Глава V. Ламинарный конвективный теплообмен (1013635), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Теплообмен в этом случае определяется перепадом между температурой заторможенного потока и температурой стенки тм — т . !!4 Выражение для удельного теплового потока прн Рг = 1 можно записать по аналогии с формулой для малых скоростей: Ч =а(Тм — Т), (5.21) где коэффициент теплоотдачи а может не совпадать с его значением при малых скоростях и должен быть определен из решения уравнений пограничного слоя. Однако, поскольку главная величина, определяющая теплообмен при больших скоростях,— церепад температур торможения — выделена в виде множителя, то отличие в а при малых и больших скоростях не очень велико.
В соответствии с формулой (5.21) поток будет нагревать тело (г) > О), если Т„) Т„. Статическая температура в потоке может быть выше или ниже температуры стенки. В последнем случае нагрев будет происходить из-за преобразования кинетической энергии газа в энтальпию в пограничном слое. Подробнее это явление будет рассмотрено в равд. 5.7, б.б. ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ В ПРИМЕНЕНИИ К УРАВНЕНИЯМ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ Прежде чем перейти к рассмотрению известных решений системы уравнений (5.14) ...
(5.!7), остановимся сначала на некоторых соображениях подобия, которые должны показать, от каких безразмерных параметров зависят эти решения. Приведем уравнения к безразмерному виду, используя в качестве масштабов значения параметров газа в набегающем потоке р„р„, Х„. В качестве масштаба для продольных размеров возьмем характерный размер тела 1, для поперечных размеров— масштаб 1ф'Рее, имеющий порядок толщины слоя 6. Соответственно, для продольных скоростей используем масштаб и„, а для поперечных — и„( Рее. Масштабом температуры может служить, например, перепад (Т,„— Т ).
Уравнения в безразмерной форме будут иметь вид (ср = сопэ(): р'и', + р'о' —, = — —,+ —, ~р' —,); (5.22) дх' ду' дх' ду' ~ ду' ) ' ,дт',,дт' 1 д г,дт' дх' ду' Рг ду ~ ду' ) + " „, ~р'( — „",) +и' д~,~ (523) Граничные условия в безразмерной форме имеют вид: при у =-- 0 и —.= О, Т' = Т 7(Т,„— Тм); при у — ~- оо и'-э.
и,(и„, Т'-+-Т-,)(Т„, — Т ). (5.24) Законы изменения вязкости и теплопроводности в выражении (5 17) возьмем в простейшей форме 1г((г„= (Т77,)"Ч Х/Х = (Т(Т,) .. 116 Величина, стоящая перед квадратными скобками в уравнении (5.23), может быть представлена через известные критерии подобия: иои и' Т (ь — В м' ор (Тои Тю) орТм Тои Ти (д — !)/2!!~ + ! — Т /Т вЂ” (5.25) где л = ср/ср — показатель адиабаты. Как видно, в уравнения и в граничные условия входят безразмерные величины — определяющие критерии подобия— М = ио/аи, Рг = — р,ср/Х, Т /Т„, /о, п„п,. (5.26) Число Рейнольдса не входит непосредственно в систему (5,22) (5.24), что связано со специальным выбором масштабов для длин и скоростей в поперечном направлении так, что безразмерные значения у' =- у/1)' Ке и о' = о/ии)' Ке имеют одинаковый порядок с х' = х/1, и' = и/и„. В практических задачах требуется определить значения удельного теплового потока в стенку и напряжения трения: ' Соответствующие безразмерные критерии подобия можно представить в виде; (5.30) — р и 2 и н 2 ' дТ", г ди' Безразмерные значения ~ —,/ и ! —,/ должны быть ~ду /,=-.
~ду /,.= получены из решения системы уравнений (5.22) ... (5.23) и зависят только от определяющих параметров (5.26). Следовательно, для ламинарного течения критериальные уравнения для расчета теплообмена и трения в точках поверхности х' = х/1 имеют вид 5(ц'Ке =-/,(М, Рг, Т /Т„, й, по п„х/1)! (5.31) Сг)~ Ге =/,(М, Рг, Т /Т„, /г, и,, п„х/1). (5.32) Таким образом, при расчете ламинарного теплообмена и трения нет необходимости определять отдельно Хц и Сг, а можно вычислять комплексы !чу~ Ке и С! у'Ке и далее по значениям этих комплексов определять коэффициент теплоотдачи а и на- !!6 пряжение тРения т .
Эта особенность является общнм свойством" ламннарного течения. Если определить )Чн= —; С1==, ! йе= —, . а1 тн ннрн! р н" н рнер Используя далее условие Х„=, получаем Ргн Рнринн Р )/йе ! ! Рн (5,33) аналогично тн = — — с! )'Ъе В этих формулах значения )Чи/)~йе и С1 ~ есе представлякп собой некоторые искомые безразмерные числа, зависящие от оп. ределяющих критериев подобия в соответствии с формулами (5.3!) и (5.32), С учетом результатов, полученных в разд.
5.2, можно утверждать, что для ламинарного течения в общем случае справедливы зависимо- 6 1 н ! а ! тн ! сти— )/Йе ' нн )/Ие ' Рн"нср )/Йе риз ')/йе Рассмотрим далее безразмерное уравнение (5.23). Если отношение Т„(Т„ отлично от единицы, то, как видно из уравнения (5.25), влияние двух последних членов будет су!цественным только при большом М и пренебрежимо мало, если М -~- О.
Это согласуется со сделанным в предыдущем разделе вьшодом о том, что выделение тепла при трении н сжатии существенно только при больших значениях М. (Если Т.;'Тн .= !, то нагрев может вызываться только трением и сжатием и последние члены в уравнении (5.23) остаются конечными также и при М -+. О. Поскольку нагрев прн этом пренебрежимо мал, то этот случай имеет чисто академическое значение.) 5.6.
интеГРАльные хАРАктеРистики ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ Одной из интегральных характеристик пограничного опоя является толщина вытеснения б =~(! — — '"„) (д. (5.34) е Интегрирование от О до он означает, что значение верхнего предела интеграла превышает значение толщины слоя 6. Физнче- НТ Интегрируя обе части равенства поперек пограничного слоя от 0 до оо, получаем интегральное уравнение количества движения — (Кр,и16") + — "' Кр,и,б' = Ком, (5.40) где бее и 6* определяются выражениями (5.34) и (5.36); « ди = (р — ) . Для случая течения вдоль пластины без градиенду (а=о' та давления при тт = сопз( — (р,и,б**) = с . т ** (5.41) Сопротивление трения пластины шириной Ь, длиной ( будет равно В' = Ь ~ «„с(х = Ьр,и,б . (5.42) о Таким образом, бе е в этом случае определяет суммарное сопротивление трения.
Покажем, что этот вывод справедлив и в общем случае течения на поверхности тела с криволинейной образующей (рис. 5.5). Сопротивление тела произвольной формы складывается из сопротивления давления н сопротивления трения. Сопротивление давления при наличии пограничного слоя изменяется, во-первых, из-за оттеснения линий тока.
Однако это сопротивление не связано непосредственно с вязкими потерями и может быть компенсировано путем исправления контура тела на толщину вытеснения. Во-вторых, сопротивление давления может измениться от того, что в пристеночном слое на криволинейной поверхности инерционные центробежные силы будут различными в случае распределения скорости и плотности, соответствующих течению идеальной жидкости, и в случае распределения скорости и плотности, соответствующих пограничному слою. Это изменение давления дает вклад в потери импульса в сопле и может быть названо вязким изменением давления. Рассмотрим влияние этих факторов на примере течения в сопле, хотя выводы останутся справедливыми и для случая внешнего обтекания тела.
Пусть параметры идеального сопла (без трения) заданы: 1т'— Расход; и„р., р, — скорость, давление и плотность на срезе сопла (см. Рис. 5.5). Если контур сопла исправлен (расшиРен) на толщину вытеснения, то эти величины останутся без изменения в реальном сопле. рнс. З.о. Схема расчета потерь па тре. нне е сопле е е 119 "йг = 2и ) )г т,„соз ~р Нх — 2п ) Л (РЯ з1п <р) пх— а — 2п ~ Р,з1п~рб~Я„г(х. (5.44) о Первый член в уравнении (5.44) определяет силы трения, второй — вязкое изменение давления, третий — увеличение силы тяги из-за увеличения поверхности сопла. Для учета влияния центробежных сил инерции используем уравнение импульсов в проекции на ось у (5.45) Значение Ир/ду ( О, если ось у направлена к центру кривизны.
Если контур исправлен на толщину вытеснения, то давление р' на некоторой линии тока вие пограничного слоя одинаково в идеальном и реальном соплах, а на стенке оно различно в результате разного действия инерционных сил: У' У' (5.46) Рг=Р + ( пр. о (5.47) Отсюда р~и, ~) Ф = Рй —, Ръ и = — — 5". Йп (5.48) 120 Потери тяги в таком исправленном сопле из-за поверхностного трения и изменения сил давления х а Ф' = 2п ) Ю соз~рйх — 2а ) Р,Р з1пуйх+ о а аа + 2п ~ РЯ з1псрйх „, з где )с — радиус вращения (расстоянне по нормали от оси сопла до точек образующей); ~р — угол между касательной к образующей сопла и осью; Рг — давление на стенке сопла; индекс «ид» относится к идеальному (не исправленному на толщину вытеснения( соплу. Обозна~им Я„(х) радиус кривизны образующей исправленного сопла в меридиальной плоскости.
Так как приращение пх„связано со значением дх соотношением йх„а = дх (1 — 5*/)с„), то Далее из геометрических соображений дб' Л жп р = созф — „„, Л)с = 6'совф; (5.49) 1 Нф. — — — — = в1пф. Я„дх ' лх 'Подставляя эти значения в уравнение (5.44), получаем. Х к Я7 = 2л~Рт совфНх — 2л ) — р~Ц6 Йз1пфдх— гдф г ° ° о о к нб' г ° — 2л ) Яр1 совф — дх — 2л ~ р~ з1пфсовф.б г(х+ Ых о о х + 2л ~ рЯ з1п ф 6" Я Их. о (5.50) Подставляя в уравнение (5.50) значение Ят из равенства (5.40) и используя очевидные соотношения Иф Ии, Ыр — совф = — — з1п р и рги,— = —— Ых Их ях Ых ' имеем — 2л ~ Я вЂ”" б' соз р дх — 2л ~ Рр, — соз ф г(х— на~, г Нб~ йх 1 и„ х к — 2л ) — р,б'совфйх — 2л ) Яр16 — г(х = Г Ж~ Г ~ Фсозф ,) нх Нх о о к Л = 2л ) — (йр,и',б сов р) г(х — 2л ~ — (Яр~6 сов р) с(х.
(5.51) о о У = 2л)ф,р,и,'б," соз р, — 2лЯ,р,б,' сов р,. (5.52) Этот результат можно получить и непосредственно, сравнивая импульс в выходном сечении идеального (без трения) сопла и сопла, исправленного на толщину вытеснения, но с учетом трения. !21 Принимая в начале сопла Р = 0 и 6"а = О, имеем окончательно выражение для потери тяги, тождественно равное (5.43), доло1 Таким образом, толщина потери импульса на среде сонь ла 6„" характеризует все поою Ю терн количества движения, связанные с вязкостью и диссипапией энергии. Изменение количества движения, связанное о с уменьшением расхода через пограничный слой, характеризуется толщиной вытеснения 6; и не является потерей тяги сопла, поскольку может быть компенсировано изменением его геометр и и. В качестве интегральной характеристики теплового слоя используется толщина потери энергии 6;".
При сверхзвуковой скорости внешнего потока о аюьь ' т;-т, (5.53) Яв =- тл~ьсрТон 2пср ~ риТьл (Я + у) Ву, о масса, втекающая в сечение аЬ, причем тп,ь = ты, ьс Ьс — линия тока; ль,ь — — 2п ~ ри (К -~с у)т(у. 6 тонкого пограничного слоя утТс <( 1 и так как Т„= где тп ь— поскольку Внутри = Т,„, о ОКОНо2атЕЛЫйу ПОЛуЧаЕМ 1~ = 2тьйс,р,и,(То1 — Т ) 6„"". !22 (5.55) Эта величина характеризует количество тепла, потерянное пограничным слоем путем теплоотвода в стенку.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
