11.03.04_28.03.01_12.03.02_12.05.01_fti_zadachnik_kvant_mekh (Методические документы)

СБОРНИК ЗАДАЧМОСКВА 2016ББК 530.145.6075УДК 22.314Рецензенты:д.ф.-м.н. А.В. Борисов, к.ф.-м.н. О.Б.Овсянникова075 Берзин А.А., Волков А.Ф., Магницкий Б.В., МорозовВ.Г., Юрасов А.Н. Основы квантовой механики. Физика, часть 4:Сборник задач/ “Московский технологический университет’’ –М., 2016. – 76 с.ISBN 5-7339-0551-4Задачник составлен в соответствии с действующей программой по курсу “Квантовая механика”, для вузов. В каждыйраздел включены задачи, трудность которых возрастает с увеличением порядкового номера. В начале каждого параграфа приводятся основные законы и формулы, даются примеры решениятиповых задач. Задачи снабжены ответами и, в ряде случаев,указаниями, поясняющими ход решения.

В конце задачника приведен библиографический список, содержащий литературу, использовавшуюся при составлении задачника.Табл. 1., Библиограф.: 6 назв.Печатается по решению редакционно-издательского советауниверситета© А.А. Берзин,А.Ф.Волков,Б.В. Магницкий,В.Г. Морозов,А.Н. Юрасов, 2016МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГООБРАЗОВАНИЯ"МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙУНИВЕРСИТЕТ "А.А.БЕРЗИН, А.Ф.ВОЛКОВ, Б.В.МАГНИЦКИЙ,В.Г.МОРОЗОВ, А.Н.ЮРАСОВОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИКвантовая МеханикаСборник задачМосква – 2016ВВЕДЕНИЕЗадачник предназначен для студентов МИРЭА, в программу обучения которых входит курс "Квантовая Механика(Физика)".

Онслужит дополнением к учебному пособию [1] и содержит подборкузадач, предназначенных для более глубокого и активного усвоениятеоретического материала. Решение задач студентами являетсяобязательным элементом обучения и способствует как освоениюматематического аппарата, так и лучшему пониманию физическойсущности квантовых явлений.Задачник содержит набор как стандартных задач по основнымтемам курса, так и задачи, дополняющие лекционный материал.Все параграфы начинаются со сводки основных формул, применяемых при решении задач.

Во всех параграфах разобраны примерырешения типовых задач. Большинство задач снабжено ответамии, в ряде случаев, указаниями, поясняющими ход решения. Задачи помеченные символом "звездочка", как более сложные, могут быть рекомендованы как дополнительные для курсовых работ, выполняемых студентами факультета Электроники. В концезадачника приведен библиографический список, содержащий литературу, использованную при составлении задачника.Авторы искренне благодарны своим коллегам по кафедре Физики конденсированного состояния МИРЭА, принявшим участиев подборке задач и подготовке данного издания.1.ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИОсновные формулы• Спектральная плотность равновесного излучения (формулаПланка)ω2~ωuω = 2 3.(1.1)π c exp(~ω/kB T ) − 1Произведение uω dω есть энергия электромагнитных волн с частотами в интервале от ω до ω + dω в единице объема.• Энергия и импульс фотонаE = ~ω,~p = ~~k,3p=2π~.λ(1.2)• Формула Эйнштейна для фотоэффекта2mevmax~ω = A +,(1.3)2где A — работа выхода электрона из металла, vmax — максимальная скорость фотоэлектронов.• Эффект Комптона4λ = λ0 − λ = λC (1 − cos ϑ),(1.4)где λ — длина волны падающего излучения, λ0 — длина волнырассеянного излучения, ϑ — угол рассеяния.

Комптоновская длина волны2π~λC =,(1.5)mcдля электрона (m = me) λC = 2, 426 · 10−12м.Примеры решения задачЗадачаФотон частоты ω рассеялся под углом ϑ на покоившемся свободном электроне. Определить угол ϕ, под которым вылетел электрон отдачи (по отношению к направлению движения налетевшегофотона).РешениеВведем декартову систему координат с осью x, направленнойвдоль импульса налетающего фотона. Ось y выберем так, чтобыпроцесс рассеяния происходил в плоскости x, y.

Законы сохранения энергии и импульса рассматриваемой системы (в проекцияхна оси x и y системы координат) имеют видp0~ω + mec2 = ~ω + p2c2 + m2e c4,0~k = ~k cos ϑ + p cos ϕ,00 = ~k sin ϑ − p sin ϕ,где в левых частях уравнений стоят энергия (1 уравнение) и проекции импульса системы (2 и 3 уравнение) до взаимодействия, ав правых — те же величины после взаимодействия.

Для решения задачи достаточно двух последних уравнений. Запишем эти4уравнения в виде:0p cos ϕ = ~k − ~k cos ϑ,0p sin ϕ = ~k sin ϑ.Деля второе уравнение на первое, получаем0k sin ϑsin ϑtg ϕ =.=kk − k 0 cos ϑ− cos ϑk0Выразим каждое из волновых чисел k и k 0 через соответствующуюдлину волны:2π2π0k= ,k = 0.λλТогда0λk= .λk0Из формулы Комптона (1.4) для изменения длины волны фотона0∆λ = λ − λ = λC (1 − cos ϑ)следует, что0λλC= 1 + (1 − cos ϑ).λλПоэтому полученную выше формулу для tg ϕ можно преобразовать так:sin ϑsin ϑ.tg ϕ ==λCλC1+(1 − cos ϑ) − cos ϑ (1 − cos ϑ) 1 +λλПереходя от длины волны к частоте (λ = 2πc/ω) и, используя формулу (1.5) для комптоновской длины волны электрона, получаемсоотношение,λC~ω=.λme c 2которое позволяет выразить tg ϕ через данные к задаче:sin ϑ.tg ϕ =~ω(1 − cos ϑ) 1 +me c 25Этому выражению можно придать более компактный вид, есливоспользоваться тригонометрическими формулами перехода к половинному углу.

В результате получаемϑ2 .tg ϕ =~ω1+me c 2ctgЗадачи1.1. Получить с помощью формулы Планка приближенные выражения для спектральной плотности равновесного излучения:а) в области низких частот, где ~ω kB T (формула РэлеяДжинса);б) в области высоких частот, где ~ω kB T (формула Вина).ω2~ω 3 −~ω/kTОтвет: а) uω = 2 2 kT ; б) uω = 2 3 e.π cπ c1.2.

Найти с помощью формулы Планка выражение, определяющее число фотонов в 1см3 полости при температуре T в спектральном интервале (ω, ω + dω).ω21Ответ: nω = 2 3 ~ω/kT.π c e−11.3. Точечный изотропный источник испускает свет с длинойволны λ = 589 нм. Световая мощность источника P = 10 Вт.Найти среднюю плотность фотонов n на расстоянии r = 2 м отисточника.1 PλОтвет: n =≈ 4 · 109м−3.22c 8π ~cr1.4∗. Показать, что число фотонов теплового излучения, падающих в единицу времени на единичную площадку стенки полости,ncравно, где c — скорость света, n — концентрация фотонов.4Убедиться, что произведение этой величины на среднюю энергиюфотона равно энергетической светимости M .1.5.

Используя формулу Эйнштейна (1.3), объяснить существование красной границы ωmin для фотоэффекта. Выразить ωminчерез работу выхода электрона из вещества.Ответ: ωmin = A/~.61.6. При поочередном освещении поверхности некоторого металла светом с длиной волны λ1 = 0, 35 мкм и λ2 = 0, 54 мкм былообнаружено, что соответствующие максимальные скорости фотоэлектронов отличаются друг от друга в η = 2 раза. Найти работувыхода с поверхности этого металла.η 2 − λ2/λ1Ответ: A = 2π~c≈ 1, 9 эВ (цезий)λ2(η 2 − 1)1.7. Найти максимальную кинетическую энергию электронов,вырываемых с поверхности лития (A = 2, 39 эВ) электромагнитным излучением, напряженность электрического поля которогоизменяется со временем по закону E(t) = a[1 + cos ωt] cos ω0t, где a— некоторая постоянная, ω = 6, 0 · 1014с−1 и ω0 = 3, 6 · 1015с−1.Ответ: Kmax = ~(ω + ω0) − A = 0, 38 эВ.1.8.

Вывести выражение (1.4) для изменения длины волны излучения в эффекте Комптона.1.9. Показать с помощью законов сохранения энергии и импульса, что свободный электрон не может поглотить фотон.Указание: Удобно рассмотреть процесс в системе центра масс,где законы сохраненияимеют видp2~ω + mec = c2p2 + m2e c4; ~k = p.1.10.

Фотон с энергией ~ω = 1, 0 МэВ рассеялся на свободномпокоившемся электроне. Найти кинетическую энергию электронаотдачи, если в результате рассеяния длина волны фотона изменилась на η = 25%ηОтвет: K = ~ω= 0, 2 МэВ.1+η1.11. Составить выражение для величины, имеющей размерность длины, используя скорость света c, массу частицы m и постоянную Планка ~. Какой физический смысл имеет эта величина?~Ответ: x =.mc1.12. Фотон с длиной волны λ = 6, 0 пм рассеялся под прямым углом на покоившемся свободном электроне. Найти частотурассеянного фотона и кинетическую энергию электрона отдачи.2πc2π~c0Ответ: ω =≈ 2, 2 · 1020c−1, K == 60 кэВ.λ + λCλ(1 + λ/λC )1.13.

Фотон с импульсом p = 1, 02 МэВ/c, где c — скоростьсвета, рассеялся на свободном покоящемся электроне, в результате7чего импульс фотона стал p0 = 0, 255 МэВ/c. Под каким угломрассеялся фотон?02Ответ: cos ϑ = 1 − mec 1/(p c) − 1/(pc) , ϑ = 120◦.1.14. Фотон рассеялся под углом ϑ = 120◦ на покоящемся свободном электроне, в результате чего электрон получил кинетическую энергию T =фотона до рассеяния.sМэВ.

Найти энергию" 0, 45#2mec2T1+ 1+= 0, 68 МэВ.Ответ: E =2T sin2 ϑ/21.15. Фотон с энергией ~ω = 0, 15 МэВ рассеялся на покоящемсясвободном электроне, в результате чего его длина волны изменилась на ∆λ = 3 пм. Найти угол,r под которым вылетел электрон.12λC◦Ответ: tg ϕ =.−1,ϕ≈311 + ~ω/mec2 ∆λ1.16. При облучении вещества рентгеновским излучением с длиной волны λ обнаружено, что максимальная кинетическая энергиякомптоновских электроновKmax = 0, 44 МэВ. Определить λ.s2π~ 2mec2Ответ: λ =1+− 1 = 2, 0 пм.mecKmax1.17. Фотон с энергией ~ω испытал столкновение с электроном,который двигался ему навстречу. В результате столкновения направление движения фотона изменилось на противоположное, аего энергия оказалась прежней.

Найти скорость электрона до ипосле столкновения.cε~ω0Ответ: v = v = √, где ε =.22mc1+εe2.КВАНТОВАНИЕ ЭНЕРГИИ АТОМА.ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА МИКРОЧАСТИЦОсновные формулы• Обобщенная формула Бальмера11−,n1 = 1, 2, ...,ω = RZ 2n21 n22n2 > n1,(2.1)где Z — порядковый номер водородоподобного атома.