11.03.04_28.03.01_12.03.02_12.05.01_fti_zadachnik_kvant_mekh (1016570), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Вычислить среднее значение кинетической энергии h hatT iдля свободной частицы с волновой функцией (3.1).Ответ: hT̂ i = p~ 2/2m.4.9. Найти результат действия оператора p̂x на волновуюфункцию Ψ(x, y, z, t) = exp[ipx/~]Φ(y, z, t), где Φ — произвольнаяфункция.Ответ: pΨ.4.10.Частица совершает одномерное движение и в момент времени t = 0 находится в квантовом состоянии ψ(x) =A exp(−x2/a2 + ikx), где k, A, a — некоторые постоянные. Найтиhx̂i, hp̂xi, hT̂ i.~22 2Ответ: 0;~k;(1+ka ).2ma24.11. Волновая функция электрона в основном состоянии атома водорода имеет вид ψ(r) = A exp(−r/r1), где A — некотораяпостоянная, r1 — первый боровский радиус.
Найти среднее значение модуля кулоновской силы, действующей на электрон и среднеезначение потенциальной энергии электрона в поле ядра.1 e21 e2Ответ: hF i =;hU i = −.2πε0 r124πε0 r14.12. Частица совершает одномерное движение вдоль оси x винтервале 0 < x < l и ее волновая функция имеет вид ψ(x) =A sin(πx/l).
Найти: а) постоянную A; б) средние значения hx̂i,hp̂xi, hT̂ i — координаты, импульса и кинетической энергии соответственно.r2lπ 2~2Ответ: A =; hx̂i = ; hp̂xi = 0 : hT̂ i =.l22ml24.13. Доказать, что в стационарном состоянии среднее значениелюбой динамической переменной A не зависит от времени, еслиоператор этой динамической переменной Â не зависит от времени.4.14. Проверить следующие равенства для коммутаторов24[x̂, p̂y ] = 0,[x̂, p̂x] = i~,[L̂x, L̂y ] = i~L̂z .4.15.
Доказать, что операторы проекций импульса частицыp̂x, p̂y , p̂z — эрмитовы операторы. Какие физические следствия изэтого вытекают?4.16. Доказать самосопряженность оператора кинетическойэнергии частицы.4.17. Доказать операторное тождество (ÂB̂)† = B̂ †Â†. Являетсяли произведение двух эрмитовых операторов  и B̂ эрмитовымоператором? Если да, то при каких условиях?Ответ: ÂB̂ = (ÂB̂)†, если [Â, B̂] = 0.4.18. Доказать операторное тождество [Â, B̂ Ĉ] = [Â, B̂]Ĉ +B̂[Â, Ĉ], записав в явном виде выражения в правой и левой частях.
Найти с помощью этого тождества коммутатор [x̂, Ĥ], гдеĤ = p̂2x/2m + U (x) — гамильтониан частицы при одномерном движении.i~Ответ: [x̂, Ĥ] = p̂x.m4.19. Доказать, что операторы проекций момента импульса частицы L̂x, L̂y , L̂z — эрмитовы операторы.4.20. Частица совершает одномерное движение в интервале 0 <x < l и ее волновая функция имеет вид ψ(x) = A sin(πx/l). Найтиквантовую неопределенность px в этом состоянии.π~Ответ: ∆px =.l4.21.
Доказать, что квантовая неопределенность всех трех проекций импульса свободной частицы равна нулю. Указание: использовать явное выражение для волновой функции свободной частицы.4.22. Частица с массой m движется в одномерном потенциальном поле U = kx2/2 (гармонический осциллятор). Оценить с помощью соотношения неопределенностей энергию основного состояния частицы.rk1ω=.Ответ: E0 ≈ ~ω;2m4.23. Оценить с помощью соотношения неопределенностей Гейзенберга энергию основного состояния электрона в атоме водоро25да.2mee4.Ответ: Emin ≈ − 2~ (4πε0)24.24. Ускоряющее напряжение на электронно-лучевой трубкеU ≈ 10 кВ. Расстояние от электронной пушки до экрана l ≈ 10см. Оценить неопределенность координаты электрона на экране,если след электронногоr пучка на экране имеет диаметр d ≈ 1 мм.2~l1Ответ: ∆x ≈≈ 0, 4 нм.d2meeU4.25.
Оценить наименьшие погрешности, с которыми можноопределить скорости электрона и протона, локализованных в области размером l = 10 мм.~~Ответ: ∆ve ≈≈ 0, 012 м/с;∆vp ≈≈ 0, 063 · 10−4me lmplм/с.4.26. Оценить минимальную кинетическую энергию электрона,локализованного в области размером l ≈ 0, 10 нм.~2≈ 4эВ.Ответ: Emin ≈2mel24.27. Атом испустил фотон с длиной волны λ = 0, 58 мкм завремя τ ≈ 10−8 с. Оценить неопределенность ∆x , с которой можно установить координату фотона в направлении его движения, атакже относительную неопределенность его длины волны.Ответ: ∆x ≈ cτ ≈ 3м;∆λ/λ ≈ λ/4πcτ ≈ 1, 54 · 10−8.4.28.
Электрон с кинетической энергией T = 10 эВ локализован в области с размером l = 0, 2 нм. Оценить с помощью соотношения неопределенностей относительную квантовую неопределенность его скорости. Выполняется ли в данном случае условиеприменимости квазиклассическогоприближения?√Ответ: ∆v/v ≈ ~/ 2mel2T . Да.4.29. Электрон находится в одномерной потенциальной яме сбесконечно высокими стенками. Ширина ямы l. Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимально возможное значение энергии электрона в яме.Ответ: Emin ≈ ~2/2mel2.4.30∗. Для частицы, состояние которой описывается функцией26x2ψ(x) = A exp ik0x − 2 ,k0 = const, a = const,aвычислить квантовые неопределенности ∆x, ∆px и проверить соотношение неопределенностей.5.СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ И СОБСТВЕННЫЕЗНАЧЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИНОсновные формулы• Задача на собственные функции и собственные значения оператораÂψ = Aψ.• Скалярное произведение функцийZhf1|f2i = f1∗f2 dV.(5.1)(5.2)• Нормировка собственных функций (дискретный спектр)hψm|ψni = δmn.(5.3)• Разложение волновой функции по собственным функциям динамической переменной (дискретный спектр)XXΨ(~r, t) =an(t)ψn(~r),|an(t)|2 = 1.(5.4)nn• Формула для среднего значения динамической переменнойXthAi =An|an(t)|2.(5.5)n• Разложение произвольной волновой функции по собственнымфункциям физической величины, обладающей непрерывным спектромZΨ(~r, t) = aA(t)ψA(~r ) dA,(5.6)где27ZaA(t) = hψA|Ψ(t)i ≡ψA∗ (~r )Ψ(~r, t) dV.(5.7)• Среднее значение физической величины (непрерывныйспектр)ZZhÂit = A|aA(t)|2 dA,|aA(t)|2 dA = 1.(5.8)• Нормировка собственных функций непрерывного спектра надельта-функцию0hψA|ψA0 i = δ(A − A ).• Интегральное представление дельта-функции1δ(x − x0) =2π(5.9)Z+∞ei(x − x0)ω dω.(5.10)−∞• Основные свойства дельта-функцииZ+∞f (x)δ(x − x0) dx = f (x0),−∞δ(ax) =Z+∞δ(x) dx = 1,δ(x) = δ(−x),−∞1δ(x),|a|Z+∞δ(x − y)δ(y − z) dy = δ(x − z).(5.11)−∞• Нормированные на дельта-функцию собственные функцииоператора импульса1ei~p · ~r/~.(5.12)3/2(2π~)Примеры решения задачЗадачаНайти собственные функции и собственные значения операторапроекции импульсаψp~ (~r ) =28d,dxпри одномерном движении, если собственные функции удовлетворяют условию периодичности с периодом Lp̂x = −i~ψ(x) = ψ(x + L),L = const.РешениеСформулируем задачу на собственные функции и собственныезначения для оператора p̂x:p̂xψ(x) = λψ(x),где ψ(x) — собственные функции, а λ — собственные значенияоператора p̂x.
В явном виде задача имеет видdψ(x) = λψ(x).dxДля решения полученного дифференциального уравнения проведем разделение переменных и проинтегрируем. В результате получаемψλλln= i x,ψ(x) = ψ0 exp i x ,ψ0~~где ψ0 — произвольная постоянная интегрирования. Для нахождения собственных значений используем условие периодичностиψ(x) = ψ(x + L), которое для найденных собственных функцийпринимает видλλψ0 exp i x = ψ0 exp i (x + L) .~~Отсюда следует, что exp{iλL/~} = 1. Решением этого уравненияявляется λL/~ = 2πn, где n = 0, ±1, ±2, ....
Отсюда получаемискомый спектр собственных значений λn = 2π~n/L. Запишемокончательные выражения для собственных функций и собственных значений оператора импульса−i~λnψn(x) = ψ0 exp i x ,~λn =292π~n,Ln = 0, ±1, ±2, ....Задачи5.1. Доказать следующие свойства скалярного произведенияфункцийhF1|F2i∗ = hF2|F1i,hc1F1 + c2F2|F i = c∗1 hF1|F i + c∗2 hF2|F i,hF |c1F1 + c2F2i = c1hF |F1i + c2hF |F2i,где c1 и c2 — произвольные комплексные числа.5.2. Кратность вырождения некоторого собственного значенияфизической величины равна двум, то есть ему соответствуют двелинейно независимые собственные функции ϕ1 и ϕ2, каждая изкоторых нормирована на единицу.
Эти функции не ортогональныдруг к другу:Zc = ϕ∗1 ϕ2 dV 6= 0.Проверить, что линейные комбинации ∗1ccψ1 = pϕ1 + ϕ2 , ψ 2 = p− ϕ 1 + ϕ2|c||c|2(1 + |c|)2(1 + |c|)нормированы на единицу и ортогональны друг к другу.5.3. Доказать, что общее решение уравнения для собственныхфункций оператора p̂x1−i~имеет вид∂ψ= px ψ∂xψpx (~r ) = eipxx/~Φ(y, z),где Φ(y, z) — произвольная функция.5.4. Рассмотреть уравнения для собственных функций операторов p̂y и p̂z (аналогично предыдущей задаче) и показать, что собственная функция импульса частицы, соответствующая собственному значению p~ = {px, py , pz }, дается формулой (5.12).305.5.
Рассматривая стационарное уравнение Шредингера Ĥψ =Eψ как уравнение на собственные функции и собственные значения энергии, найти нормированные собственные функции и собственные значения энергии частицы с массой m в одномернойпотенциальной яме с бесконечно высокими стенками (0 < x <l). Считать,что собственные функции удовлетворяют граничнымусловиям ψ(0) = ψ(l) = r0.2πnxπ 2~2 2Ответ:ψn(x) =sin;En =n;n =ll2ml21, 2, 3, ....5.6. Показать, что в сферической системе координат (r, ϑ, ϕ)оператор проекции момента импульса L̂z имеет вид L̂z = −i~∂/∂ϕ.Найти нормированные собственные функции и собственные значения этого оператора при условии, что ψ(ϕ + 2π) = ψ(ϕ).1Lz = ~m;m = 0, ±1, ±2, ....Ответ: ψm(ϕ) = √ eimϕ;2π5.7. Доказать, что собственные функции ψ1 и ψ2 эрмитова оператора Â, принадлежащие различным собственным значениям A1и A2 дискретного спектра, ортогональны.5.8.
Пусть физическая величина A имеет всего два собственныхзначения A1 6= A2. Соответствующие нормированные собственныефункции ψ1 и ψ2. В некоторый момент времени t0 частица находится в квантовом состоянииrr21Ψ(t0) = iψ1 −ψ2.33Найти средне значение hAit0 для величины A в момент времениt0 и квантовую неопределенность ∆A в этот√ момент времени.221Ответ: hAit0 = A1 + A2;∆A =|A1 − A2|.3335.9. Частица совершает одномерное движение и ее квантовоесостояние описывается волновой функцией11iΨ(x, t) = √ Ψ1(x, t) + Ψ2(x, t) − Ψ3(x, t),222где Ψ1, Ψ2, Ψ3 — нормированные на единицу полные волновыефункции трех стационарных состояний частицы с заданными31значениями энергии E1 6= E2 6= E3. Вычислить среднюю энергиючастицы и квантовую неопределенность энергии ∆E в данномсостоянии.1Ответ: hEi = (2E1 + E2 + E3);41p∆E =2(E1 − E2)2 + 2(E1 − E3)2 + (E2 − E3)2.45.10.
Волновая функция частицы в момент времени t = 0 имеетвидr !i21.Ψ(r, ϑ, ϕ, t = 0) = R(r, ϑ) − √ eiϕ + √ e−iϕ −333Про функцию R(r, ϑ) известно лишь то, что она удовлетворяетусловиюZπZ∞1r2dr |R(r, ϑ)|2 sin ϑ dϑ = .2π00Вычислить среднее значение проекции момента импульса частицыhLz i и квантовую неопределенностьr ∆Lz в этом состоянии.2Ответ: hLz i = 0;∆Lz =~.35.11.
Проверить, что нормированные волновые функции стационарных состояний частицы в одномерной яме с бесконечно высокими стенками ψn(x) удовлетворяют соотношению hψm|ψni = δmn.5.12. Пусть ψ1, ψ2, ψ3 — ортонормированные волновые функции, являющиеся собственными функциями оператора L̂. ПустьL1, L2, L3 — собственные значения оператора L̂ в этих состояниях.Найти:а) среднее значение величины L в состоянии с волновой функцией1ψ = C 2ψ1 + 3ψ2 + ψ3 ,2б) вероятность при измерении физической величины L получитьдля нее значения L1, L2, L3.3241Ответ: а) hLi = (4L1 + 9L2 + L3);53416361б) w1 = , w2 = , w3 = .5353535.13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
