11.03.04_28.03.01_12.03.02_12.05.01_fti_zadachnik_kvant_mekh (Методические документы), страница 3

Поэтому, размер областилокализации по порядку величины совпадает с a.Задачи3.1. Проверить, что волновая функция свободной частицы (3.1)нормирована на единицу в объеме V (3.2) и удовлетворяет уравнению Шредингера при U = 0.0003.2. Показать, что действительная (Ψ ) и мнимая (Ψ ) частиволновой функции Ψ удовлетворяют системе уравнений000∂Ψ∂Ψ000~= ĤΨ ,~= −ĤΨ .∂t∂t3.3.Состояние частицы описывается волновой функциейΨ(~r, t) = a1Ψ1(~r, t) + a2Ψ2(~r, t), где Ψ1(~r, t) и Ψ2(~r, t) — волновыефункции двух стационарных состояний с энергиями E1 и E2, a1 и15a2 — действительные числа. Найти плотность вероятности %(~r, t).В каком случае плотность вероятности не зависит от времени?|E2 − E1|Ответ: %(t) = (a21 + a22)|ψ|2 + 2a1a2|ψ|2 cos ωt; ω =.~3.4. Частица совершает одномерное движение вдоль оси x.

Какой физический смысл имеет |Ψ(x, t)|2 ? Какую размерность имеет волновая функция Ψ(x, t) ? Записать условие нормировки дляволновой функции, если частица может быть обнаружена лишь наотрезке, координаты концов которого x1 и x2 > x1.3.5. Частица движется в плоскости (x, y). Записать условие нормировки для волновой функции частицы, если: а) частица можетбыть обнаружена в любой точке на плоскости, б) частица можетбыть обнаружена в области x1 < x < x2, y1 < y < y2. Каковаразмерность волновой функции в данном случае?3.6.

Найти решение временного уравнения Шредингера для свободной частицы, движущейся с импульсом p в положительном направлении оси x.iОтвет: Ψ(x, t) = A exp(px − Et) .~3.7. То же, что в предыдущей задаче, но частица движется симпульсом p~ в произвольном направлении.iОтвет: Ψ(~r, t) = A exp(~p · ~r − Et) .~3.8. Частица с массой m находится в квантовом состоянии, которое является суперпозицией двух состояний: свободного состояния (Ψ1) с импульсом p~ и свободного состояния (Ψ2) с импульсом−~p, причем вероятность значения импульса p~ в два раза больше,чем вероятность значения −~p. Записать выражение для волновойфункции Ψ(~r, t), котораянормированана единицу в объеме V .rr21Ответ: Ψ(~r, t) =Ψ1(~r, t) +Ψ2(~r, t).333.9.

Волновая функция частицы имеет видn oΨ(~r, t) = A cos ~k · ~r − ωt + α + i sin ~k · ~r − ωt + α ,где A, α, ω — некоторые действительные постоянные, ~k — постоянный вектор. Каков физический смысл ω и ~k? Найти значениепостоянной A, если частица находится в заданном объеме V .16√Ответ: A = 1/ V .3.10. Волновая функция частицы, совершающей одномерноедвижение вдоль оси x, в момент времени t = 0 имеет вид Ψ(x, 0) =A exp(−x2/2a2), где A и a — постоянные. Найти A. Оценить вероятность обнаружить частицу в области −0, 01a < x < 0, 01a.1/210, 02√Ответ: A =;P ' √ .a ππ3.11.

В момент времени t = 0 волновая функция частицы имеетвид Ψ(x, 0) = A exp(−x2/4σ 2 + ikx). Изобразить примерный видзависимостей: а) действительной части Ψ от x; б) |Ψ|2 от x.3.12. Волновая функция частицы с массой m для основного состояния в одномерном потенциальном поле U (x) = kx2/2 имеетвид ψ(x) = A exp(−ax2), где A и a — некоторые постоянные. Найти с помощью уравнения Шредингера постоянную a и энергию Eчастицы в этом√состоянии.r~ kkmОтвет: a =;Emin =.2~2 m3.13.

Волновая функция электрона в основном состоянии атомаводорода имеет вид ψ(r) = A exp(−r/r1), где A — некоторая постоянная, r1 — первый боровский радиус. Найти наиболее вероятноерасстояние rвер между электроном и ядром.Ответ: rвер = r1.3.14. Частица находится в сферически-симметричномпотенци√альном поле в стационарном состоянии ψ(r) = (1/ 2πa) exp(−r/a)/r,где a— постоянная, r — расстояние от центра поля.

Проверить,что волновая функция нормирована на единицу. Найти наиболеевероятное расстояние rвер частицы от центра поля.Ответ: rвер = 0.3.15. В некоторый момент времени t волновая функция частицыв точке P есть суперпозиция двух волновых функций: Ψ(P, t) =Ψ1(P, t) + Ψ2(P, t), гдеΨ1(P, t) = aei(α1 − ωt),Ψ2(P, t) = aei(α2 − ωt).Величина a — заданная комплексная постоянная, α1, α2 и ω —заданные действительные постоянные. Вычислить плотность вероятности нахождения частицы в точке P .Ответ: %(P, t) = 2|a|2(1 + cos(α2 − α1)).173.16∗. Определить распределение плотности вероятности местонахождения частицы и эффективный размер области ее локализации, если состояние частицы в данный момент описывается волновой функцией ψ(x), представляющей собой суперпозицию дебройлевских волн с одинаковыми амплитудами a и мало отличающимися друг от друга волновыми числами в интервале (k0 ± 4k).2222 sin ξОтвет: |ψ(x)| = 4a (∆k);ξ = x · ∆k;∆x ≈ξ22π/∆k.3.17∗.

Доказать основные свойства δ - функции Дирака. Отнормировать волновую функцию свободно движущейся частицы на δ-функцию Дирака.4.АЛГЕБРА ОПЕРАТОРОВ. СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯДИНАМИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙОсновные формулы• Операторы координат и проекций импульсаx̂ = x,p̂x = −i~∂,∂xŷ = y,p̂y = −i~ẑ = z,∂,∂yp̂z = −i~(4.1)∂.∂z(4.2)Краткая запись:~rˆ = ~r,p~ˆ = −i~∇,∂∂ ~ ∂∇ = ~i + ~j+k .∂x∂y∂z• Оператор кинетической энергииp~ˆ2T̂ =.2m• Оператор Гамильтона (гамильтониан)Ĥ(t) = T̂ + U (~r, t).• Оператор момента импульса частицы18(4.3)(4.4)~ˆ = ~rˆ × p~ˆ.L• Коммутатор и антикоммутатор двух операторов[Â, B̂] = ÂB̂ − B̂ Â,{Â, B̂} = ÂB̂ + B̂ Â.• Транспонированный операторZZF̂ → F̂ T :ϕ1F̂ φ2 dV = φ2F̂ T ϕ1 dV.(4.5)(4.6)(4.7)• Комплексно сопряженный оператор Â∗ получается заменойi → −i в операторе Â.• Эрмитово сопряженный операторZ∗ZF̂ → F̂ † :ϕ∗1 F̂ φ2 dV =φ∗2 F̂ †ϕ1 dV ,(4.8)F̂ † = F̂ ∗T = F̂ T ∗.• Самосопряженный (эрмитов) операторZ∗ZF̂ = F̂ † :ϕ∗1 F̂ φ2 dV =φ∗2 F̂ ϕ1 dV .(4.10)• Среднее значение динамической переменнойZhÂi = Ψ∗ÂΨ dV.(4.11)(4.9)• Квантовая неопределенность динамической переменнойsZ∆A =2Ψ∗ ∆Â Ψ dV ,где∆ =  − hÂi.

(4.12)qПолезная формула ∆A = hÂ2i − hÂi2.• Соотношение неопределенностей для некоммутирующих операторов[K̂, F̂ ] = iM̂ ,1∆K · ∆F ≥ |hM̂ i|.219(4.13)• Соотношения неопределенностей Гейзенберга для одномерного движения1~∆x · ∆px ≥ ~,∆x · ∆vx ≥.22m• Условие квазиклассического приближения(4.14)mvl ~,(4.15)где v — средняя скорость движения частицы, l — размер областидвижения.• Полная производная оператора по времениd ∂ Â1=+ [Â, Ĥ].dt∂t i~(4.16)Примеры решения задачЗадачаДоказать справедливость выражения[Ĥ, p̂x] = i~dU,dxp̂2xгде Ĥ =+ U (x) -гамильтониан частицы, совершающей одно2mмерное движение вдоль оси x под действием поля с потенциальнойэнергией U (x).РешениеПроведем явное вычисление коммутатора 2p̂x1 2[Ĥ, p̂x] =+ U (x), p̂x =[p̂ , p̂x] + [U (x), p̂x].2m2m xДля вычисления первого коммутатора, стоящего в правой части,используем тождество, доказанное в задаче 4.13.:[Â, B̂ Ĉ] = [Â, B̂]Ĉ + B̂[Â, Ĉ].В данной задаче удобнее воспользоваться эквивалентным тождеством:[ÂB̂, Ĉ] = Â[B̂, Ĉ] + [Â, Ĉ]B̂.20В нашем случае  = B̂ = Ĉ = p̂x.

Тогда:[p̂2x, p̂x] = p̂x[p̂x, p̂x] + [p̂x, p̂x]p̂x = 0,так как любой оператор коммутирует сам с собой. Следовательно, задача свелась к вычислению коммутатора [U (x), p̂x]. Для еговычисления подействуем им на произвольную функцию ψ(x).[U (x), p̂x]ψ(x) = (U (x)p̂x − p̂xU (x))ψ(x)= U (x)p̂xψ(x) − p̂xU (x)ψ(x) =dψ(x)d= −i~U (x)+ i~ (U (x)ψ(x)) =dxdxdψ(x)dU (x)dψ(x)= −i~U (x)+ i~ψ(x) + i~U (x)=dxdxdxdU (x)= i~ψ(x).dxТак как функция ψ(x) произвольна, то полученное выражениедоказывает исходное равенство.Задача Найти среднюю кинетическую энергию частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками (0 < x < l), если частица находится в состоянии с волновой функциейψ(x) = A sin2πx.lРешениеОтнормируем волновую функцию:Zl1=|ψ(x)|2dx = A2Zl0sin4πx3dx = lA2.l80Здесь интеграл вычислялся путем двукратного применения формул понижения четных степеней тригонометрических функций11cos2 x = (1 + cos 2x).sin2 x = (1 − cos 2x),22Из условия нормировки следует,что218.3lВводя оператор кинетической энергии для одномерного движенияA2 =p̂2x~2 d2,T̂ ==−2m2m dx2получаем для среднего значения кинетической энергии выражениеZlhT i =2~ψ T̂ ψdx = −A2m∗20Zlπx d22 π 2~22 πxsinsindx =.l dx2l3 ml2202 π 2~2Ответ: hT i =.3 ml2Задачи4.1.

Найти явные выражения для транспонированного оператора ÂT , комплексно сопряженного оператора Â∗ и эрмитово сопряженного оператора †, если:а)  = p̂x - оператор проекции импульса частицы;б)  = L̂x - оператор проекции момента импульса частицы;в)  = T̂ ≡ p̂2/2m - оператор кинетической энергии частицы;г)  = Ĥ ≡ T̂ + U (~r) -гамильтониан частицы во внешнем поле;д)  = L̂xL̂y ;е)  = p̂xp̂y .Ответ: а) p̂Tx = p̂∗x = −p̂x; p̂†x = p̂x;б)L̂Tx = L̂∗x = −L̂x; L̂†x = L̂x;в) T̂ T = T̂ ∗ = T̂ † = T̂ ;г)Ĥ T = Ĥ ∗ = Ĥ † = Ĥ;д) (L̂xL̂y )T = (L̂xL̂y )† = L̂y L̂x; (L̂xL̂y )∗ = L̂xL̂y ;е) (p̂xp̂y )T = (p̂xp̂y )† = p̂y p̂x; (p̂xp̂y )∗ = p̂xp̂y .224.2. Вычислить коммутаторы операторов:а) [x̂, L̂y ]; б) [p̂x, L̂z ]; в) [x̂2, p̂x]; г) [ŷ, T̂ ]; д) [L̂x, L̂2]; е) [x̂, Ĥ], гдеĤ = T̂ + U (~r) — гамильтониан частицы.i~i~p̂y ; д) 0; е)p̂x.Ответ: а) i~z; б) −i~p̂y ; в) 2i~x; г)mm4.3.

Вывести уравнения движенияdx̂ p̂x= ,dtmиспользуя выражениеdp̂x∂U=− ,dt∂xp̂2xĤ =+ U (x)2mдля гамильтониана частицы.4.4∗. а) Рассмотреть следующие операторы:ˆ Iψ(~ˆ r) = ψ(−~r);— оператор отражения I:— оператор сдвига T̂~a : T̂~aψ(~r) = ψ(~r + ~a);— оператор комплексного сопряжения K̂: K̂ψ(~r) = ψ ∗(~r).Являются ли эти операторы линейными? Найти вид операторов, которые по отношению к этим операторам являются: транспонированными, комплексно сопряженными, эрмитово сопряженными.ˆ T̂~a — линейные операторы, K̂ — нелинейный операОтвет: I,тор.

Все операторы являются действительными, т.е. совпадаютсо своими комплексно сопряженными.ˆIˆ† = IˆT = I,T̂~aT = T̂ † = T̂−~a.б) Показать,что операторы проекций радиус-вектора ~rˆ и имˆ а операпульса p~ˆ антикоммутируют с оператором отражения I,ˆ~ˆ коммутируют с I.торы проекций момента импульса L4.25 Как изменится полная волновая функция Ψ(x, t), описывающая стационарное состояние частицы, если изменить началоотсчета потенциальной энергии на некоторую величину ∆U ?Указание: использовать временно́е уравнение Шредингера.4.6. Доказать справедливость соотношения~[Ĥ, p~ˆ ] = i~∇U,23если гамильтониан имеет вид:p̂2Ĥ =+ U (x, y, z)2m4.7.Проверить, что оператор импульса, оператор радиусавектора, оператор момента импульса и гамильтониан являютсялинейными операторами.4.8.