Глава V. Ламинарный конвективный теплообмен (1013635), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Для пояснения физического смысла этой величины рассмотрим интегральное уравнение энергии. Рассмотрим осесимметрнчное обтекание некоторого тела, температура которого поддерживается постоянной и равной Т . Выделим контур аЬсь( (рис. 5.6), где линия Ьс совпадает с линией тока, а точка с находится вне пограничного слоя. Примем, что на тело набегает поток с параметрами и„, Т,„, р„. В сечении сь( параметры потока вне пограничного слоя р„и„Тм.
Из условия баланса энергии тепловой поток, уходящий в стенку, Из соотношения 9 =) 2л)7д„е(х следует, что а 1 Щ, Ч 2лл дх ' (5.56) После дифференцирования уравнения (5.55) с учетом равенства (5 55) получаем интегральное уравнение энергии — (рхсрр,ц (Тм — Т„) 6,'*) = 77ц,„. дх а.7. теплООБмен пРИ мАлых СкОРОстях В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ Рассмотрим сначала случай, когда жидкость можно считать несжимаемой: р = сопз1, ср — — сопз1, р = сопз1, Л = =-сопз1 и М( 1. Дифференциальные уравнения (5.22) и (5.23) при этом получают вид (штрихи над обозначениями отброшены) де ди др де и и — +о — = — — + —; дх ду дх дук' (5.58) и д +цд и (д )' ' (5.59) дТ дТ и д'Т а уравнение неразрывности ди де — + — = О.
дк ду Тепловой поток и напряжение трения определяются формулами (6.27) н (5,.28): д~ = Л(Тд — Т ) ~ — ) —; (5.51) гдТ х 3/Ге . и ~ду)у е (5.62) 123 Из этого уравнения видно, что толщина потери энергии пропорциональна полному количеству тепла, отданному потоком в стенку на участке от начала развития пограничного слоя до рассматриваеыого сечения, вне зависимости от распределения давления. Уравнения (5.40) и (5.57) для определения толщины потери импульса и энергии являюТся вполне строгими.
Однако оии не являются замкнутыми, поскольку для их решения необходимо иметь связь между т и 6", д и 6 и между 6*" и 6е. Благодаря тому, что уравнения (5.40) и (5.57) не зависят от режима течения в пограничном слое и их порядок ниже, чем порядок дифференциальных уравнений (5.14)...(5.15), они с успехом используются в приближенных расчетах и при обработке экспериментальных данных. Используя формулу Ньютона, получаем д„= а(Т, — Т„) и а = Х ( — ) Граничными условиями системы (5.58)...(5.60) будут прн у:=0 и=О, о==О, Т=-Т; (5.63) при у — ос и — и„Т вЂ” Т,.
Рассмотрим применение интегральных уравнений для расчета теплообмена в простейшем случае течения — вдоль плоской пластины (др7г(х = О). (Строгий метод решения системы дифференциальных уравнений пограничного слоя для пластины будет рассмотрен в равд. 5.11.) Интегральные соотношения имеют вид (5.64) П~ раз 1 (5.65) Ых сари~(Г~ — Тщ) Выберем подходящие выражения для распределения скорости и температуры таким образом, чтобы они удовлетворяли важнейшим граничным условиям и, кроме того, содержали два свободных параметра, которые могли бы быть"' определены из уравнений (5. 64) и (5. 65) . Примем (5.66) (5.67) Здесь принято, что профили скорости и соответственно температуры в различных сечениях отличаются только масштабом координат и что вид функций 1 (г1) и ~, (~1,) не зависит от х.
Следствием принятого условия, обоснованного в разд. 5.10, является также то, что отношение й = 6,/6 = сопз1. Результаты расчета будут тем точнее, чем ближе выбранные профили будут совпадать с истинными. Выберем вид функций таким образом, чтобы удовлетворить граничным условиям (5.63) и дополнительно дифференциальным уравнениям (5.58)...(5.59) 'при у == 0 — (д'и/ду')а а и (д'Т/дх'), е = О. На внешней границе у — со примем условие плавности сопряжения профилей скорости и температуры с их значениями вне 124 = ао + аЛ + аз но + аоп' о1 = Ьо .+ 5~ ц1 + Ь,п1 + Ь т)зн 1 — ю (5.
69) Для определения коэффициентов ао и Ь; используем восемь условий на границах, оставив значения 6 и 6, свободными параметрами. Тогда получаем (5.70) (5.71) Толщина потери энергии может быть представлена в виде от т — т о 3( 2 б 2 (б)1( 2 бт+ 2 (бт) ) о Если з не сильно отличается от единицы, то, интегрируя, полу- чаем (5.72) Соответственно толщина потери импульса боо = 6 —; 230 ' (5.73) напряжение трения на стенке (5.74) тепловой поток в стенку ~дт ) 3 1 Т1 — Ти 3 ) То — тв (575) ду 1у=о 2 бт 2 $ б Подставляя выражения (5.72) и (5.73) в интегральное уравнение импульса, имеем (5.76) ра1 6 =4,64 1~ ° 1 ри, (5.77) 123 пограничного слоя. Аппраксимируем функции 7' и ~, повииомами третьей степени: (5,68) (5.78) Пренебрегая вторым членом в правой части, найдем 1 з 'Рг Подставляя равенства (5.77) и (5.81) в выражение (5.75), имеем выражение для теплового потока — 'г' Ке = 0,323 Рг ", (5. 82) ри,ср или, сравнивая с выражением (5.78), (5 83) 'г' Йе (5.81) где С„= Чм и коэффициент трения С! =-- —, 2тм срри, (тз — Тм) р) Точные решения для этого случая дают другой численный коэффициент Сн = — С1Рг ' =- — '='Рг 1 з,з 0,332 — згз (5.84) 2 )Ура При значении Рг = 1 уравнение (5.84) переходит в уравнение гидродинамической аналогии между трением и теплообменом.
Для этого случая справедливо также условие (5.85) в чем легко убедиться, подставляя значение Т из условия (5.85) в уравнение (5.59) и граничные условия (5.63), которые становятся тождествепнымн с уравнением (5.58) н соответствующими граничными условиями. Аналогично может быть получена формула для расчета тепло- обмена на пластине, имеющей переменную температур у стенки. Простейшим случаем является ступенчатое изменение темпера- Рнс. 3.7. Схема разнитии пограничного слоя на пластике соетуиеие ио» температуры 12б Отсюда напряжение трения на стенке )/Ке = 0,323.
ри'! Подставляя выражения (5.72) и (5.75) в интегральное уравнение энергии (5.бо), получаем (при $ = сопя!) (5.79) Разделив почленно левую и правую части уравнения (5.79) на уравнение (5.76), имеем 14 з 1 — „= — à — — $'. Рг 13 13 (5.80) (5.86) О 323Рг 'у' Ге= ., ' (Т,— Т„).. (5.87) Ро~о~р у' 1 (х (х)о1о Поскольку задача решалась в рамках несжимаемой жидкости, то распределение температуры не оказывает обратного влияния на распределение скорости, т. е, решение уравнения (5.64) не зависит от решения уравнения (5.65); напряжение трения при этом может по-прежнему рассчитываться по формуле (5,78).
Используя линейность дифференциального уравнения энергии в несжимаемой жидкости, полученный результат легко распространить на случай, когда температура пластины изменяется ступенчато на величингя ДТ., ДТ., Дт.о, ", ДТ-о в точках х1, хо, х„ ..., х,. Тепловой поток в стенку может быть представлен как сумма о — ~ аоДТ „ ! где ~ — иоо' ' ооы* рассчитываются для каждого ~'-го участка в предположении, что тепловой слой начинается в точке х,.
В.В. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ И СКОРОСТИ Б ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ ПРИ БОЛЪШИХ СКОРОСТЯХ ПОТОКА Рассмотрим в качестве примера течение вдоль плоской пластины. При этом о1р/отх = О н вне пограничного слоя и, = = сопз1, Т, = сопз1 (а следовательно, и Т„= сопз1). Если число Рг = 1 н ср — — сопз1, то'уравнения движения (5.14) для пластины и энергии в форме (5.20) примут вид: ди ди д Г ди т ри — + рп — = — (р — ); дх ду ду(, ду)' (5.89) дТо дТо д Г дТо т рц о +ро о р дх ду ду 1 ду ) ' (5.90) 127 турьи когда передняя часть пластины длиной х, имеет температуру, равную температуре внешнего потока Т„а на остальной части пластины при х)хо поддерживается при температуре Т (рис. 5 7).
При этом на передней части пластины отсутствует теплообмен, динамический пограничный слой развивается от точки х = О, а тепловой — от точки х = х,. Отношение толщин слоев =-6,76 будет являться функцией х/хо. Решение уравнений (5.64) и (5.65) дает для этого случая Граничные условия: при у = 0 и = О, Т, = Т; у- оо и — ~ иы Те Тем Уравнения (5.89) и (5.90) аналогичны по форме. Легко показать, что условие (т, — т„) (тег — т ) = и1и (5.91) является решением уравнения (5.90). Действительно, если опре- делить Т Тут ма и Тт, Т Тмд Т Тм, Рис.
8.8. Кривые распределения скорости и температуры в пограничном слое при М~1: >от — а сов — а о Рис. 8.9. Кривые распределения температуры в пограничном слое при М> 1: т — ем>о; а — е о; а— е„< о 128 и Те= я (Таг — Тм)+ ~м "1 и подставить в уравнение (5.90), то уравнение (5.90) и граничное условие для температуры торможения станут тождественны уравнению (5.89) с соответствующим граничным условием. Следовательно, в этом случае справедливо условие подобия профилей скорости и температуры торможения (5.91).
Полученное математическое условие имеет физический смысл и является следствием того, что перенос количества движения и энергии при Рг = 1 происходит с помощью одинаковых молекулярных процессов. При малых скоростях Т, = Т и, следовательно, профили скорости и статической температуры подобны: (Т вЂ” Т„)~(т, — Т ) = = и/и,. Распределения скорости и температуры при малых скоростях потока, когда энтальпия газа значительно больше кинетической энергии (М 1), представлены на рнс.
5.8. Как видно, при приближении к стенке значения температуры газа в пограничном слое монотонно стремятся к значению, равному температуре стенки. При больших скоростях потока (М )) 1) монотонным будет только изменение температуры торможения. Распределение статической температуры из-за выделения тепла при торможении газа в пограничном слое может иметь другой внд, зависящий от за- дания условий теплообмена на стенке. На рис. 5.9 показан при- мерный вид кривых. Для исследования этих иривых рассмотрим некоторые частные случаи. 5.8.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
