Глава V. Ламинарный конвективный теплообмен (1013635), страница 7
Текст из файла (страница 7)
(5. 128) При этом мы приняли допущение, что Т и Т, не зависят от координаты х. Уравнения (5.!27) н (5.128) решаются с граничными условиями: при г) = 0 ) = г = О, 9 = 0; при г) — оо г — 1, 9 — 1. Это следует из условий (5.63). Уравнение (5.127) интегрируется численно. Прн заданной функции )' (г)) уравнение (5.128) решается аналитически ч ~ егр ~Рг ~ 1 (г) ~)г1 йг о ~ егр ~ — Рг ~ / (г) Нг о ). о (5. 1 29) (5. 130) д„=),.(~) ='"' * " Е(О). (5.131) Величина )' (0) зависит от т, а 0 (0) от т и Рг. Рассмотрим некоторые примеры течений.
1. Плоская пластина. В этом случае () = гг„т = О. Тогда из (5.126), (5.130) и (5.131) следует: 5(х)= ~/ р; ч = ~/ —" 7. = 1г — — — (т, — т.). риги 0 (О) )l2 При лг = 0 г' (0) = 0,4696, а функция критерия Рг -и О (0) хорошо аппрокснмируется зависимостью 9 (0) = 0,4696Рг' з. С учетом этого получаем уже известные нам критериальные зависимости 1 т,и 0,4б96 г и 0,332 — с = —, 2 риг у'2 Р ри г 2. Течение в окрестности передней критической точки (см.
рис. 5.15). !40 Получив функции 1 (г)) и 9 (г)) можно определить выражения для напряжения трения т и теплового потока в стенку д,,: В этом случае т = 1, откуда 5(х) =1 и; Ф' т = )~ ррр' х! (О); (5.132) (5.133) д„= рр))Е (0) — '" (Т, — Т.). (5. 134) При т = 1 величина !'(О) равна 1,2326, а параметр 6 (О) аппроксимируется зависимостью 6 (О) = 0,57Ргз ~. (5.135) С учетом выражений (5,134) и (5.135) получаем формулы для критерия теплообмена и теплового потока: = — ~/ "- = 0,57 Ргзл; Ч~ = 0 57)~ ррР р;о,в (5.137) Мы рассмотрели плоские несжимаемые пограничные слои. В случае осесимметричного двухмерного течения уравнение неразрывности имеет иной внд (см. уравнение (5.18) ), однако путем простой замены переменных уравнения осесимметричного пограничного слоя несжимаемой жидкости сводятся к такому же виду, как уравнения (5.121)...(5.123), и решаются аналогично. Расчетные формулы для теплообмена в окрестности передней критической точки осесимметрнчного тела имеют вид: Мп„ф Ке, = 0,77 Ргз ~; (5.! 38) 4 =057 С)+0!07( т„— 1) )( .,)ы Х сз (Т,„— Т„) хУррй Рг„' " (5.140) 141 д~ = 0,77 $/рр~ с Рг-зл(Тт — Т ).
(5.139) В случае сжимаемого пограничного слоя (р Ф сонэ!, р Ф Ф сопз1, Л ~ сопз!) необходимо учитывать деформацию распределения параметров внутри слоя и, переменность произведения рр поперек пограничного слоя. Результаты численных расчетов, проведенных при различных значениях т 7Т и различных законах р (Т), хорошо аппроксимируются для плоского и осесимметРичного течений в окрестности передней критической точки следующими формулами, в которых введены поправочные множители, Учитывающие переменность рр: для плоского течения (5.1 41) Х ~1+0,16(1 + ) ( ) (5.143) Значение безразмерного градиента скорости л4 = — — должо4ио х о)х и, но определяться из газодинамического расчета.
Мы рассмотрели случай, когда значение скорости и, сущест- венно меньше скорости звука. При М, > 1 подобные решения возможны при Рг = 1 и р Т, но не в физических переменных, а в некоторых переменных, выбранных специально. 142 для осесимметричного течения д„= 0,77 Г1+ 0,074 ( Т вЂ” 1)1 ( "'Р' ) Х ср (Тоо То) Х О рюориии 06 Рг ' Значения р, р и Рг„берутся при температуре стенки 7 и давлении в передней критической точке ро1 = ро (штрихом обозначаются параметры за скачком уплотнения). Для определения параметра 1) = ( — ) воспользуемся уравнением Бернулли ~о4и, Х =(,нх/,= (5.120).
Продифференцируем (5.120) по к и учтем, что при х -~ О, и-о- О, р1 -+. ро, р~ -о. РБ Тогда имеем ~о = — й —, ро д (Р,/ро) 1 Ро З (х/До)' А'оа Так как йр,/р,' = а,', где а, — скорость звука в критической точке, то С+ ~~т (5. 142) где Со= 1 йо(р,/Р,) д (х/Ло) В случае сферического или цилиндрического затупления приближенно по теории Ньютона С' = 1 — р„/р,'. При больших значениях М„можно считать С 1.
Из формул (5.140)...(5.142) следует, что коэффициент тепло- отдачи в критической точке обратно пропорционален квадратному корню из радиуса затупления Яо. Поэтому при больших скоростях полета и соответственно больших температурах торможения радиус затупления передних кромок элементов конструкции летательных аппаратов приходится учитывать с целью уменьшения тепловых потоков. При произвольном значении т в зависимости скорости и, = = рх для критерия теплообмена в случае плоского течения с учетом сжимаемости может быть использована приближенная формула = 0,332 (т+ 1)п' Ргпз / и'Р' 1 Х 'Р'йо ( Ророо ) 5.14.
РАСЧЕТ ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОМ ПРОДОЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ДАВЛЕНИЯ (МЕТОД ЭФФЕКТИВНОЙ ДЛ ИНЫ) Одним из способов упростить уравнения пограничного слоя является переход от удовлетворения дифференциальных уравнений для каждой отдельной частицы к удовлетиорению этих уравнений в среднем по толщине пограничного слоя. При этом задача сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений по переменной х, Такие методы дают достаточную точность при расчете тепло- обмена и меньшую при расчете характеристик динамического пограничного слоя, особенно в области течения с положительными градиентами давления. В том случае, когда требуется рассчитать только тенлообмен, оказалось возможным получить еще более простые решения, используя методы эффективной длины или локального подобия.
Изложим метод эффективной длины. Тепловой поток в какой- либо точке тела определяется двумя факторами: толщиной теплового пограничного слоя и формой профиля температуры в данном сечении. При приближенном расчете целесообразно эти эффекты разделить. Зададимся формой профиля температуры в виде функции (5. 144) где (5.145) толщина потери энергии, или интегральная характеристика тол- щины пограничного слоя, входящая в равенство Вместо 6™ введем эффективную длину. Эффективной х,Ф будем называть длину плоской пластины, на которой при внешнем течении с постоянными параметрами р,и, такими же, как в рассматриваемой точке тела, нарастает такой же тепловой пограничный слой, как и на длине х рассматриваемого тела с переменными параметрами р,и, вне слоя.
В осеснмметричном случае к,,в будет д~иной цилиндра с радиусом, равным радиусу в данном сечении. Для расчета теплообмеиа можно теперь использовать формулу для пластины (5.115) Р Р (Т,— Т ) Рг — 'М (5.147) ~эф при условии, что вместо истинной длины х в ней используется эффективная х,Ф. Здесь А — поправка на переменность физических свойств 143 Ряс. 5.17. Схема расчета ааф Я = 2пйс р~и~(То~ — Т ) 6"'.
(5 148) Таким образом, толщина потери энергии определяется количеством тепла е1, ушедшим из пограничного слоя. Следовательно, для определения х,ф можно использовать условие равенства потерь тепла на эффективной пластине (или цилиндре) и рассматриваемом теле (рис.
5.17). На цилиндре с радиусом Я = сопз! общее количество тепла, ушедшее из пограничного слоя на длине х,ф, Я~ .= 2Ычхеф4ер =- 4го!ч4„хаф, (5.149) так как из уравнения (5.116) на пластине или цилиндре део = =- 27 . На рассматриваемом теле на длине х отдано количество тепла О =-2п) !гав бх. о (5.150) Сравнивая выражения (5.!49) и (5.150), имеем 2)гд х,ф — — ) )гд о(х, о а после дифференцирования по х получаем уравнение для й ления х,ф. 2 — К4 х, =.
Яд . После подстановки значения д из равенства (5.147) опреде- найдем а — 1га ' ' ь ~„р„,, (е.— еае~')= й Г но, ке = е 'г' т~ ' (т.— гаР~'. рЛем хэф Умножвя обе части уравнения на выражение, стоящее ратных скобках, получаем в правой части выражение, не 144 (5.151) в квад- завися- (формулы (5.117), (5.118) или л, „(5.119) ). Дополнительно в фор- мулу внесена поправка й, на а. влияние продольного градиента к > ч, скорости по формуле (5.! 26), где о 2т Ыи, к т+! йх иа — = 2 — —. Все величины, входящие в формулу, являются функциями х. Для определения эффективной длины используем уравнение баланса тепла.
Используя обозначение для толщины потери энергии 6ее (5.53), имеем щее от х ~. После интегрирования формула для х,Ф имеет вид ~~1~ — "1' '-- йэр игр еер (Т вЂ” Т ) Рг ~ кх 1 )кйе / (5.152) ( ) и й»р и ее (Т вЂ” Т ) Рг В числителе стоит интеграл от некоторой известной функции от х, в знаменателе — значение подынтегральной функции в данной точке. В частном случае при Т = сопз1 можно, пренебрегая переменностью величины ср (Т, — Т ), упростить формулу: р' Ке,„ к ~ риигР» йх «эф= э (5.153) рииггг~ При подстановке равенства (5.153) в выражение (5.147) формула для расчета теплообмена на теле с переменным давлением вдоль образующей имеет вид Ч„= 0,332йй, (5.154) (иеэФ) Она совпадает по виду с формулой (5.!15) для расчета тепло- обмена на пластине, только вместо значения числа Рейнольдса Ке„в данной точке в нее входит усредненное значение 1(с»Ф.
к Кеэ = —, ') )с»игр г(х. Риге (5.155) о Таким образом, учет развития потока в этом методе сводится по существу к использованию усредненного значения вместо местного. Чтобы получить формулу для плоского течения, достаточно принять !!' =- 1. Здесь й, — поправка на влияние местного градиента скорости по формуле(5.125), где 2т((т + !) = 2 (ди„/дх) Х Х (х/и,).
Формула (5.154), если в ней привять й, = 1, легко преобразуется в формулу для расчета теплообмена, получаемую по методу «локального подобия». Точность такой формулы достаточно высока при малых Т„)Т»м что имеет место, например, при обтекании тел с очень большими, гиперзвуковыми скоростями. Если Т„(Тэг не сильно отличается от единицы или если температура стенки переменна, то ббльшую точность дадут формулы (5.152) и (5.147). З.15. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ТЕЧЕНИЯ И ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА Рассмотрим применение формулы (5.153) в некоторых частных случаях. 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
