Григорьева Г.В., Надырова И.М. Механика. Теория механизмов и машин. 2007, страница 6

радиусу вращения).Аналогично:VC = VA + VCA ,(3.2)где VCA = ω BAl AC – вектор этой скорости направлен перпендикулярнозвену АС (VCA ⊥ AC ).Построим векторные уравнения (3.1) и (3.2).1. Выбираем произвольную точку рV – полюс плана скоростей иоткладываем в направлении вектора VA отрезок произвольной длины рVa(рис.

24, б). При этом определяем значение масштабного коэффициента планаскоростей:(3.3)µ V = VA / рV a.2. СтроимвекторVBA.Източкиапроводимпрямую,перпендикулярную АВ, и откладываем отрезок ab в выбранном масштабе:ab = VBA / µ V = ω BA lAB / µ V.(3.4)3. Суммарный вектор – абсолютная скорость точки В определитсяотрезком рVb:VB = рV b × µ V.(3.5)4. Аналогично находим скорость точки С. Из точки а в направлении,перпендикулярномАС, откладываем отрезок ac, изображающийотносительную скорость с учетом масштабного коэффициента:ac = ω AB lAC / µ V.(3.6)Соединяем полюс рV с полученной на плане скоростей точкой С. Измерив наплане величину отрезка рVс, находим значение абсолютной скорости точки С:VC = рVc × µ V .(3.7)5.

С другой стороны скорость точки С можно определить, принявдвижение точки В за переносное:VC = VB + VCB .(3.8)На плане скоростей (рис. 24, б) относительная скорость VCB – это вектор bc ,направленный перпендикулярно стороне звена ВС (рис. 24, а). Соединив точкиb и с, получим на плане скоростей графическое изображение уравнения (3.8).Сравнивая треугольники ABC и abс на рис.

24, можно заметить, что этифигуры подобны и сходственно расположены, так как стороны их взаимноперпендикулярны и отрезки ab, ас, bс пропорциональны длинам сторон звена АВ,АС, ВС.6. Зная направление вектора относительной скорости VBA (на планеотрезок ba) можно определить направление угловой скорости ω BA.Задача 2.

Определение скоростей точек звена, входящего в поступательнуюпару.Дано: ω АO – угловая скорость звена ОА (рис. 25);VAAx – скоростьзвена АВ относительно направляющей х-х.Определить: скорость точки A (VA ), лежащей на звене АВ (рис. 25).Рис. 25. Построение плана скоростей точек звена, входящего в поступательнуюпаруТочки А и Аx совпадают, но принадлежат разным звеньям: А – звену АВ; Аx– звену ОА (или направляющей х-х). Cкорость точки A определяетсяуравнением:(3.9)VA = VAx + VAAx ,где VAx – скорость переносного движения точки Аx, принадлежащейнаправляющей, перпендикулярна ОА;VAAx – скорость относительного движения точки A относительно Аxнаправлена параллельно ОА.Переносная скорость определяется из выражения:VAx = ω xx lOB = ω АО lOB,(3.10)где ω xx – угловая скорость вращения направляющей х-х.Вектор VAx откладываем из полюса перпендикулярно ОА в виде отрезкапроизвольной длины рVax.Определяем масштабный коэффициентµ V = VAx / pV ax.(3.11)Вектор VAAx откладываем с учетом масштабного коэффициента внаправлении, параллельном направляющей х-х (см.

рис. 25), в виде отрезка aaxaax = VAAx / µ V.(3.12)Вектор pV a (VA ) определяется как результирующий при сложении векторовpV ax и aax (см. рис. 25). Значение скорости точки A определяется из выраженияVA = pVa µ V.(3.13)3.5. Свойства плана скоростейНа основании рассмотренных построений можно определить следующиесвойства плана скоростей:− на плане скоростей лучи, выходящие из полюса, изображаютабсолютные скорости точек звена, а отрезки, соединяющие концы лучей, –относительные скорости соответствующих точек;− неподвижные точки плана механизма на плане скоростейрасполагаются в полюсе;− векторы относительных скоростей направлены на плане скоростейк первой букве индекса.

Например, VCB – скорость точки С относительно В наплане скоростей читается: «отрезок bс, вектор направлен к точке с»;− векторы относительных скоростей точек жесткого звена образуют наплане скоростей фигуру, подобную этому звену, повернутую на 90° внаправлении угловой скорости звена. Этот вывод называется принципомподобия в плане скоростей и позволяет определить скорость любой точки звенаграфически, если известны скорости хотя бы двух точек этого звена;− имея построенный план скоростей, всегда можно построитькасательную и нормаль к траектории движения точки, не строя траекторию.Любая абсолютная скорость – касательная к траектории движения;− имея построенный план скоростей, можно определить мгновенный центрскоростей всех звеньев механизма.3.6. Планы ускорений плоских механизмовЧертеж, на котором изображены в виде отрезков векторы, равные помодулю и направлению ускорениям различных точек звеньев механизма вданном положении, называется планом ускорений.Рассмотрим решение двух задач на определение ускорений точекзвеньев, образующих кинематические пары 5-го класса, аналогично решениюзадач о скоростях (см.

раздел 3.4).Задача 1. Определение ускорений точек звена, входящего во вращательнуюпару с другим звеном.Дано: план скоростей механизма для данного положения (см. рис. 25);угловая скорость звена АO – ω АО = const;угловая скорость звена ABC – ω BА;угловое ускорение звена ABC – ε BA;размеры всех звеньев (рис. 26).Определить: ускорения точек А, В и С ( a A , aB , aC ).Рис. 26.

Построение плана ускорений точек звена, входящего во вращательнуюпаруУскорение точки А звена, совершающего вращательное движение спостоянной скоростью, определится как нормальное ускорение:аА = аАn = ω AO2 lAO.Вектор a A направлен к центру вращения (точке O) параллельно звену OА.Выбираем точку pa – полюс плана ускорений. Откладываем из полюсавектор a A в виде отрезка произвольной длины paа в направлении к центрувращения (точке O) параллельно OА.

Определяем масштабный коэффициент:(3.14)µ a = аА / paа.Абсолютное ускорение точки В складывается из переносного ускорения (aA ) и относительного ускорения ( aBA ) во вращательном движении точки Ввокруг А:aB = aA + aBA .(3.15)Поскольку относительное движение – вращательное, выражение (3.15)можно записать в виде:aB = a A + aBAn + aBAτ ,(3.16)n2где аBА = ω AB lAB – нормальное ускорение в относительном движении,направленное по радиусу вращения (АВ) к центру вращения (точке А);aBAτ = ε AB lAB – касательное ускорение в относительном движении,направленное перпендикулярно радиусу вращения.Построим уравнение (3.16) в виде суммы векторов (см. рис. 26).

Из точки ана плане ускорений откладываем в направлении к центру вращения с учетоммасштаба вектор нормального ускорения a n BA (an BA). Величина отрезка anопределяется соотношением:an = ω AB2 lAB / µ a.(3.17)От полученной точки n в направлении, перпендикулярном АВ,откладываем отрезок nb, изображающий в масштабе касательнуюсоставляющую относительного ускорения aBAτ :aBAτ = ε AB lAB / µ a.(3.18)Направление вектора aBAτ определяется с учетом направления угловогоускорения ε AB (в данном примере – вниз).Соединяя точку pa с точкой b, получаем результирующий вектор, которыйизображает абсолютное ускорение точки В (3.16):a B = p ab µ a.(3.19)Аналогично строятся векторные уравнения для точки С (см.

рис. 26):aC = aB + aCB n + aCB τ ;(3.20)aC = a A + aCAn + aCAτ .(3.21)Определим значения полных относительных ускорений:aBA = (aBAn )2 + (aBAτ )2 .(3.22)С учетом известных из теоретической механики формул:aBA = lBA ω 4 AB + ε 2 AB .(3.23)Аналогично:aCA = l AC ω 4 AB + ε2 AB ;(3.24)aCB = lBC ω 4 AB + ε2 AB .(3.25)Определим тангенс угла, определяющего направлениеотносительного ускорения (см. рис. 26):τaBAtgϕ =aBAn= ε ABl ABω2ABl AB= εABω 2 AB.полного(3.26)Из формулы (3.26) следует, что тангенс угла ϕ не зависит от того, какаяточка звена рассматривается и одинаков для всех относительных ускорений.Из выражений (3.23)–(3.26) следует, что относительные ускоренияточек звена ABC пропорциональны длинам сторон и повернуты на один итот же угол.Следовательно, △abc в плане ускорений и △ ABC (жесткое звено)подобны и сходственно расположены.Задача 2.

Определение ускорений точек звена, входящего впоступательную пару.Дано: размеры всех звеньев (рис. 27);план скоростей механизма для данного положения;угловая скорость звена АO – ω АО ≠ const;ε AO= ε ХХ – угловое ускорение звена ОА, т. е. направляющей х-х; угловаяскорость звена АB – ω АB.Определить: ускорение точки A звена АВ – a A .Рис. 27. Построение плана ускорений точек звена, входящего в поступательнуюпаруТочки А, А х совпадают, но принадлежат разным звеньям: А – звену АВ, Ах– звену ОА (направляющей х-х).Движение звена ОА – вращательное, неравномерное, поэтому ускорениеa Ax складывается из нормальной ( aAx n ) и касательной ( aAx τ ) составляющих:a Ax = aAx n + aAx τ ;aAx n = ω AO2 lOA.(3.27)(3.28)Построим уравнение (3.27) в виде суммы векторов (рис.