Глава V. Ламинарный конвективный теплообмен (1013635), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Уравнения (5.100) и (5.101) справедливы при больших и малых скоростях. Если число Рг ~ 1, то в эти уравнения необходимо внести поправки. Аппроксимируя расчеты, проведенные на пластине при Рг ~ 1, получаем уравнение 5.11. ТЕПЛООБМЕН ПРИ ТЕЧЕНИИ ВДОЛЬ ПЛОСКОА ПЛАСТИНЫ Рассмотрим простейший случай течения вдоль плоской пластины, когда скорость и давление потока вне пограничного слоя постоянны.
Зтот случай имеет большое практическое значение. При обтекании боковой поверхности корпуса летательного аппарата поверхности крыла сверхзвуковым потоком и в ряде других случаев изменение давления незначительна и для расчета теплообмена можно использовать формулы, полученные для пластины. Рассмотрим пластину (см. рис. 5.1). Параметры течения вне пограничного слоя и, = и,; р„ = р„; Т, =- Т,.
Уравнения пограничного слоя имеют вид (5.14)...(5.16) при «1р/йх = О. Для определения теплового потока будем использовать соотношение (5.99) и соответственно (5. 104) Поскольку ' = / (М, Рг), общий вид критериальных т„„— Т,„ зависимостей (5.31)...(5.32) остается без изменения. Однако на пластине нельзя указать характерный размер 1, входящий в определяющие критерии подобия. Действительно, тепловой поток в какой-либо точке пластины не должен зависеть от изменения общей длины пластины 1.
Это связано с тем, что вверх по потоку в направлении уменьшения х влияние длины пластины через тонкий пограничный слой, описываемый дифференциальными уравнениями параболического типа, передаваться не может. Физически точки, лежащие ниже по потоку, оказывают влияние на точки вверх по потоку, однако оно заметно только на расстоянии порядка толщины слоя б. Поэтому пластину длиной 1 можно рассматривать как полубесконечную. Отсюда следует, что в критериальных зависимостях (5.31), (5.32) необходимо отыскать такую комбинацию переменных, при которой выпадает длина 1. Исходя вз этого, получаем условие 14пф Ге (х/1) пз и Сф Ке (х/1) ы', и критериальные зависимости для течения на пластине приобретают вид 14п,/ яе„= /,(Мм Ргм Т /Т„й, п„п,), (5.105) Сг ф' Ке„= /, (Мм Рг„Т„/Т„й, п„п,), (5.106) где )Чц = ах/Х,; це„= 1ч Аналогично можно получить выражение для размера пограничнбго слоя, например для его толщины: — Р' це = /, (М„Рг, Т„/Тм й, п1, п,).
(5.107) 134 Для любой точки х пластины при ламинарном режиме а 17 ~ х, т 17 ' х, 6 1' х, о 17 ' х. На, я р,и ср (Г, — Гщ) (5.108) Та = Т~ (1 + г 2 Мт) = Т1(1+г1в)р ' (5.109) где Ь вЂ” 1 м= — М, 2 (5.110) „з т = 1(О1) )'ц' (5.111) В этих формулах остаются неизвестными численныезначения комплексов !Чн 7 ~йе и (С1) )/ йе, являюгциеся функциями определяющих критериев подобия М„Рг, Т„7Т„Й, п„п,.
Внд этих функций может быть получен на основании решения уравнений (5.14).. (5.17) или из экспериментов. 5.12. РАСЧЕТ ТЕПЛООБМЕНА В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ НА ПЛАСТИНЕ Уравнения пограничного слоя в частных производных для пластины могут быть преобразованы в систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Такая возможность связана с тем, что профили скорости и температуры в разных сечениях подобны друг другу в переменных у/6, или с учетом уравнения (5.107) имеет место условие и7и, = и (т1) и Т7Т = Т (и), где и = р х 1 яр~ . и х 2 р,х ' 6 Уравнения пограничного слоя (5.14)...(5.17) с учетом условия "Р7пх = О, справедливого при обтекании плоской пластины, 135 Из формулы (5.105) следует очень важный вывод, что в любой точке пластины отношение )чц„ф Ке„постоянно.
Поэтому, при расчете теплообмена целесообразно не рассматривать отдельно критерии подобия )Чц„и Ке„, а использовать новый комбиниро ванный критерий !Чц„1г' Ке„, что и будет вами сделано при расчете теплообмена. Отнеся физические параметры р, р, Х к условиям при температуре стенки Т„, получаем расчетные формулы: з после перехода от независимых переменных х, у к переменным х, г1 приводятся к виду / о — ~ ~ рй е(г)) й' =-: (рй')', о (5.112) — '(1вввз~)т = (з т)',-ЗЗеГЗз — цззг б (5.113) Здесь Т' =- йТ/йпб и' = — йи/йт1; р = р/р,; г — =(й — 1)М,; о! г.
— 1з орте Обозначая ) рийг1 = — У; и' = т; Т' =з/, получаем систему пяти о обыкновенных уравнений первого порядка й' == т; )ог' == ри; (йт)' = — тЯ7; Т = з/; ~ ° !' =- т в! й — г г Рг (5. 114) РиФзозз Орв — з вз) гто (5.115) 1 Йевз Средний тепловой поток на пластине длиной х определяется по фоРмУле з/вр = 1/х 1з зтзвегх = 2з/~, а полное количество тепла„пеРео данное стенке с шириной, равной единице, — по формуле Я =з/, х= 2д„х. (5.115) Коэффициент К вЂ” фактор, учитывающий влияние сжимаемости: К=/(ог, Т/Тг, пг, и,). 1Зб с граничными условиями: при у =- 0 й = йг = О, Т == Т„; при у- ой- 1, Т- 1.
Система (5.14) может быть решена с помощью ЭВМ одним из стандартных методов. Результаты расчетов системы (5.114), проведенных в широком диапазоне изменения М, Т ./Т„Рг и при различных предположениях о зависимости вязкости и теплопроводности от температуры, могут быть представлены в виде Хн / ~ Ко„= 0,332 РгзгзК. Соответственно из уравнения (5.108) следует: в.-в,зззк~/ "К" .,Зт.— т.Зв;"'= гни 77(ФЕг Р РЗ) О„уз го Оба 1О ого О 1 г у 4 зг и ОО гп Рис. 5.13. Распределение безразмерной скорости и температуры в пограничном слое при различных числах з4 иа теплоизолированной поверхности Т=- т — т, из/(гор) Рис.
5.14. Зависимость гоп/()/ме,Гт"~) от М и Т„~Тз Для значения К можно предложить различные аппроксимационные зависимости. Например, используя представления о форме профиля температуры Здесь индекс а*а означает, что данная величина отнесена к максимальной температуре Тз Т (см. формулу (5.97) 1, либо Те Т, если Т„)~ Т„либо Т* Т„если оз ( 1 — Т 1Тз, При использовании понятий определяющей температуры Т1о1 — Тз + 0 5 (Т вЂ” Тз) + 0 22оз где верхний индекс ео» означает, что соответствующие величины берутся при определяющей температуре. В формулы (5.118) и (5.117) не входит в явном виде отношение температур (Т 1Тз), поэтому они пригодны при различных зависимостях физических свойств от температуры.
Если р — Т", и — Т" н Рг = сопи(, то результаты расчета хорошо аппроксимируются зависимостью и — 1 К= ( Р'"' ) (0,45+0,55 — +0,18пз Рг ) . (5118) В выражении Т, = Т, (1 + гез) в диапазоне изменения параметров воздуха коэффициент восстановления г = 0,84. Возможность подбора простых аппроксимирующих формул ~~яаана с относительно слабым влиянием М и Т 1Тз на теплоотдачу итрение. В частности, если и = 1 и р 1)Т, то К = 1 и влияние сжимаемости на теплообмен на пластине исчезает. Профили скорости и температуры и толщина пограничного слоа существенно зависят от значений М и Т 1Тз.
На рис. 5.13 137 приведены результаты расчетов для теплоизолированной поверхности при различных М и п = 0,75, Рг = 1. По оси ординат отложена безразмерная координата т) = — )У це„. Как видно, при увех личении М толщина пограничного слоя растет, а профили скорости становятся более прямыми. На рис. 5.14 представлены кривые зависимости 21чц/(3~ Ке~Рг'~') от М и Т /Т, при п = 0,5. блз. РАСЧЕТ ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ПЕРЕМЕННОМ ДАВЛЕНИИ ВНЕ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ В общем случае произвольного распределения давления вне пограничного слоя для расчета теплообмена необходимо решить систему ураввеннй пограничного слоя в частных производных.
В настоящее время разработан ряд эффективных численных методов решения такой системы на быстродействующих вычислительных машинах. Наряду с разработкой общих методов расчета теплообмена при произвольном распределении давления возможны решения в некоторых важных частных случаях распределения скорости вне пограничного слоя путем преобразования системы уравнений (5.14)...(5.17) в систему обыкновенных дифференциальных уравнений.
Такие решения называются подобными. Распределение скорости вне пограничного слоя зависит от конкретной формы тела и условий его обтекания и может быть самым различным (рис. 5.15, 5.16). Если скорость потока вне пограничного слоя в несжимаемой жидкости изменяется по закону ит = ))х", где х — расстояние от начала развития пограничного слоя, то при введении специальных переменных система (5.14)... (5.!7) может быть преобразована в систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Это является справедливым, если значения скорости ит существенно меньше скорости звука (М, = ит/ат « « 1).
Рассмотрим случай, когда жидкость можно считать несжимаемой: р = сопз1, ср — — сопз1, т = р/р = сопз1, Рг = = сопз( и М, <1. Рис. 5.!5. Схема обтекаиия сферы сверхзвуковым потоком; т — ударная волна; т кркткчеекая точка и — и Рис. 5.15. Кривая рас. пределеяия скорости в до. звуковой часты сопла Уравнение Бернулли для струйки тока вне пограничного слоя имеет вид Рхи~ дх = — д ди1 ду1 (5.120) Тогда дифференциальные уравнения пограничного слоя в рассматриваемом случае принимают вид ди ди д'и ди, и — +и — =т —,+и,— '; дх ду ду' дх ' (5.121) дТ дТ и д*Т и — +и — = — —; дх+ ду Ргду' ' (5.122) (5.
123) ди ди — + — = О. дх ду При переходе к переменной ф уравнение неразрывности выполняетг31 аналогично. Вйберем некоторый характерный масштаб пограничного слоя 5 (х), не уточняя пока его форму, и введем безразмерные параметры т(=-у/5; й=и/и,; 6=(Т вЂ” Т )/(Т,— Т); / = ф/(и,5). (5.125) Распределения и в различных сечениях будут подобными, т, е. отличающимися друг от друга только характерными для данного сечения масштабами скорости и длины, если функции й и / зависят только от координаты г1.
Аналогично функция 6 тоже должна зависеть только от т1. При переходе к новым переменным уравнение (5.121) примет вид где штрих означает производную по х, а точка — по г1. Для того чтобы решения этого уравнения были подобными, величины и',5'/т и и,5'5/т должны быть произвольными константами. Поставим условие, что коэффициент при // равняется единице. В результате имеем дифференциальное уравнение и,5' + и,5 5 = '= т, решая которое с учетом того, что и, = Рх и полагая 5 (0) = = О, получим 1-т 2и (~+ 1) Р Ё+//+ — (1 — /') = О. (5.126) (5.127) 139 Для построения решения введем новую зависимую переменную ф, называемую функцией тока и заданную соотношениями и=- —; и= — —. д$, д4 (5.124) ду ' дх ' Уравнение энергии (5.122) при переходе к новым переменным примет вид Е+ Рта = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
