A .5.16∗. Частица находится в некотором квантовом состоянииΨ(x, t), причем Ψ(x, t) не является собственной функцией оператора Â. Предполагая, что оператор Â не зависит явно отвремени и коммутирует с гамильтонианом Ĥ, показать, что: а)среднее значение величины A сохраняется (то есть не зависит33от времени); б) вероятности определенных значний величины Aтакже не зависят от времени.5.17∗.
Гамильтониан частицы с массой m имеет вид Ĥ = p̂2/2m−F x. Какой физический смысл имеет постоянная F ? Записать вявном виде уравнение движения для среднего значения кинетической энергии частицы hT̂ i. Объяснить физический смысл полученного уравнения.6.СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ ЧАСТИЦЫОсновные формулы• Стационарное уравнение Шредингера~2 2(6.1)Ĥψ = Eψ,Ĥ = − ∇ + U (~r).2m• Волновые функции и уровни энергии частицы с массой m водномерной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокимистенками:r2πnxπ 2~2n2ψn(x) =sin,En =,n = 1, 2, ...(6.2)ll2ml2• Волновые функции и уровни энергии Гамильтониан одномерного гармонического осциллятора с массой m:mω 2x2p̂2xĤ =+;(6.3)2m2• Уровни энергии и волновые функции одномерного гармонического осциллятора1En = ~ω n +,n = 0, 1, 2, ...;(6.4)2ψn(x) = mω 1/4π~ r21mωxmω√exp −Hn x;2~~2nn!dnHn(x) = (−1) exp(x ) n exp(−x2)dxn234(6.5)(6.6)— полиномы Эрмита n— го порядка.• Несколько первых полиномов ЭрмитаH0 = 1;H2 = 4x2 − 2;H1 = 2x;H3 = 8x3 − 12x;H4 = 16x4 − 48x2 + 12; ...• Рекуррентное соотношение для полиномов Эрмита1xHn = nHn−1 + Hn+1.2• Дифференциирование полиномов Эрмита(6.8)0Hn = 2nHn−1.• Интегральные соотношения для полиномов ЭрмитаZ∞2e−x Hm(x)Hn(x)dx =√ 0;2 n! π;n(6.7)m 6= nm = n.(6.9)(6.10)−∞Примеры решения задачЗадачаОсциллятор находится в стационарном состоянии с энергиейE = 3~ω/2.
Вычислить среднюю потенциальную и кинетическуюэнергии осциллятора.РешениеУровни энергии одномерного осциллятора (6.3)1En = ~ω(n + ),n = 0, 1, 2, ....2По условию задачи E = 3~ω/2. Сравнивая эти два выраженияполучаем, что осциллятор находится в 1— ом возбужденном состоянии с n = 1. Волновая функция такого состояния имеет вид(6.4) r mω 1/4 1n mω omω√ exp −x 2 H1 x,ψ1(x) =π~2~~235где явное выражение для полинома Эрмита первого порядка непосредственно следует из (6.5)r rmωmωH1 x= 2x.~~Потенциальная энергия осциллятораmω 2x2.U (x) =2Среднее значение потенциальной энергии hU i в состоянии ψ1(x)находим по общему правилу вычисления средних значений физических величинZ∞hU i =ψ1∗(x)Û ψ1(x)dx.−∞Подставим сюда явные выражения для волновой функции и потенциальной энергии, обозначив для простоты нормировочный коэффициент в волновой функции через C1.
Получим2 3mω 2hU i = 2C1~Z∞2−mωx/~x4dx.e−∞Для вычисления оставшегося интеграла воспользуемся интегралом ПуассонаZ∞2e−ax dx =rπ.a−∞Путем двукратного дифференциирования этого выражения попараметру a получаемZ∞2e−ax x4dx =34rπ.a5−∞Отсюда получаем значение нашего интеграла при a = mω/~36Z∞3e−mωx /~x4dx =42rπ~5.m5ω 5−∞Раскрывая значение нормировочного коэффициента C1 и используя полученное значение интеграла, получаем окончательноевыражение для средней потенциальной энергии рассматриваемогоосциллятора113.hU i = ~ω = ~ω 1 +422Итак, среднее значение потенциальной энергии равно половинезначения полной энергии осциллятора.
Вычислять среднее значение кинетической энергии hT i явно нет необходимости. Представим среднюю энергию осциллятора как сумму потенциальнойи кинетической энергий. В стационарном состоянииhEi = En3. В данном случае hEi = ~ω, поэтому2hEi = hU i + hT i.и311hT i = ~ω = ~ω 1 +.422Замечание. Можно показать, что полученный результат справедлив и для осциллятора в произвольном стационарном квантовом состоянии |n >, т.е. средние значения потенциальной и кинетической энергий гармонического осциллятора равны между собойи равны половине полной энергии осциллятора в рассматриваемомсостоянии |n >:11hU in = hT in = ~ω n +.22Задачи376.1. Частица с массой m находится в основном состоянии в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.
Ширина ямы l. Вычислить среднее значение проекции импульса hpxiв этом состоянии и квантовую неопределенность импульса ∆px.π~Ответ: hpxi = 0;∆px =.l6.2. Для условия предыдущей задачи вычислить среднее значение координаты hxi в этом состоянии и квантовую неопределенность координаты ∆x.s l16Ответ: hxi = ;∆x = l1− 2 .212π6.3. Частица находится в основном состоянии в одномернойпотенциальной яме ширины l с бесконечно высокими стенками(0 < x < l). Найти вероятность обнаружить частицу в областиl/3 < x < 2l/3.√31.Ответ: w = +3 2π6.4. Частица с массой m находится в одномерной потенциальнойяме шириной l с потенциальной энергией(∞,x < 0,0 < x < l,U (x) = 0,U0 > 0,x > l.а) Найти уравнение, определяющее возможные значения энергии E частицы в области E < U0; привести это уравнение к видуs√~22mEsin kl = ±kl,k=.2ml2U0~Показать с помощью графического решения этого уравнения,что возможные значения энергии частицы образуют дискретныйспектр.б) Найти минимальное значение величины l2U0, при которомпоявляется первый энергетический уровень в области E < U0.π 2 ~22Ответ: б) (l U0)min =.8m6.5.
Частица с массой m находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками.38Найти возможные значения энергии и нормированные волновыефункции стационарных состояний, если стороны ямы равны l1 иl2. Оценить значение энергии основного состояния с помощью соотношений неопределенностей Гейзенберга и сравнить полученныйрезультат с точным выражением. 22 22π ~ n1 n2Ответ: En1,n2 =+,2m l12 l22 2πn2yπn1xsin,n1, n2 =sinψn1,n2 (x, y) = √l1l2l1l21, 2, ...,~2 11Emin ≈+.2m l12 l226.6.
Частица находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками (0 < x < a, 0 <y < b). Определить вероятность нахождения частицы с наименьшей энергией в области√ 0 < x < a/3.31.Ответ: w = −3 4π6.7. Частица с массой m находится в трехмерной прямоугольнойпотенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Длины ребер ямы равны a, b, c. Найти возможные значения энергиичастицы.π 2~2 n21 n22 n23++, n1, n2, n3 = 1, 2, 3...Ответ: En1,n2,n3 =2m a2 b2 c26.8∗. Для частицы в трехмерной прямоугольной потенциальнойяме (см. предыдущую задачу) найти число стационарных состояний dN в интервале энергий (E, E + dE).
Считать, что длиныребер ямы a, b, c велики и спектр энерги почти непрерывен.abcm3/2 √Ответ: dN (E) = √E dE.232π ~6.9. Частица с массой m находится в кубической потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Найти разностьэнергий 3— го и 4— го уровней, если длина ребра ямы равна l.Найти число различных квантовых состояний, соответствующих6-му уровню энергии.π 2~2Ответ: E4 − E3 =,6.ml2396.10. Нормированные на единицу волновые функции Ψ1(~r, t) иΨ2(~r, t) описывают стационарные состояния частицы со значениями энергии E1 и E2, причем E1 6= E2.
Найти среднее значение энергии частицы hEi и квантовую неопределенность энергии∆E√в нестационарномсостоянии с волновой функцией Ψ(~r, t) =p(1/ 3)Ψ1(~r, t) + ( 2/3)Ψ2(~r, t).√212Ответ: hEi = E1 + E2;∆E =|E1 − E2|.3336.11. Найти возможные значения энергии частицы с массойm, находящейся в сферически симметричной потенциальной ямеU (r) = 0 при r < r0 и U (r) = ∞ при r > r0 для случая, когда движение частицы описывается волновой функцией ψ(r), зависящейтолько от радиуса r.Указание: при решении уравнения Шредингера воспользоваться подстановкой ψ(r) = χ(r)/r.π 2~2n2.Ответ: En =2mr026.12. В условии предыдущей задачи найти нормированные волновые функции частицы в состояниях, где ψ(r) зависит только отr.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
