Григорьева Г.В., Надырова И.М. Механика. Теория механизмов и машин. 2007, страница 7

27). Из точки pа наплане ускорений откладываем вектор нормального ускорения a Ax n в видеотрезка произвольной длины pan в направлении к центру вращения (точке O)параллельно ОА. Определяем масштабный коэффициент:µ a = aAx n / pan,тогдаaAx τ = ε AO lAO / µ a.(3.29)От полученной точки n в направлении,откладываем отрезок nax, изображающий вперпендикулярном АO,масштабе касательнуюсоставляющую ускорения a Ax τ , в направлении углового ускорения εAO(вданном примере – вниз).Соединяя точку pa с точкой ax, получаем вектор a Ax , который изображаетабсолютное ускорение точки Ax (3.16):a Ax = paax µ a.(3.30)Для определения абсолютного ускорения точки A ( a A ) запишем двауравнения.

Первое – из рассмотрения поступательного движения точки A звенаAB относительно точки Ax звена AO:a A = a Ax + a AAx r + a AAx k ,(3.31)где a Ax – переносное ускорение точки Aх принадлежащей направляющейх-х, вращающейся вокруг оси О;a AAx r – относительное ускорение точки A в поступательном движениивдоль направляющей х-х;a AAx k – ускорение Кориолиса (поворотное).Составляющая Кориолисова ускорения обусловлена приращением векторапереносной скорости вследствие изменения длины радиуса вращения l0А,а также поворотом вектора относительной скорости.Согласно правилу Жуковского, для плоского движения направлениеКориолисова ускорения определяется поворотом вектора относительнойскорости на 90° в направлении переносной угловой скорости, а величинаускорения рассчитывается по формуле:(3.32)a AAx k = 2ω АОVAAx = 2ω xxVAAx .На плане ускорений строим сумму векторов (3.28).

Из точки axоткладываем отрезок axr = 2ω xxVAAx µ a в направлении, определямомповоротом вектора VAAx на 90° в сторону ω АО. Через точку r проводим прямую,соответствующую направлению ускорения a AAx r , параллельно ОА.Второе уравнение для определения ускорения a A запишем, рассмотревдвижение звена АВ. Звено АВ вращается относительно неподвижной точки В.Исходя из этого:(3.33)a A = a AB n + a AB τ ,где aAB n = ω2ABlAB и направлено параллельно АВ в сторону центравращения В;a AB τ направлено перпендикулярно звену АВ.На плане ускорений строим сумму векторов (3.33).

Из точки b (pa)откладываем отрезок bn = ω AB2 lAB µ a. Через точку n проводим прямую,соответствующую направлению ускорения a AB τ , до пересечения с прямой,соответствующей направлению ускорения a AAx r , в точке a.Соединяя точку pa с точкой a, получаем вектор a A , который изображаетабсолютное ускорение точки A, вычисляемое по формулам (3.31), (3.33):a A = p aa µ a .(3.34)3.7. Свойства плана ускоренийНа основании рассмотренных построений можно вывести следующиесвойства плана ускорений:− векторы абсолютных ускорений всегда выходят из полюса;− отрезки, соединяющие концы векторов абсолютных ускорений на планеускорений, изображают полные относительные ускорения. Направлениеотносительного ускорения к той букве плана ускорений, которая стоит первая вего обозначении;− полные нормальные ускорения всегда выходят от полюса и направленык центру вращения звена;− неподвижные точки механизма на плане ускорений находятся в полюсе;− векторы относительных ускорений точек жесткого звена образуют наплане ускорений фигуру, подобную этому звену и повернутую относительно егона угол (180° – ϕ ) в направлении углового ускорения.

Этим определяетсяпринцип подобия в плане ускорений;− зная относительные ускорения хотя бы двух точек звена, можноопределить ускорение любой точки этого звена, пользуясь принципом подобия;− имея построенный план ускорений можно определить мгновенныйцентр ускорений (МЦУ).3.8. Определение скоростей и ускорений структурных групп3.8.1. Группа Ассура 1-го видаЗадача 1. Построение плана скоростей.Дано: скорости точек VA и VC (рис.

28, а).а)б)Рис. 28. Построение плана скоростей структурной группы 1-го видаОпределить: скорости точек VB , VD , VE ; угловые скорости звеньев ω AB,ω BC.Выразим скорость точки В в виде суммы векторов переносного иотносительного движения:VB = VC + VBC ;(3.35)VB = VA + VBA . Скорость точки В неизвестна ни по величине, ни по направлению.Относительные скорости VBA и VBC неизвестны по величине, но известны понаправлению:VBA ⊥ AB ; VBC ⊥ BC .Система векторных уравнений определима, если число уравнений равночислу неизвестных, умноженному на 2. Наша система содержит два векторныхуравнения и четыре неизвестных.Строим план скоростей (рис.

28, б). Откладываем произвольныйотрезок рVа в направлении вектора VA , определяем масштабный коэффициент:µ V = VA / рVа.С учетом масштабного коэффициента откладываем отрезок рVс внаправлении вектора VC :pVс = Vc / µ V.Строим сумму векторов (3.35).Через точку а проводим прямую, перпендикулярную АВ, через точку с –прямую, перпендикулярную ВС.Точка b пересечения этих прямых (направлений относительныхскоростей) определяет общее решение двух уравнений (VB ):VB = pVb µ V.Скорость точки D определяем по принципу подобия. Для этого строим наотрезке bс подобный и сходственный треугольник (∆ BDC ~ ∆ bdc).Соединяем полюс с точкой d и определяем скорость точки D:VD = pVd µ V.Скорость точки Е определяем также по принципу подобия:АВ / АЕ = ab / ae,(3.36)отсюдаае = аb АЕ / АВ.(3.37)Отложив на отрезке аb плана скоростей длину отрезка ае, соединяемточку е с полюсом и определяем скорость точки Е:VE = рVе µ V.Далее определяем угловые скорости звеньев:ω BA =VBA l = ab ⋅ µV AB ⋅ µ ; l ABω BC =VBC l = cb ⋅ µV CB ⋅ µ ,l BC(3.38)где ω BA – угловая скорость звена АВ;ω BC – угловая скорость звена ВС;АВ, ВС – отрезки на плане механизма, изображающие длины звеньев;µ l – масштабный коэффициент длин.Чтобыопределитьнаправлениеугловыхскоростей,векторыотносительных скоростей ba и bc следует мысленно перенести в точку Вплана механизма.

Вектор относительной скорости ba вращает звено АВ почасовой стрелке, вектор bc вращает звено ВС против часовой стрелки (рис. 28).Задача 2. Построение плана ускорений.Дано: ускорения точек a A и aC (рис. 29, а). Известны все скорости, так какплан скоростей уже построен (рис. 28, б).а)б)Рис. 29. Построение плана ускорений структурной группы 1-го видаОпределить: ускорения точек aB , aD , aE ; угловые ускорения звеньев ε BA,ε BC.Векторные уравнения для построения плана ускорений:aB = a A + aBAn + aBAτ ; (3.39)nτ aB = aC + aBC + aBC .Векторы a A , aC известны по величине и направлению. Величину векторовaBAn , aBC n можно определить, а направления их известны:аВAn = ω AB2 lAB ; aBAn АВ (вектор направлен от точки В к точке А);аВCn = ω BC2 lBC ; aBC n ВС (вектор направлен от точки В к точке С).Касательные составляющие относительных ускорений известны только понаправлению:aBAτ ⊥ AB ;aBC τ ⊥ BC .Таким образом, имеется два векторных уравнения с четырьмянеизвестными, которые необходимо решить, чтобы определить ускорение aB .Из полюса pa (рис.

29, б) откладываем в направлении вектора a A отрезокпроизвольной длины paа.Определяем масштабный коэффициент плана ускорений:µ a = аA / paа.С учетом масштаба строим все остальные векторы. Ускорение точки С –в виде отрезка pac:p aс = а C / µ a.Из точек а и с откладываем в масштабе векторы aBAn и aBC n всоответствующих направлениях:аn = аВAn / µ a; an AB;cn1 = аВCn / µ a; cn1 BC.Через точки n и n1 проводим прямые, соответствующие направлениямкасательных ускорений (через точку n – перпендикуляр к звену АВ, черезточку n1 – перпендикуляр к звену ВС).Точка пересечения этих двух прямых определяет ускорение точки В:аВ = pab ⋅ µ a.Ускорения точек D и Е определяются по правилу подобия.

Для этого наотрезке be, изображающем полное относительное ускорение aBC , строимтреугольник bde, подобный и сходственный с треугольником BDC. Находимускорение точки:a D = p ad ⋅ µ a.Из пропорционального деления отрезков определяют отрезок,изображающий ускорение точки Е:ае = ab ⋅ АЕ / АВ,затем длину отрезка пе умножают на масштабный коэффициент:аE = ne ⋅ µ a.Угловые ускорения находят по касательным составляющим относительныхускорений (рис.

29, б):aBAτ nb ⋅ µaεAB ==.lABAB ⋅ µl(3.40)Направления угловых ускорений звеньев определяют, мысленно переносявекторы n1b и n b с плана ускорений в точку В. Первый вектор вращаетзвено ВС против часовой стрелки, второй – вращает звено АВ по часовойстрелке.Направления угловых ускорений показаны круговыми стрелками (рис. 29, а).3.8.2. Группа Ассура 2-го видаПостроение планов скоростей и ускорений рассмотрим на примерекривошипно-ползунного механизма (рис.

30).Порядок построения, обозначения, формулы аналогичны рассмотреннымранее, поэтому этот и последующие разделы даны в конспективной форме, безподробных текстовых объяснений.а)б)в)Рис. 30. Пример построения плана скоростей и ускорений структурной группы2-го вида: а) план механизма; б) план скоростей; в) план ускоренийПример.Дано: кинематическая схема механизма; угловая скорость кривошипа ω ОА.Определить: скорость и ускорение точки В; угловую скорость и угловоеускорение звена АВ.Механизм образован присоединением к ведущему звену группы АссураII класса 2-го вида.

Выделим эту группу и построим для нее план скоростей(рис. 30, б). Скорость точки В определим с помощью уравнения:VB = VA + VBA .Известны величина и направление скорости точки A, вычисляемой поформуле VA = ω OA ⋅ lOA ; направления скоростей VBA и VB , где VBA ⊥ AB ;VB x-x.Отрезок paа, изображающий скорость точки А на плане, выбираемпроизвольным по величине.Масштабный коэффициент µ V = VA / pVа.Через точку А проводим направление относительной скорости VBA ⊥ AB ;через полюс (неподвижную точку) проводим направление абсолютной скороститочки В – горизонтальную прямую, параллельную x-x. Определяем скоростьточки ВVB = p V b ⋅ µ V .Угловая скорость звена АВω AB = VBA / lAB = ab ⋅ µ V / АВ ⋅ µ l.Вектор относительной скорости вращает звено против часовой стрелки(рис.

30).План ускорений строим по уравнению:aB = a A + aBA = a A + aBAn + aBAτ ,где a n BA = ω 2 ABl AB ; a n BA AB;aBAτ ⊥ AB, aB x − x .На плане ускорений, построенном с учетом масштабного коэффициентаµa = a A p a , правая часть уравнения изображена соответствующимиaвекторами: pa a , an , nb .Результирующий вектор pab изображает абсолютное ускорение точки ВaB = pab ⋅ µa .Угловое ускорение звена АВ находим по касательной составляющей aBAτ :τanb ⋅ µaBAεAB =AB ⋅ µl .l AB =Направление углового ускорения находим, перенося вектор касательнойсоставляющей относительного ускорения nb в точку В механизма (рис.