Григорьева Г.В., Надырова И.М. Механика. Теория механизмов и машин. 2007, страница 8

30, в, а).3.8.3. Группа Ассура 3-го видаПостроение планов скоростей и ускорений рассмотрим на примерекулисного механизма, который образован присоединением к механизму I классагруппы Ассура II класса 3-го вида (рис. 31).а)б)в)Рис. 31. Пример построения плана скоростей и ускорений структурной группы3-го вида:а) план механизма; б) план скоростей; в) план ускоренийПример.Дано: кинематическая схема механизма; угловая скорость кривошипа ω AB.Определить: скорость и ускорение точек В' и D кулисы; угловую скоростьи угловое ускорение кулисы.Строим план скоростей (рис.

31, б) по векторному уравнению:VB ' = VB + VB ' B ,где VB – скорость точки В конца кривошипа и кулисного камня, VB = ωAB lAB;VB ⊥ AB ;VB ' B – относительная скорость движения камня по кулисе, VB ' B DC ;VB ' – скорость точки В', принадлежащей кулисе, VB ' ⊥ DC .Имеем одно векторное уравнение с двумя неизвестными: величиной VB ' ивеличиной VB ' B . Перпендикулярно АВ откладываем отрезок произвольнойвеличины, изображающий известную скорость VB .

Масштабный коэффициентплана скоростей µ V = VB / рVb.Через точку b проводим направление относительной скорости(параллельно кулисе DC), через полюс – направление абсолютной скороститочки В' (перпендикулярно кулисе). Точка пересечения определяет скоростьточки В' кулисы: VB' = pVb' µ V.Скорость точки D находим по принципу подобия: строим на планескоростей отрезок pVd, пропорциональный длине кулисы CD:pVd = (pVb'CD) / CB'; VD = pVd µ V.Угловая скорость кулисы ( ω CD) определится из соотношения:ω СD = VD / lCD.Направление угловой скорости находим, мысленно перенося векторотносительной скорости с плана скоростей в соответствующую точкумеханизма.

Кулиса вращается по часовой стрелке (рис. 31, а, б).План ускорений строим по векторному уравнениюaB ' = a B + a B ' B k + aB ' B r ,nгде аВ = аВ = ω AB2 lAB – нормальное ускорение переносного движения(ускорение точки В конца кривошипа и кулисного камня).Вектор нормального ускорения направлен от точки В к точке А: a n B AB .Откладываем в этом направлении отрезок произвольной величины (рис. 31, в)nи определяем масштабный коэффициент плана ускорений µ a = а B / pab.Второй член уравнения – Кориолисово ускорение – вычисляем по формулеaB ' B k = 2ωCDVB ' B ,где VB ' B = bb '⋅ µV (рис.

31, б).Направление Кориолисова ускорения определяем поворотом вектораотносительной скорости ( bb′ – на плане скоростей) на 90° в направленииугловой скорости кулисы ( ω CD). Из точки b (рис. 31, в) откладываем в масштабевеличину Кориолисова ускорения bk =aB ' B kµa .Через точку k проводим направление релятивного ускорения aB ' B r CD .Величина этого ускорения неизвестна, значит, требуется составить еще одновекторное уравнение.

Кулиса вращается неравномерно, поэтому ускорениеточки В во вращательном движении вокруг точки С складывается изнормального и касательного:aB ' = aC + aB 'C n + aB 'C τ ,где aC = 0, так как С – неподвижная точка и ее ускорение изображается наплане нулевым отрезком (совпадает с полюсом);a n B 'C = ω 2CDlB 'C ; a n B 'C B 'C ;a τ B′C = ε B’C lB’C ; a τ B′C ⊥ B′C .Откладываем в направлении от В' к С отрезок, изображающийнормальную составляющую ускорения (рис. 31, в):pa n =a n B 'Cµa .Через точку n проводим направление касательного ускорения(перпендикулярно кулисе).

Получаем точку пересечения b', которая определяетускорение точки В' кулисы:aB ' = pab′ ⋅ µa .Ускорение точки D находим по принципу подобия:′pa d = ( pa b ⋅ CD) CB ' ;aD = pa d ⋅ µa .Угловое ускорение кулисы определяем по касательной составляющей aB 'C τ ,которая на плане ускорений изображается отрезком nb':εB 'C = aB 'C l = (nb '⋅ µa ) ( BC ⋅ µ ) .lBCτНаправление углового ускорения находим, перенося вектор nb' (рис.

31, в)в точку В' кулисы (рис. 31, а). Угловое ускорение направлено против часовойстрелки.3.9. Аналоги скоростей и ускоренийВо многих случаях при проектировании машин и механизмов законыдвижения звеньев в функции времени можно определить только напоследующих стадиях проектирования, как правило, после динамическогоанализа с учетом приложенных сил. В таких случаях движение звеньевопределяется в два этапа: сначала устанавливаются зависимостикинематических параметров в функции обобщенной координаты (угла поворотаведущего звена), а затем определяется закон изменения обобщеннойкоординаты во времени. Для выполнения подобных расчетов вводятся понятияаналогов скоростей и ускорений.Аналогом скорости какой-либо точки называется первая производнаярадиус-вектора этой точки по обобщенной координате. Для поступательногодвижения перемещение точки можно считать равным радиус-вектору.

Тогдааналог скорости, согласно определению, следует принимать равным:S'1 = dSi / d ϕ ,(3.41)где ϕ 1 – обобщенная координата (угол поворота звена 1);Si – перемещение точки i-гo звена.Скорость данной точки Vi = dSi / dt, поэтому:dSi dSi dϕ1=⋅.dt dϕ1 dt(3.42)Учитывая формулу (3.42), получаем связь между истинной скоростью и ееаналогом:Vi = S 'i⋅ ω1 ,(3.43)где ω 1 – угловая скорость начального звена.Физический смысл аналога скорости – это скорость той же точки при ω-11=1с .Аналогом ускорения точки называется вторая производная радиусвектора точки по обобщенной координате.Чтобыустановитьсвязьускорениясаналогомускорения,продифференцируем (3.43) по времени:ai =dωdVi d ( S 'i ω1 )dS dϕ== ω1 i ⋅ 1 + S 'i 1 .dtdtdϕ1 dtdtОкончательно получим:ai = S "i ω12 + S 'i ε1 ,(3.44)(3.45)где ai – ускорение точки i-го звена;S "i – аналог ускорения той же точки;ε 1 – угловое ускорение начального звена.При вращательном движении звена вводятся понятия аналогов угловыхскоростей и ускорений.Аналогом угловой скорости называется первая производная от углаповорота по обобщенной координате механизма:ϕ 'i = d ϕi d ϕ ,(3.46)1где ϕi – угол поворота i-гo звена.Угловая скорость звена ω1 связана с ее аналогом соотношениемωi = ϕ 'i ω1 .(3.47)Аналогом углового ускорения называется вторая производная от углаповорота звена по обобщенной координате механизма.

Дифференцируяуравнение (3.47) по времени, получим:εi = ϕ "i ⋅ ω12 + ϕ 'i ⋅ ε1 .(3.48)Из формул (3.47) и (3.48) видно, что аналоги угловых скоростей и угловыхускорений являются безразмерными величинами.3.10. Графическое дифференцирование и интегрирование как методыкинематического анализаГрафическое изображение изменения основных кинематическихпараметров механизма за полный цикл движения называется кинематическойдиаграммой.Если одна из кинематических функций задана в форме графика или в видетаблицы значений, то найти производную или интеграл от этой функциинепосредственно в аналитической форме невозможно.В этом случае используют методы графического дифференцирования иинтегрирования.Основное достоинство данного метода, как и у большинства графическихметодов, – наглядность и простота; недостаток – невысокая точность.

Методоснован на геометрическом смысле производной, которая представляет собойтангенс угла наклона касательной в данной точке кривой к оси абсцисс.Обычно кривую заменяют ломаной линией и принимают следующеедопущение: угол наклона касательных в точках, расположенных на серединекаждого участка кривой, равен углу наклона соответствующей хорды. Это вносит некоторую погрешность, но она не суммируется, что обеспечиваетприемлемую точность метода.На рис. 32 изображена кинематическая диаграмма перемещений точкив масштабе.Рис.

32. К определению кинематических параметров методом кинематическихдиаграммПусть за бесконечно малый промежуток времени ∆t перемещение точкиувеличилось на ∆S . Тогда скорость точки на этом участке определится извыраженияV=∆Sµs.∆tµt(3.49)Из чертежа (рис. 32) следует, что∆S= tg α , a с учетом принятого∆tдопущения это и есть первая производная (в пределе хорда превратится вкасательную), поэтому:µV =  S µ ⋅ tgα .(3.50)tПроведем из точки Р, расположенной слева от оси абсцисс напроизвольном расстоянии Н, прямую, параллельную хорде аb до пересечения сосью ординат. Эта прямая отсекает на оси ординат отрезок ОА, длина которогоопределяется из треугольника АОР:(3.51)OA = H ⋅ tgα .VµS ⋅ H .=OAµ(3.52)tПравая часть уравнения содержит только постоянные величины,следовательно, она является также величиной постоянной и представляет собоймасштабный коэффициент скорости:µV = µS µ ⋅ H .t(3.53)Отрезок ОА, отсекаемый лучом РА на оси ординат, изображает скорость набесконечно малом участке ∆t в масштабе скоростей µV .3.11.

Кинематическое исследование механизмов методом диаграмм3.11.1.Последовательность графического дифференцированияЗадана диаграмма перемещений точки S = f(t) (рис. 33).Требуется построить диаграмму скоростей.Рис. 33. Графическое дифференцирование кинематических диаграммДелим участок оси абсцисс на несколько равных частей, например, нашесть. Кривую заменяем ломаной линией abcdefg (т. е. полагаем, что накаждом участке скорость постоянна).