Глава V. Ламинарный конвективный теплообмен (1013635), страница 2
Текст из файла (страница 2)
(5.4) безразмерные величины. Уравнения Навье — Стокса примут вид , ди', ди' др' 1 Г д'и' д'и' Ч дх' ду' дх' Ке ~ (ду')' (дх')х (' дм, де' др' 1 Г део' д2и' ! дх' ду' ду' Ке ~ (дх')' (ду')' ~' а уравнение неразрывности ди' ди' —,+ —,' =О, дх' ду' (5.9) (5.!0) о/и, — 6/1, 110 где число Рейнольдса Ре =.
ии Оценку порядка величин начнем с уравнения неразрывности. Поскольку величина ди'/дх' имеет порядок единицы, то из уравнения (5.9) следует, что такой же порядок имеет и величина до'/ду'. Но так как толщина слоя мала и имеет порядок 6', то и поперечная скорость имеет порядок 6' и о' 6'. Отсюда получаем важнейший вывод, что в пограничном слое вертикальная составляющая скорости мала по сравнению с продольной составляющей: Толщина пограничного слоя 6, в котором проявляется вязкость обратно пропорциональна корню квадратному из чис.ла Рейнольдса: 6Д 1/) 1)се (5.! 1) Перейдем к рассмотрени!о второго уравнения системы (5.7) ...
(5.9). Порядок величин левой части не требует разьяснеиия. Порядок градиента давления пока неизвестен. В скобках в правой части уравнения можно пренебречь первым членом по сравнению со вторым. Далее, поскольку 6' 1/ ' Ке, то порядок последнего члена будет равен 6', т. е. будет таким же, как и порядок остальных членов левой части. Окончательно получаем оценку для значения др/ду др' б ду' ) (5.1 2) и перепад давлений в пограничном слое Лр — —, ' . - ...
(5.!3) бг Отсюда следует, что в принятых для пограничного слоя приближениях давление поперек слоя можно считать постоянным Р =- Р (х). Это означает, что первое уравнение системы (5.7) "гожно решать независимо от второго, а значения статического давления и его производных по х по всей толщине вагранка!ого слоя могут приниматься равными их значениям на границе слоя, е могут определяться из расчета течения идеальной жидкости. ПР'! необходимости точного определения сил давления, действующих на поверхность, следует учитывать поправку гхр. Эта !!1 Порядки величин, стоящих в левой части уравнений (5.7), следую!цие: и', ди'/дх', р'о' 1; о' — 6; ди'/ду' — 1/6; и'ди'/дх' + -1- о'ди'/ду' — 1.
Оценим величины, заключенные в скобках в уравнении (5.7). В первом уравнении дги' ! д и' — — и —,, !. (ду')' (б')' (дк')г Так как 6' мало, то величину д'и'/(дх')' можно отбросить как малую по сравнению с величиной дги'/(ду')г. Это очень важное обстоятельство, поскольку, отбросив вторую производную по одной переменной, мы изменяем характер дифференциального уравнения в частных производных. После исключения второго члена в скобках уравнения (5.7) в нем остается член, который нужно учитывать, если его порядок такой же или больше, чем порядок остальных членов.
Следовательно, влияние вязкости нужно учитывать, если — — 1, т, е. (6')' — 1/Ке. (б')г Ке поправка определяется из уравнения (5,8) при заданных значениях и, а, р. (При течении вдоль криволинейного контура, как будет показано ниже, справедлива другая оценка.) Все сделанные нами выводы остаются справедливыми и в случае течеяия сжимаемой жидкости с теплообменом. Однако при этом к системе уравнений (5.7) ... (5.9) должны быть добавлены уравнения энергии, уравнение состояния газа и законы изменения вязкости и теплопроводности от температуры. С учетом оценок, аналогичных сделанным для уравнений движения, выпишем без вывода полную систему дифференциальных уравнений пограничного слоя в сжимаемом газе: дц ди др д Г ди Х ри — + ро — =- — — + — ( р —,); дх ' ду дх ду (, ду)' — + — =0; д (ри) д (рг) дх ду (5.15) р = р)сТ; р = р (Т); 7 = )~ (Т).
(5.17) (5.14 ) Эта система ураннеиий справедлива для так называемого совершенного газа. Вязкость р и теплопроводность )' для совершенного газа являются функциями только температуры. Наиболее распространенной является формула Саттерленда.
Например, для вязкости 7 т ,м (+(т,(т*) ( т* ) (т( *)+ (т,(т ) где Т, — постоянная Саттерленда, равная для воздуха !02 К; Т*, р* — значения температуры и вязкости, соответствующие некоторому начальному состоянию. Широко применяются также и степенные формулы р/(х* = (Т(Т")" и )/)', = — (Т(Т'Уч, где п| и и, — постоянные, подбираемые для заданного диапазона изменения температуры и изменяющиеся в пределах от 0,5 до 1.
В случае течения реального газа необходимо учесть некоторые дополнительные свойства газа (иапример перемениость теплоемкости ср и газовой постоянной Ь,', зависимость р и ). от давления и ряд других физических явлений, которые будут рассмотрены позднее). Уравнение (5.14) соответствует уравнению количества движения в проекции на ось х, Члены, стоящие в левой части этого уравнения, называют конвективными членами. Уравнение неразрывности (5,16) выражает собой закон сохранения массы, Третье уравнение (5.!6) также имеет простой физический смысл, представляя собой математическое выражение закона сохранения энергии. Левая часть соответствует конвективному выносу энергии из элементарного объема. Первый член в правой части определяет подвод тепла теплопроводностью; второй член и(др(дх) 1!2 рнс, 3,2.
Схема пограничного слоя в сверхзвуковом сопле Рис. 3.3. Схема образования пограничного слоя на теле вращения с криволинейной образующей !!3 соответствует работе снл давления. Величина ГЭ = р (ди/ду)' называется иногда диссипативным членом уравнения н определяет количество тепла, выделяемое в объеме необратимым образом прн работе снл трения. Краевыми условиями являются условия прнлппання у стенки прн у = О, Т =- Т (х), и = О, и = О н условия вне слоя у -+. оо; и — з- и;, Т -з- Т,.
Для решения системы уравнений (5.14) ... (5.17) в частных производных необходимо задать также начальные значения по х. Прн х = х,; и = / (у); Т = / (у) Уравнения выписаны для течения вдоль плоской поверхности. В случае двухмерного течения вдоль искривленной стенки коорднната х направляется вдоль поверхности, а у — по нормали к ней (рнс. 5.2). Если толщина пограничного слоя 6 мала по сравнению с радиусом кривизны образующей г, то такая система коордннат будет приближенно ортогональной, н уравнения останутся без изменения. Из оценок, которые можно сделать для этого случая, следует, что др др Ран„ вЂ” — нлн др' ду г Если г' ж 1, то др'/ду' ж 1 н Лр 6/1, где ! — продольный размер тела.
Под действием центробежных снл перепад давлений в пограничном слое на теле с криволинейной образующей хотя н остается малым, но значительно больше, чем на пластине. В слу- о' чае осеснмметрнчного двухмер- д ного течения, например прн;г внешнем обтеканнн осеснмметрнчного тела н прн течении в сопле(см. рнс. 5.2, 5.3) уравнення движения н энергии остаются без изменения, а, уравнение неразрывности при 6/1х(( 1 имеет внд — (ри/х) + — (ро/с) = О.
д д (5.18) где сс' = — )к' (к) — радиус вращения, т. е. расстояние по нормали от оси тела до точек образующей. Существуют преобразования переменных, с помощью которых система уравнений пограничного слоя на осесимметричном теле приводится к виду, совпадающему с видом уравнений для плоского течения. 5.4. ВТОРАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЯ ЭНЕРГИИ Для того чтобы лучше представить физическую картину теплообмена при переходе от малых скоростей к большим, приведем уравнение энергии к новому виду.
Умножим уравнение движения (5.14) на и и сложим его с уравди д ги Х пением энергии (5.16). Будем учитывать, что и — =— дк дх ~2) Используя связь между статической температурой и температурой торможения бт, = (т+с( —,"*, 2ср ' получим вторую форму уравнения энергии: (5.19) Наиболее интересный вид это уравнение принимает при Рг =- 1, что приближенно справедливо для газов: рис + роср — — — — (Х вЂ” ) . дТо дТ, д дТ, (5.20) Полученное уравнение по виду совпадает с уравнением (5.!6) без двух последних членов, только вместо температуры газа в нем стоит температура торможения. Уравнение (5.!6) без двух последних членов соответствует случаю течения при малых зна- чениях М, когда можно пренебрегать выделением тепла от трения и сжатия. Теплообмен при этом происходит только из-за разности между статической температурой потока и температурой стенки.
При малых скоростях потока мы использовали понятие коэф- фициента теплоотдачи, записывая выражение для теплового по- тока в виде д =- а (҄— Тм). Здесь отражен тот факт, что теп- ловой поток тела тем больше, чем больше перепад статических температур потока и стенки, При больших скоростях (при Рг = 1) уравнение энергии (5.20) сохраняет такой же вид, как и при малых скоростях, но вместо температуры газа в нем стоит температура его торможе- ния.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
