11.03.04_28.03.01_12.03.02_12.05.01_fti_zadachnik_kvant_mekh (1016570), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Вывести из секулярного уравнения выражения для "расщепленных" уровней энергии.66(1)(1)(1)Ответ: ∆E1 = V11,∆E2 = V22,∆E3 = V33.∗10.11 . Рассчитать расщепление второго энергетического уровня (n = 2) атома водорода при наложении внешнего постоянногои однородного электрического поля напряженностью E~ (эффектШтарка).~ 1.Ответ: ∆E1,2 = 0, ∆E3,4 = ±3e|E|r10.12∗. Найти расщепление первого возбужденного уровня энергии плоского изотропного осциллятора с массой m (плоскость x, y- плоскость колебаний) под действием возмущения вида V (x, y) =αxy (α = const) в первом порядке теории возмущений.

Указатьправильные волновые функции нулевого приближения.α~1 (0)(1)(0)(0)Ответ: E1 = 2~ω −,ϕ1 = √ −ψ1 + ψ2 ;2mω21 (0)α~(0)(1)(0),ϕ2 = √ ψ1 + ψ2 .E2 = 2~ω +2mω210.13∗. То же, что и в предыдущей задаче, для второго воз(1)бужденного уровняэнергииосциллятора.Ответ:E1 = 3~ω −α~11 (0)1 (0)(0)(0), ϕ1 = √ ψ1 − √ ψ2 − √ ψ3 ;mω2221 (0)(1)(0)(0)E2 = 3~ω, ϕ2 = √ ψ2 − ψ3 ;2α~111(1)(0)(0)(0)(0),ϕ3 = √ ψ1 + √ ψ2 + √ ψ3 .E3 = 3~ω +mω22210.14∗. На частицу в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме (0 < x < a) наложено возмущение вида V (x) =V0 cos2(πx/a). Рассчитать изменение энергетических уровней частицы в первых двух порядках теории возмущений.Ответ: V0/4,n = 1(1);∆En =V0/2,n ≥ 2−(3/2),n = 122Vma(2)(−1),n = 2.∆En = 0 2 2 ×96π ~ 6/(n2 − 1),n ≥ 36711.СПИНОсновные формулы• Оператор спина (s = 1/2)~ˆ = ~ ~σˆS2• Матрицы Паули0 1σx =,1 0σy =0 −ii 0(11.1),σz =1 00 −1(11.2)• Коммутаторы операторов спина[Ŝx, Ŝy ] = i~Ŝz ,[Ŝz , Ŝx] = i~Ŝy ,[Ŝy , Ŝz ] = i~Ŝx.(11.3)• Оператор квадрата спинаŜ 2 = Ŝx2 + Ŝy2 + Ŝz2.(11.4)• Собственные значения оператора квадрата спина и его проекциина ось квантования (ось z)S 2 = ~2s(s + 1),Sz = ~ms,(11.5)где ms = −s, −s + 1, ..., s − 1, s.• Волновая функция частицы со спиномψ(q, t) ≡ ψ(~r, σ, t),(11.6)где σ — дискретная переменная, принимающая 2s + 1 значение(например, σ = −s, −s + 1, .

. . , s).• Условие нормировкиXZ|ψ(~r, σ, t)|2 dV = 1.(11.7)σV• Спинорное представление для волновой функции (s = 1/2)ψ1/2(~r, t)†∗∗Ψ(~r, t) =,Ψ (~r, t) = ψ1/2(~r, t) ψ−1/2(~r, t) .ψ−1/2(~r, t)(11.8)68• Условие нормировки для спинорных волновых функцийZΨ†(~r, t)Ψ(~r, t) dV = 1.(11.9)V• Правило вычисления средних в спинорном представленииZhÂit = Ψ†(~r, t)ÂΨ(~r, t) dV.(11.10)V• Оператор полного момента частицыˆ ~ˆ ~ˆJ~ = L+ S.(11.11)• Оператор квадрата полного момента частицы~ˆ~ˆ · S.Jˆ2 = Jˆx2 + Jˆy2 + Jˆz2 = L̂2 + Ŝ 2 + 2L(11.12)• Собственные значения оператора квадрата полного момента иего проекции на ось квантования (ось z)J 2 = ~2j(j + 1),Jz = ~ mj ,(11.13)1 3где j = 0, , 1, , .

. .; mj = −j, −j + 1, . . . , j − 1, j.2 2Пример решения задачиЗадачаНайти собственные значения и собственные функции оператораŜx частицы со спином s = 1/2, если в качестве оси квантованияспина выбрана ось z.РешениеПри выборе оси z в качестве оси квантования спина операторŜx имеет вид [см. формулы (11.1) и (11.2)]~ 0 1Ŝx =.2 1 0Будем использовать спинорное представление для волновой функции частицы. Тогда мы должны рассмотреть уравнение~ 0 1ϕ1ϕ1= Sx,(1)ϕ2ϕ22 1 069где Sx — искомые собственные значения, а ϕ1(~r ) и ϕ2(~r ) — поканеизвестные компоненты спиноров, играющих роль “собственныхфункций” оператора Ŝx.

Матричное уравнение (1) удобно переписать в таком виде: 0ϕ1−Sx ~/2=.(2)0ϕ2~/2 −SxИтак, мы имеем систему двух линейных однородных уравненийдля ϕ1 и ϕ2. Как известно из курса алгебры, для того, чтобы такая система имела ненулевые решения, необходимо, чтобы определитель матрицы системы был равен нулю. В данном случае этоусловие приводит к уравнениюSx2~2−= 0,4из которого находим собственные значения оператора Ŝx:~.(3)2Видим, что проекция спина на ось x квантуется точно так же, каки проекция спина на ось z.Найдем теперь спиноры Ψx↑ и Ψx↓, которые описывают, соответственно, состояния частицы с проекциями спина Sx = ~/2 иSx = −~/2. Для этого вернемся к матричному уравнению (2).

Положим сначала Sx = ~/2 и запишем систему уравнений для ϕ1 иϕ2 в развернутой форме:Sx = ±~~~~− ϕ1 + ϕ2 = 0,ϕ1 − ϕ2 = 0.2222Оба уравнения приводят к соотношению ϕ1 = ϕ2. Таким образом,спинорная волновая функция состояния частицы с Sx = ~/2 можетбыть записана в виде 11Ψx↑(~r ) = ψ↑(~r ) √,(Sx = ~/2) ,(4)12где ψ↑(~r ) — произвольная функция координат; она описывает дви√жение частицы в пространстве. Мы выделили множитель 1/ 2 в70формуле (4), чтобы одновременно выполнялись условия нормировки для спинора Ψx↑ и координатной части волновой функции:ZZ†Ψx↑(~r )Ψx↑(~r ) dV = 1,|ψ↑(~r )|2 dV = 1,VVгде интегрирование ведется по области движения частицы.Спинорная волновая функция Ψx↓, которая описывает квантовое состояние частицы с проекцией спина Sx = −~/2, находится аналогичным образом.

Полагая в матричном уравнении (2)Sx = −~/2, приходим к соотношению ϕ1 = −ϕ2. Поэтому11,(Sx = −~/2) ,(5)Ψx↓(~r ) = ψ↓(~r ) √−12где ψ↓(~r ) — произвольная функция координат, нормированная наединицу.Отметим, что каждая из собственных функций (4) и (5) оператора Ŝx разбивается на произведение “координатной” волновойфункции (ψ↑(~r ) или ψ↓(~r ) ) и “спиновой” волновой функции. Рольспиновых волновых функций играют спиноры 1111χx↑ = √,χx↓ = √.(6)122 −1С другой стороны, спиноры, которые описывают состояния частицы с проекциями спина Sz = ±~/2, имеют вид (см., например,раздел 11.2. в пособии [1] или задачу 11.4.) 10χz↑ =,χz↓ =.(7)01Сравнивая (6) и (7), замечаем, что11χx↑ = √ χz↑ + √ χz↓,2211χx↓ = √ χz↑ − √ χz↓.22(8)Физический смысл этих соотношений таков: каждое из состоянийс определенным значением проекции спина Sx есть суперпозициясостояний с различными значениями проекции Sz .

Согласно71общим правилам квантовой механики, коэффициенты при χz↑и χz↓ в формулах (8) есть амплитуды вероятности для проекций спина Sz = ±~/2, а квадраты их модулей — вероятностиобнаружить то или иное значение проекции спина Sz . Обе этивероятности равны 1/2. Предположим, например, что из некоторого устройства частица выходит в состоянии χx↑, т.е. “соспином, направленным вдоль оси x”. Казалось бы, проекции спина на другие оси должны быть равны нулю — так подсказывает“здравый смысл”.

Однако первая из формул (8) говорит о том,что при измерении проекции спина частицы на ось z случайнымобразом с равными вероятностями будут получаться значенияSz = ~/2 или Sz = −~/2. Лишь среднее значение Sz по большомучислу измерений будет равно нулю. Впрочем, это заключение непокажется удивительным, если вспомнить, что операторы Ŝx, Ŝy ,Ŝz не коммутируют друг с другом и, следовательно, проекцииспина на разные оси не могут иметь определенные значения водном и том же квантовом состоянии.Задачи11.1.

Доказать следующие свойства матриц Паули:1 0а) σx2 = σy2 = σz2 = 1̂,1̂ =,0 1б) σxσy = −σy σx,в) σxσy = σz ,σy σz = −σz σy ,σy σz = σx,σxσz = −σz σx,σz σx = σy .11.2. Используя свойства матриц Паули (см. задачу 11.1.), вывести коммутационные соотношения (11.3) для операторов проекцийспина частицы с s = 1/2.11.3. Используя коммутационные соотношения (11.3), доказать,что оператор квадрата спина Ŝ 2 коммутирует со всеми операторами проекций спина. Каковы физические следствия из этого факта?11.4. Проверить, что спинорные волновые функции 10Ψz↑(~r) = ψ↑(~r ),Ψz↓(~r ) = ψ↓(~r ),0172где ψ↑(~r) и ψ↓(~r) — произвольные функции координат, являютсясобственными функциями оператора Ŝz . Найти соответствующиесобственные значения.Ответ: Sz = ±~/2.11.5. Найти собственные значения и нормированные на единицуспинорные собственные функции оператора Ŝy частицы со спиномs = 1/2, если в качестве оси квантования спина выбрана ось z.Ответ: 11Ψy ↑(~r ) = ψ↑(~r ) √,Sy = ~/2 ,2 i11Ψy ↓(~r ) = ψ↓(~r ) √,Sy = −~/2 ,2 −iгде ψ↑(~r ) и ψ↓(~r ) — произвольные функции, нормированные наединицу в области движения частицы.11.6.

Квантовое состояние частицы с s = 1/2 описывается спинором (ось квантования спина — ось z) c1,Ψ(~r ) = ψ(~r )c2где ψ(~r ) — некоторая функция координат, нормированная на единицу в области движения частицы, c1 и c2 — комплексные числа.a) Какому условию должны удовлетворять c1 и c2, чтобы спинорная волновая функция Ψ(~r ) была нормирована на единицу?б) Выразить через c1 и c2 вероятности w↑ и w↓ значений проекции спина частицы на ось квантования Sz = ±~/2.Ответ: а) |c1|2 + |c2|2 = 1; б) w↑ = |c1|2, w↓ = |c2|2.11.7. Какими квантовыми числами характеризуется стационарное состояние частицы со спином s = 1/2 в трехмерной прямоугольной потенциальной яме? Какова в данном случае кратностьвырождения g первого возбужденного уровня энергии частицы?Ответ: {n1, n2, n3, ms}, где ni = 1, 2, ..., ms = ±1/2; g = 6.11.8.

Частица со спином s = 1/2 находится в квантовомсостоя 1нии, которое описывается спинором Ψ(~r ) = ψ(~r ), где ψ(~r) —1некоторая функция координат. Вычислить:73а) Средние значения hŜxi, hŜy i, hŜz i в этом состоянии;б) Квантовые неопределенности проекций спина частицы.Ответ:а) hŜxi = ~/2, hŜy i = hŜz i = 0;б) ∆Sx = 0, ∆Sy = ∆Sz = ~/2.11.9. Доказать коммутационные соотношения для проекций оператора полного момента (11.11):[Jˆx, Jˆy ] = i~Jˆz ,[Jˆy , Jˆz ] = i~Jˆx,[Jˆz , Jˆx] = i~Jˆy .11.10∗. С учетом релятивистских эффектов гамильтониан электрона в атоме водорода содержит дополнительный оператор, описывающий взаимодействие орбитального и спинового магнитныхмоментов электрона (так называемое “спин-орбитальное взаимодействие”). Этот оператор имеет видqe2ˆˆ~ ,~ ·LSŴсп-орб =2232me c rpгде r = x2 + y 2 + z 2, qe = e2/4πε0, c — скорость света, me —масса электрона.

Показать, что в сферической системе координат любая волновая функция стационарного состояния электронаψ(r, ϑ, ϕ, σ) (σ — дискретная спиновая переменная) с учетом спинорбитального взаимодействия имеет видψ(r, ϑ, ϕ, σ) = R(r) ψljm (ϑ, ϕ, σ),jгде ψljm (ϑ, ϕ, σ) — собственная функция операторов L̂2, Jˆ2 и Jˆz .jВывести дифференциальное уравнение для радиальной части волновой функции R(r).11.11∗. Нейтральная частица с массой m и спином s = 1/2 движется в магнитном поле.

Характеристики

Список файлов учебной работы