11.03.04_28.03.01_12.03.02_12.05.01_fti_zadachnik_kvant_mekh (Методические документы), страница 6

Для первого возбужденного состояния найти наиболее вероятное значение rвер, а также вероятность нахождения частицы вобласти r < rвер.1sin(πnr/r0);n = 1, 2, 3, ....Ответ: ψn(r) = ± √·r2πr0Для n = 2: rвер = r0/4, w2 = 1/4.6.13∗. Частица с массой m движется в сферически симметричной потенциальной яме. Найти энергетические уровни и волновыефункции стационарных состояний в потенциальной яме конечнойглубины:0,r < a,U (r) =U0 ,r > a,где U0 > 0. Ограничиться исследованием случая стационарныхсостояний, в которых волновая функция зависит только от радиальной переменной r.

Считать, что энергия частицы меньшеглубины ямы E < U0.Указание: Использовать подстановку ψ(r) = χ(r)/r и исследовать графически полученные уравнения.406.14. Осциллятор с массой m находится в стационарном состоянии с n = 1. Изобразить примерный вид ψ1(x) и плотностивероятности |ψ1(x)|2. В каких точках плотность вероятности максимальна?r~Ответ: x = ±.mω6.15. Одномерный осциллятор с массой m находится в стационарном состоянии с n = 2. Изобразить примерный вид ψ2(x) иплотности вероятности |ψ2(x)|2.

В каких точках плотность вероятности максимальна?r5~Ответ: x = 0; ±.2mω6.16∗. Частица с массой m движется в трехмерном потенциальном полеkk = const.U (x, y, z) = (x2 + y 2 + z 2),2а) Найти собственные значения энергии частицы и волновые функции стационарных состояний (используя декартову систему координат). Найти кратность N вырождения n — го энергетическогоуровня.3Ответ: En1n2n3 = ~ω(n1 + n2 + n3 + ),2rkn1, n2, n3 = 0, 1, 2, ...; ω =; n1, n2, n3 = 1, 2, 3...m mω 3/4−1/2ψn1n2n3 (x, y, z) =2n1+n2+n3 n1!n2!n3!π~mω 2−(x + y 2 + z 2)e 2~× r r rmωmωmω×Hn1 xHn2 yHn3 z;~~~(n + 1)(n + 2)N=.2б) Проверить, что в данном случае L̂2 и L̂z коммутируют с гамильтонианом частицы.в) Записать стационарное уравнение Шредингера в сферическойсистеме координат. Найти значения энергии и волновые функции41стационарных состояний частицы, в которых волновая функциязависит только от радиальной переменной r.6.17∗.

Найти уровни энергии и волновые функции стационарных состояний одномерного гармонического осциллятора с массой~m и зарядом e, помещенного в постоянное электрическое поле E,направленное вдоль оси колебаний.eEУказание: Сделать замену переменной z = x −, где ω —mω 2частота колебаний осциллятора.eE1 e2E 21;ψ(z)=ψ(x−)—−Ответ: En = ~ω n +nn22 mω 2mω 2известные волновые функции стационарного состояния гармонического осциллятора при E~ = 0.6.18∗.

Найти энергетический спектр и нормированные волновые функции стационарных состояний одномерного гармонического осциллятора с массой m в импульсном представлении, исходяиз решения уравнения Шредингера в этом представлении.2pexp[−p /2mω~]Ответ: Φn(p) = pHn √; En = ~ω(n +√nmω~2 n! πmω~1/2); n = 0, 1, 2, ....7.ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕРОсновные формулы• Плотность тока вероятности~j = ~ (ψ ∗∇ψ − ψ∇ψ ∗) , (m — масса частицы)2im• Коэффициент прохождения (прозрачности) jпрош .D = jпад • Коэффициент отражения jотр .R = jпад 42(7.1)(7.2)(7.3)• Связь между коэффициентами прохождения и отраженияD + R = 1.(7.4)• Коэффициент прозрачности барьера произвольной формыU (x) в квазиклассическом приближении:n 2 Z x2 poD ≈ exp −2m[U (x) − E] dx ,U (x1) = U (x2) = E.~ x1(7.5)Примеры решения задачЗадачаНайти коэффициент прохождения для одномерного потенциального барьера прямоугольной формы шириной a, расположенногов области 0 < x < a, и высотой U0 при условии, что энергия налетающей частицы меньше высоты барьера, E < U0.

Считать, чтодлина волны де Бройля частицы гораздо меньше толщины барьера a.РешениеПусть, для определенности, частица движется в положительномнаправлении оси x. Волна де Бройля, соответствующая движущейся частице, частично отразится от барьера, частично пройдетсквозь него и будет распространяться в область x > a. Запишемуравнения Шредингера и их решения для каждой из областей пространства, естественных для данной задачи:~2 00001.

x < 0,− ψ1 = Eψ1,ψ1 + k 2ψ1 = 0,2m√2mEψ1(x) = A1eikx + B1e−ikx,k=.~Здесь первое слагаемое соответствует падающей волне, а второе— отраженной.~2 00002. 0 < x < a,− ψ2 + U0ψ2 = Eψ2,ψ2 − κ 2ψ2 = 0,2mp2m(U0 − E)ψ2(x) = A2e−κx + B2eκx,κ=.~433. x > a,~2 00− ψ3 = Eψ3,2m00ψ3 + k 2ψ3 = 0,√2mE.~Здесь первое слагаемое соответствует прошедшей волне,а второе слагаемое - отраженной волне. Ясно, что в области x > aвторое слагаемое должно быть равно нулю (оно описывает волну,соответствующую частице, летящей из бесконечности к барьеру).Поэтому B3 = 0.Теперь, используя формулу (7.1) для плотности тока вероятности и (7.2) для коэффициента прохождения, получимψ3(x) = A3eik(x − a) + B3e−ik(x − a),k=|A3|2D=.|A1|2Для нахождения отношения модулей амплитуд прошедшей и падающей волн используем граничные условия для волновой функции, которые заключаются в непрерывности волновой функции иее первых производных на границах раздела областей.

Эта процедура часто называется сшиванием решений на границах. Награнице x = 0 имеемA1 + B1 = A2 + B2ψ1(0) = ψ2(0)i00илиψ1(0) = ψ2(0)A1 − B1 = (A2 − B2)nгде обозначено n = k/κ. На границе x = a имеемψ2(a) = ψ3(a)00ψ2(a) = ψ3(a)или)−κaκaA2e+ B2e= A3−κaκa−κA2e+ κB2e= ikA3Из последней системы уравнений выразим A2 и B2 через A31 − in1 + inA3e−κa,A2 =A3eκa.(∗)22По условию задачи длина волны де Бройля частицы гораздоменьше толщины барьера, поэтому κa 1. При этом предположении |B2| << |A2|. Тогда ψ2(x) ≈ A2e−κx. и из первой системыB2 =44уравнений (при x = 0) находим, что1 + i/nA2.2Используя для A2 формулу (*), получаем:A1 =A3=A14 · e−κa.i(1 − in) 1 +nИзбавляясь от мнимой единицы в знаменателе, найдем:14n2 2 + i n −A3n=· e−κa.22A1(1 + n )Отсюда, вычисляя модуль комплексного числа, находим искомое значение для коэффициента прозрачности 22 A3 16n· e−2κa.D = ≈22A1(1 + n )Здесь поставлен знак ≈ ввиду того, что по ходу решения былосделано упрощающее предположение.

Возвращаясь к исходнымпеременным, получаем окончательно2a p2m(U0 − E)16E(U0 − E) −~D≈·e.U02Часто коэффициент пропорциональноси опускают и пишут просто2a p2m(U0 − E)−.D∼e ~Задачи7.1. Электрон с энергией E падает слева на прямоугольную потенциальную стенку высотой U0, причем U0 − E = 1, 0 эВ. Найтиэффективную глубину проникновения xэфф электрона за стенку, то45есть расстояние от границы стенки до точки, в которой плотностьвероятности %(x) нахождения электрона уменьшается в e раз. Показать, что при E < U0 коэффициент отражения R барьера равенединице.~Ответ: xэфф = p= 0, 1нм.2 2m(U0 − E)7.2. Частица с массой m и энергией E падает на абсолютнонепроницаемую стенку: U (x) = 0 при x > 0 и U (x) = ∞ приx < 0.

Найти распределение плотности вероятности нахождениячастицы %(x) и координаты точек, где %(x) = max.Ответ: %(x) = 4A2 sin2 kx,√2mEA − амплитуда падающей волны де Бройля; k =;~π~nxn = √;n = 1, 3, 5, ....8mE7.3. Найти вероятность прохождения частицы с массойmи2xэнергией E сквозь потенциальный барьер U (x) = U0 1 − 2 вlквазиклассическом приближении.r 2mπlОтвет: D = exp − (U0 − E).~U07.4. Частица с массой m и энергией E падает на прямоугольнуюстенку высотой U0: U (x) = 0 при x < 0 и U (x) = U0 при x > 0,причем E > U0. Вывести выражения для R и D.

Убедиться,что R + D = 1 и, что значения этих коэффициентов не зависятот направления движения падающей частицы (слева направо илисправа налево).(k1 − k2)24k1k2;D=;Ответ: R =22(k+k)(k+k)1212p√2m(E − U0)2mEk1 =; k2 =.~~7.5. Исходя из условия предыдущей задачи, найти распределение плотности вероятности %(x) нахождения частицы для случаяE = 4U0/3. Изобразить примерный графикзависимости %(x).16316Ответ: %1(x) = A21 1 − sin2 k1x ;%2(x) = A21.9497.6. Частица с массой m движется слева направо в потенциаль46ном поле, которое в точке x = 0 испытывает скачок U0: U (x) = 0при x < 0 и U (x) = −U0 при x ≥ 0. Энергия частицы E > 0.Найти коэффициент отражения R для случаев: а) E U0; б)E U0.pОтвет: а) R ≈ 1 − 4 E/U0;б)R ≈ (U0/4E)2.7.7.

Найти в квазиклассическом приближении коэффициентпрозрачностиU (x): U (x) = 0 при x < 0 и x > l, и D xбарьераU (x) = U0 1 −при 0 < x < l. Масса частицы m, энергияlE < U0. Вычислить D для электрона, если l = 1, 0 нм, U0 = 1, 0эВ, E = U0/2.( p)4 2mU0(1 − E/U0)3Ответ: D = exp −l ,D ≈ 0, 1.3~7.8. Напряженность электрического поля у поверхности катодаравна E. В квазиклассическом приближении вывести формулу длякоэффициента прохождения электронами потенциального барьерана поверхности катода: √4 2meW 3/2,D = exp −3e~Eгде W - работа выхода электрона из металла.Указание: Вывести выражение для потенциальной энергии барьера U (x) = U0 − eEx.7.9∗.

Частица с массой m падает на прямоугольную потенциальную яму шириной l и глубиной U0: U (x) = 0 при x < 0 и x > l,U (x) = −U0 при 0 < x < l. Энергия частицы E > 0. Найти:а) коэффициент прозрачности ямы D в зависимости от энергиичастицы; б) значение D для электрона при E =pU0 = 1, 0 эВ.−12m(E + U0)U02 sin2 k2lОтвет: D = 1 +;k2 =;4E(E + U0)~D ≈ 0, 95.7.10∗. Считая, что постоянная α — распада λ и коэффициентпрозрачности барьера D связаны соотношением λ = nD, (n —некоторая постоянная).

Вычислить λ, если модель потенциалазадается следующим образом: U = −U0 при r < r0, а при r ≥ r0 α— частица взаимодействует с ядром, заряд которого Ze, по законуКулона. Принять, что r0 2Zqe2/E, где E - уровень энергии α47частицы в ядре.Ответ:4λ = nD0 exp −~πZqe2 p+ 2mZqe2r0v∞;v∞ =r2E— скорость вылетевшей α — частицы, измеряемая вдали отmядра, где V = 0.7.11∗. Показать, что для барьера произвольной формы выполняется соотношениеR(E) + D(E) = 1.где R — коэффициент отражения, D — коэффициент прохождениячастиц,E—энергия частицы.

.7.12∗. Частица с массой m находится во внешнем поле с потенциальной энергией U (x) (одномерное движение), включающейбесконечно высокий барьер при x < 0, а при положительных xимеющей форму(U1,0 < x < a,a < x < b,U (x) = U2,0,x > b.Предполагается, что U1 < 0 < U2. Вычислить коэффициентотражения от барьера для частицы с энергией E, считая, что частица движется справа налево.