11.03.04_28.03.01_12.03.02_12.05.01_fti_zadachnik_kvant_mekh (1016570), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Постоянная8Ридберга:2e2meR== 2, 067 · 1016c−1.34πε0 2~• Уровни энергии водородоподобного атома 2 2eme Z 2,n = 1, 2, ...En = −4πε0 2~2 n2(2.2)(2.3)• Радиусы разрешенных орбитn2rn = r1 ,Z~2−10=0,529·10м.n = 1, 2, ...r1 = 4πε0mee2(2.4)• Правило квантования Бора - ЗоммерфельдаIp dq = 2π~n,n = 1, 2, ...,(2.5)где q — обобщенная координата, p — обобщенный импульс.• Соотношения де Бройля для энергии и импульса свободноймикрочастицыE = ~ω,p~ = ~~k.(2.6)Примеры решения задачЗадачаПользуясь правилом квантования Бора - Зоммерфельда, найтиуровни энергии частицы с массой m, совершающей малые колебания в трехмерной потенциальной яме с потенциальной энергиейV (x1, x2, x3) =3Xk 2 x2ii=12i,где xi — декартовы координаты.РешениеГамильтониан такой системы можно записать в видеH(p, q) =3 2Xpmωi2x2ii+2m2i=19k2, где mωi = mi — частота малых колебаний, pi — компоненты импульса частицы.
Задача сводится к трем независимым задачам оквантовании одномерных осцилляторов по каждой из осей координат. Для каждого такого осциллятора справедливо свое правилоквантования Бора - ЗоммерфельдаIpidxi = 2π~ni,(i = 1, 2, 3).Здесь каждое из чисел ni может принимать значения 1.2,3,.. Координаты и компоненты импульса малых колебаний изменяютсясо временем по гармоническому законуxi = Ai sin(ωit + αi),,pi = mωiAi cos(ωit + αi),, где Ai -амплитуда, а alphai - начальная фаза колебаний.
Подставим эти выражения в правило квантования:Z TiIcos2(ωit + αi)dtpidxi = mA2i ωi20ωi2Ti 22π=mAi = 2π~ni; Ti = .2ωiОтсюда получаем условие на амплитуды колебаний2~ni.mωiПодставляя явные выражение для xi и pi с учетом полученногозначения для амплитуд в гамильтониан, получаем окончательноискомые значения для энергииA2i =E=3XmA2ω 2ii=1i2=3X~ωini.i=1Таким образом энергия трехмерного осциллятора есть суммаэнергий трех одномерных осцилляторов.Задачи102.1.
Покоившийся атом водорода испустил фотон, соответствующий головной линии серии Лаймана. Какую скорость приобрелатом?3R~Ответ: v ≈≈ 3, 25 м/с.4mc2.2. Какому элементу принадлежит водородоподобный спектр,длины волн которого в 4 раза короче, чем длины волн линий атомаводорода?Ответ: Ион гелия He+.2.3.Сколько спектральных линий будет испускать атомарныйводород, который возбуждают на n -ый энергетический уровень?(n − 1)nОтвет:.22.4.
Вычислить постоянную Ридберга R, если известно, что дляионов He+ разность длин волн между головными линиями серийБальмера и Лаймана ∆λ = 133, 7 нм.36 42πc−= 2, 07 · 1016c−1.Ответ: R = 2Z ∆λ 532.5. Определить для иона He+ энергию связи электрона в основном состоянии, потенциал ионизации и длину волны головнойлинии серии Лаймана.Ответ: Eсв = Z 2~R = 54, 4эВ; ϕi = Eсв/e = 54, 4B; λ =8πc/3Z 2R = 30, 4нм.2.6.
Какую наименьшую энергию надо сообщить иону He+ , находящемуся в основном состоянии, чтобы он смог испустить фотон, соответствующий головной линии серии Бальмера ?8Ответ: E = Z 2~R = 48, 5эВ.92.7. У какого водородоподобного атома разность длин волнмежду головными линиями серий Бальмера и Лаймана составляет59,3 нм ?Ответ: Li++.2.8. Энергия связи электрона в основном состоянии атома Heравна E0 = 24, 6 эВ. Найти энергию, необходимую для удаленияобоих электронов из этого атома.Ответ: E = E0 + 4~R = 79 эВ.2.9.
Используя правило квантования Бора - Зоммерфельда, найти разрешенные значения энергии микрочастицы с масcой m, движущейся в одномерном потенциальном поле U (x) = ax2/2.11pОтвет: En = n~ a/m.2.10. Частица с массой m движется по круговой орбите в центральном силовом поле, где ее потенциальная энергия зависит отрасстояния r до центра поля как U (r) = kr2/2, где k - постоянная. Найти с помощью правила квантования Бора - Зоммерфельдавозможные значения радиусов орбит и значения полной энергиичастицы в данномp поле.pОтвет: rn = n~/mω; En = n~ω; n = 1, 2, ...; ω = k/m.2.11.
Свободная частица с массой m находится в одномернойпотенциальной яме с бесконечно высокими стенками, расположенными при x = 0 и x = a. Определить уровни энергии частицы,пользуясь правиломквантованияБора - Зоммерфельда.21 π~Ответ: En =n ; n = 1, 2, 3, ....2m a2.12. Показать, что электрон в атоме водорода может двигатьсятолько по тем круговым орбитам, на которых укладывается целоечисло волн де Бройля.Указание: Длина волны де Бройля λ = 2π~/p, правило квантования момента импульса при круговом движении по орбите L =pr = n~.2.13.
Получить выражение для дебройлевской длины волны λрелятивистской частицы, движущейся с кинетической энергией T .При каких значениях T ошибка в определении λ по нерелятивистской формуле не превышает 1% для электрона?2π~; T ≤ 20 кэВ.Ответ: λ = p22mT (1 + T /2mc )2.14. Найти дебройлевскую длину волны релятивистских электронов, подлетающих к антикатоду рентгеновской трубки, еслидлина волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра λk = 10, 0 пм.λkОтвет: λ = p= 3, 3 пм.1 + mecλk /π~2.15. Частица движется слева направо на одномерную потенциальную стенку высотой U = 15 эВ.
Левее стенки кинетическаяэнергия частицы равна T = 20 эВ. Во сколько раз и как изменитсядебройлевская длина волны частицы при переходе через потенциальную стенку?12pОтвет: Увеличится в T /(T − U ) = 2 раза.2.16. Параллельный поток электронов с одинаковой энергиейпадает нормально на диафрагму с узкой прямоугольной щельюшириной b = 1 мкм. Определить скорость этих электронов, еслина экране, отстоящем от щели на расстояние l = 50 см, ширинацентрального дифракционного максимума равна ∆x = 0, 36 мм.Ответ: v = 4π~l/meb∆x = 2, 0 · 106м/с.2.17. Узкий пучок электронов с одинаковой энергией падаетпод углом скольжения ϑ = 30◦ на естественную грань монокристалла алюминия.
Расстояние между соседними кристаллическими плоскостями, параллельными этой грани, равно d = 0, 2 нм.При некотором ускоряющем напряжении U0 наблюдается максимум зеркального отражения электронов. Найти U0 , если известно,что следующий максимум зеркального отражения возникает приувеличении ускоряющего напряженияв η = 2, 25 раза.√2 22 2Ответ: U0 = π ~ /2mee( η − 1) d sin2 ϑ = 0, 15 кВ.2.18. Параллельный пучок электронов, ускоренных разностьюпотенциалов U = 25 В, падает нормально на диафрагму с двумяузкими щелями, расстояние между которыми d = 50 мкм.
Определить расстояние между соседними максимумами дифракционнойкартины на экране, расположенном на расстоянии l = 100 см отщелей.√Ответ: ∆x = 2π~l/d 2meeU = 4,9 мкм.2.19. При каком значении кинетической энергии электрона егодебройлевская длина волны равна комптоновской длине волны? Скакой скоростью√при этом движется электрон? √Ответ: Ek = ( 2 − 1)mec2 = 0, 21МэВ; v = c/ 2.3.КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА ОДНОЙ ЧАСТИЦЫОсновные формулы• Волновая функция свободной частицыn o1Ψ(~r, t) = √ exp i ~k · ~r − ωt ,илиV1iΨ(~r, t) = √ exp(~p · ~r − E(p)t) ,~V13(3.1а)(3.1б)где ω = E(p)/~, ~k = p~/~, E(p) = p2/2m, V — объем областидвижения.• Условие нормировки волновой функции в объеме с конечнымиразмерамиZ|Ψ(~r, t)|2 dV = 1.(3.2)V• Временно́е уравнение Шредингера для одной частицы с массой m∂Ψ~2 2i~= Ĥ(t)Ψ,Ĥ(t) = − ∇ + U (~r, t).∂t2m• Волновая функция стационарного состоянияiΨ(~r, t) = ψ(~r) exp − Et ,~(3.3)(3.4)где∇2 — квадрат вектора "набла" (то же самое, что и операторЛапласа ∆).• Стационарное уравнение Шредингера~2 2(3.5)Ĥψ = Eψ,Ĥ = − ∇ + U (~r).2mПримеры решения задачЗадачаВ момент времени t = 0 свободная частица описывается волновой функциейx2Ψ(x, 0) = ψ(x) = A exp − 2 + ik0x ,2aгде a, k0 — заданные постоянные.
Определить коэффициент A иобласти, где локализована частица.РешениеДля нахождения коэффициента A запишем условие нормировкиZ∞|ψ(x)|2dx = 1.−∞14Подставляя сюда явное выражение для волновой функции, получаем:|A|2Z∞2 2e−x /a dx = 1.−∞Для вычисления полученного интеграла воспользуемся известнымиз математики значением интеграла ПуассонаZ∞2e−αx dx =rπ, (α > 0).α−∞Тогда для нормировочного коэффициента получаем1/211√|A|2 = √ ,A=.a πa πДля оценки размера области локализации частицы, напишемвыражение для плотности вероятности2 21%(x) = |ψ(x)|2 = √ · e−x /a .a πЭта функция имеет максимум в точке x = 0 и быстро (экспоненциально) убывает при |x| > a.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
