Григорьева Г.В., Надырова И.М. Механика. Теория механизмов и машин. 2007, страница 27

Если число уравнений связи равно числу неизвестных (m = n), тозадача имеет единственное решение. В практике проектированияраспространены задачи, в которых обычно m < n. Каждая из таких задач имеетнесколько решений и является объектом оптимизации.Обычно изменение переменных проектирования допускается в некоторыхпределах, определяемых назначением детали, технологией изготовления,требованиями стандартов и др. В соответствии с этими причинами,ограничения, накладываемые на параметры проектируемой детали длявыполнениязаданныхейфункций,называютфункциональными,параметрическими, дискретизирующими и др.Функциональные ограничения на параметры оптимизации имеют вид:ψs ( x ) ≡ ψs ( x1 , x2 , ..., xn ) ≤ 0, s = 1, p;ψr ( x) ≡ ψr ( x1 , x2 , ..., xn ) = 0, r = 1, q;(14.1)и выражают собой уравнения связи значений переменных проектирования.Используя ограничения типа ψr ( x) = 0 , можно уменьшить число варьируемыхпараметров, выражая одни переменные проектирования через другие.Параметрические ограничения имеют вид:(14.2)X i ∈ [ ai , bi ]и устанавливают минимально и максимально допустимые значения i-гопараметра оптимизации (i = l, 2, ..., n), равные соответственно аi и bi.Дискретизирующие ограничения имеют вид:X i ∈ { X i1 , X i 2 , ..., X im } ,(14.3)где Xi – i-й параметр оптимизации конструкций;Xik – допустимое дискретное значение i-го параметра (k – номер значения, k= 1, 2, ..., m).Ограничения этого вида накладывают назначения параметров оптимизациив связи с физической сущностью (например, число зубьев шестерни),требованиями стандартов и др.Кроме того, некоторые или все переменные могут иметь ограничения познаку.Назначение ограничений является важным этапом постановки и решениязадач оптимального проектирования.

Избыточные ограничения сужают областьпроектирования и усложняют расчет конструкции, а неучет каких-либоограничений может привести к преждевременной потере элементом иконструкцией работоспособностив целом и другим нежелательнымпоследствиям.14.2. Цель оптимизации, критерий оптимальности и целевая функцияПонятие оптимального решения подразумевает выбор такого вариантаконструкции, который бы обладал возможно большими достоинствами присведенных к минимуму недостатках.Например, при проектировании зубчатого механизма стремятся, чтобы онимел, по возможности, высокую надежность, малую массу и высокий КПД идр.

Таким образом, речь идет о выборе (из множества возможных) лучшеговарианта, удовлетворяющего определенной цели (целям).Выбор предполагает наличие критерия сравнения g, позволяющего указатьоптимальныйиз выбранных вариантов. Критерий сравнения вариантовназывают критерием оптимальности (качества). Каждой цели оптимальногопроектирования соответствует определенный критерий качества.Например: если целью оптимизации элемента конструкции являетсяобеспечение минимальной массы (или максимального КПД), то критериемоптимальности будет его масса (или КПД).Для выбора оптимального варианта конструкции следует выразитькритерий оптимальности через переменные проектирования (параметрыоптимизации):g = ϕ (x) ≡ (x1, x2, ..., хn).(14.4)Зависимости типа (14.4) называют целевыми функциями.Так, если требуется определить значения передаточных чисел i1 и i2 длядвухступенчатого редуктора минимальной массы, то целевая функция должнавыражать собой зависимость массы редуктора от передаточных чисел ступеней,т.

е. gm = ϕm (i1, i2).В простейшем случае, например, при одном варьируемом параметрепутем перебора нескольких просчитанных вручную вариантов конструкциии оценкой по какому-либо критерию качества (массе, габариту и т. п.)конструктор может выбрать наиболее приемлемый вариант. Однако уже придвух варьируемых параметрах бывает трудно уловить влияние каждого изних на главные характеристики, так как полный анализ всех возможныхвариантов проектных параметров часто произвести не удается. В этом случаеэффективным оказывается использование математических методовоптимизации, позволяющих выбрать кратчайшие пути оптимизации исократить время расчета. Оптимизация на базе компьютерного обеспеченияпозволяет получить более высокое качество решений за счет использованияболее сложных моделей изделий.Сравнение вариантов конструкции при проектировании можетосуществляться по нескольким критериям одновременно (например, массе,КПД – двухкритериальная задача).

В этом случае в задаче должно бытьсоответствующее число целевых функций, которые могут зависеть от одной илинескольких переменных проектирования.14.3. Постановка задач оптимизацииДляоптимизацииконструкцииследуетопределитьцельисоответствующий ей критерий оптимальности, а затем перевести задачу наматематический язык и построить математическую модель.Математическая модель – это формализованное описание критерияоптимальности, условий функционирования узла и требований, которыепредъявляются к его отдельным параметрам.Предположим, что известен ряд переменных проектирования х1, х2, ..., хn,значения которых определяют проектируемую конструкцию, и их выборпредоставлен конструктору.

Определены ограничения (14.1), (14.2), (14.3),связывающие эти переменные с условиями функционирования и производстваконструкции, т. е. принята математическая модель. Критерий оптимальности gвыражен через целевую функцию (14.4).В таком случае задача оптимального проектирования состоит вопределении значений x1′, x2′ , ..., xn′ переменных проектирования, при которыхудовлетворяются ограничения (14.1), (14.2), (14.3) и функционал (14.4)принимает экстремальное (минимальное или максимальное) значение:ϕ (x)→ extremum.Определенные в результате решения задачи значения x1′, x2′ , ..., xn′параметров называют оптимальным решением.Если на переменные не накладывается никаких ограничений, то решаетсязадача по определению безусловного экстремума целевой функции.Методы решения задач оптимального проектирования рассмотрены вспециальной литературе.ЗАКЛЮЧЕНИЕОсновой изложенного в учебном пособии курса теории механизмов имашин является многолетний опыт преподавания дисциплины с учетомсовременных требований.Приведенные авторами в материалах примеры определения параметровмеханизмов на основе графических и аналитических методов окажут студентампомощь в усвоении курса.Методика изложения учебного содержания рассчитана на вариативноеиспользование его в курсах подготовки как бакалавров и магистров, так иинженеров.БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК1.

Артоболевский, И.И. Теория механизмов и машин [Текст] / И.И.Артоболевский. – М.: Наука, 1988. – 638 с.2. Белоконев, И.М. Теория механизмов и машин. Конспект лекций [Текст]:учеб. пособие для вузов / И.М. Белоконев, С.А. Балан, К.И. Белоконев. – 2е изд., перераб. и доп. – М.: Дрофа, 2004. – 172 с.3. Заблонский, К.И. Теория механизмов и машин [Текст] / К.И.Заблонский, И.М. Белоконев, Б.М. Щекин. – Киев: Вица школа, 1989. – 375 с.4. Кожевников, С.Н. Теория механизмов и машин [Текст] / С.Н.Кожевников.

– М.: Наука, 1973. – 784 с.5. Левитская, О.Н. Курс теории механизмов и машин [Текст] / О.Н.Левитская, Н.И. Левитский. – Высш. шк., 1985. – 279 с.6. Марченко, С.И. Теория механизмов и машин [Текст] / С.И. Марченко,Е.П. Марченко и др. – Ростов н/Д.: Феникс, 2003. – 256 с.7. Фролов, К.В. Теория механизмов и механика машин [Текст]: учебникдля втузов / под ред. Фролова К.В. – 4-е изд., перераб.

– М.: Высш. шк.,2003. – 496 с..