tul7 (Лекции по теории управления)

Лекция 7.3.1.5. Анализ устойчивостиПОСТАНОВКА ЗАДАЧИРассматривается одномерная линейная стационарная система, описываемая передаточной функциейW (s ) bm  s m    b0na n  s    a0M (s ).D (s )Требуется определить, является ли система асимптотически устойчивой.КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИПри решении поставленной задачи используется следующий факт: корни характеристического многочлена D (s )  an  s n    a0 (или, что то же самое, корни характеристического уравнения an  n    a0  0 ) являются полюсами передаточной функции.В общем случае характеристический многочлен имеет n корней s1 ,  , s n .Для асимптотической устойчивости одномерной линейной стационарной системы необходимо и достаточно, чтобы все полюсы передаточной функции имели отрицав левой потельные действительные части: Re s i  0, i  1,  , n , т.е.

располагалисьлуплоскости комплексной плоскости.Пример 1. Исследовать устойчивость системы, заданной передаточной функциейs 1W (s ) .(s 2  s  5)  (s  3) Найдем полюсы передаточной функции, т.е. корни характеристического многочлена: D (s )  (s 2  s  5)  (s  3)  0 . Получаем s1,2  1  2i , s 3  3 . Так как все полюсы лежат в левой полуплоскости, то исследуемая система является асимптотически устойчивой.Пример 2. Исследовать устойчивость разомкнутой и замкнутой системы, заданнойструктурной схемой (рис.1 ).g1s 1x2Рис. 11 Сначала исследуем разомкнутую систему (линия размыкания изображена пунк2, то полюс петиром). Так как передаточная функция разомкнутой системы W p (s ) s 1редаточной функции s1  1  0 . Поэтому разомкнутая система неустойчива.11.Исследуем замкнутую систему.

Получаем W ( s )  s  1 1s 112s 1Полюс s1  1 передаточной функции лежит в левой полуплоскости, поэтомузамкнутая система асимптотически устойчива. Заметим, что путем введения отрицательной обратной связи неустойчивую систему удалось сделать устойчивой.3.1.6. Анализ чувствительностиПОСТАНОВКА ЗАДАЧИРассматривается линейная стационарная система, заданная структурной схемой сизменяемыми параметрами.Способность динамических характеристик системы меняться при малом изменениипараметров называется чувствительностью.Требуется установить степень чувствительности системы к изменению выбранныхпараметров.АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯЯ ЗАДАЧИ1.

Выбрать изменяемый параметр и исследуемую характеристику. С использованием связи вход-выход составить формулу, отражающую их взаимозависимость.2. Малым изменениям параметров придать смысл вариаций относительно заранеезаданных значений.3. Найти зависимость вариации исследуемой характеристики от вариации изменяемого параметра – функцию чувствительности.

Провести качественный анализ полученной зависимости.Пример 3. Дана система, описываемая структурной схемой (рис. 2).gyxW1 (s )W 0 (s )W 2 (s )Рис. 2Передаточные функции объекта и регуляторов имеют вид2W 0 (s )  k 0 W 00 (s ),W1 (s )  k1 W10 (s ),W 2 (s )  k 2 W 20 (s ).где k1 и k 2 – коэффициенты усиления регуляторов, а k 0 – изменяемый параметр.Требуется исследовать влияние вариации параметра k 0 прямой цепи на изображение выходного сигнала системы. Согласно постановке задачи, изменяемым параметром является k 0 , а исследуемой характеристикой – выходной сигнал. Используем связь вход-выход:X (s )  W (s )  G ( s ) W1 ( s )  W 0 ( s ) G (s ) 1  W1 ( s )  W 0 ( s )  W 2 ( s )W1 (s )  k 0  W 00 (s ) G (s ).1  W1 (s )  k 0  W 00 (s )  W 2 (s )2. Придадим малым изменениям параметра k 0 смысл вариаций k 0 .3. Найдем связь вариаций k 0 с вариациями выходного сигнала:X (s )  [W (s )  G (s ) ] k0  k0W1 (s )  W 00 (s )  [ 1  W1 (s )  k0  W 00 (s )  W 2 (s ) ]  W1 (s )  k0  W 00 (s )  W1 (s )  W 00 (s )  W 2 (s )[ 1  W1 (s )  k0  W 00 (s )  W 2 (s ) ]2 G (s )  k0 W1 (s )  W 00 (s )[ 1  W1 (s )  k0 W 00 (s )  W 2 (s ) ]2 G (s )  k0 .Учитывая вид передаточных функций регуляторов, получаем:X (s ) k1  W10 (s )  W 00 (s )[ 1  k1  W10 (s )  k 0  W 00 (s )  k 2  W 20 (s ) ]2 G (s )  k 0 .При k 2   вариация выходного сигнала X (s )  0 , т.е.

при увеличении коэффициента усиления k 2 влияние вариации k 0 изменяемого параметра k 0 уменьшается.Заметим, что влияние коэффициента k1 аналогично. При отсутствии цепи обратной связиописанное свойство не выполняется.На основании проведенных рассуждений можно сформулировать характерноесвойство соединения с обратной связью: обратная связь компенсирует влияние вариациипараметров прямой цепи на выход системы.Пример 4. Дана система, описываемая структурной схемой (рис. 3).3fgW1 (s )xW 0 (s )W 2 (s )yРис. 3ПередаточныефункциирегуляторовимеютW 2 (s )  k 2 W 20 (s ) , где k1 и k 2 – коэффициенты усиления.видW1 (s )  k1 W10 (s ),Требуется исследовать влияние внешнего возмущения f на изображение выходного сигнала системы. 1.

Согласно постановке задачи изменяемым параметром является f , а исследуемой характеристикой – выходной сигнал. Используя связь вход-выход с применением передаточной функции по возмущению при отсутствии сигнала g , имеем:X (s ) W 0 (s )1  W 0 (s )  W1 (s )  W 2 (s ) F (s ).2.

Придадим малым изменениям внешнего возмущения f смысл вариаций f(при использовании преобразования Лапласа F ).3. Найдем связь вариаций внешнего возмущения с вариациями выходного сигнала:X (s ) FW 0 (s )W 0 (s ) F (s )  F  F 1  W 0 (s )  W1 (s )  W 2 (s )1  W 0 (s )  W1 (s )  W 2 (s )W 0 (s ) F .1  W 0 (s )  k1  W10 (s )  k 2  W 20 (s )При k 2   вариация выходного сигнала X (s )  0 , т.е. при увеличении коэффициента усиления k 2 уменьшается влияние изменений внешнего возмущения. Заметим,что влияние коэффициента k1 аналогично. При отсутствии цепи обратной связи описанное свойство не выполняется.На основании проведенных рассуждений можно сформулировать еще одно характерное свойство соединения с обратной связью (первое свойство сформулировано и доказано при решении примера 3): в замкнутой системе подавляется влияние внешних возмущений, действующих в прямой цепи.43.2.

МНОГОМЕРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫПРИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ.ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА3.2.1. Описание сигналов и систем1. Описание сигналов. Используется преобразование Лапласа сигнала g (t ) :G (s )  Lg (t ) g (t ) e  st dt ,0где g (t ) – r-мерная вектор-функция; G (s ) – ее изображение по Лапласу.2. Описание систем. Рассматриваются линейные стационарные многомерные системы, описываемые уравнениями:x (t )  A x (t )  B g (t ) , x(0)  x 0 ;y (t )  C x (t ) ,где x – n-мерный вектор состояния; g – r-мерный вектор входных воздействий; y – kмерный вектор выхода; x 0 – начальное состояние; t – время, t 0  0 – начальный моментвремени; A, B, C – матрицы размера ( n  n ), ( n  r ), ( k  n ) соответственно.Импульсные переходные функции по состоянию и выходу стационарной системыявляются функциями разности t     своих аргументов:K x (t , )  K x (t  )  K x () ,K y (t , )  K y (t  )  K y () .Передаточной функцией W x (s ) стационарной линейной многомерной системыпо состоянию называется преобразование Лапласа импульсной переходной функции посостоянию:xxW (s )  L K () K x () e  sd .0Передаточной функцией W y (s ) стационарной линейной многомерной системыпо выходу называется преобразование Лапласа импульсной переходной функции по выходу:W y (s )  L K y () K y () e  sd .0Передаточные функции W x (s ) , W y (s ) представляются матрицами размера( n  r ), ( k  r ) соответственно, элементы которых являются функциями комплексногопеременного s .

Они могут быть найдены по формуламW x (s )   sE  A  B ,1W y (s )  C  sE  A  B .1З а м е ч а н и е. Еще один способ нахождения переходной матрицы:5()  L1 sE  A  ,1где L1 – обратное преобразование Лапласа.3.2.2. Связи вход-состояние и вход-выходПрименяя преобразование Лапласа к левой и правой частям уравнений состояния ивыхода, имеемsX (s )  x 0  A X ( s )  B G (s ) ,Y (s )  C X (s ) ,где X (s )  L x (t ) , Y (s )  L y (t ) , G (s )  L g (t ) – изображения по Лапласу векторовсостояния, выхода и входа.

ОтсюдаX (s )   sE  A  x 0   sE  A  B G (s ) ,11Y (s )  C  sE  A  x 0  C  sE  A  B G ( s ) .11Учитывая определения передаточных функций по состоянию и выходу, получаемискомые связи вход-состояние и вход-выход:X (s )   sE  A  x 0  W x ( s ) G (s ) ,1Y (s )  C  sE  A  x 0  W y (s ) G (s ) .1Первые слагаемые представляют собой изображения по Лапласу свободного движения, авторые – вынужденного.3.2.3. Анализ выходных процессовПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть известны:а) входной сигнал g (t ) ;б) линейная стационарная многомерная система, описываемая уравнениями;в) начальные условия x (0)  x 0 .Требуется найти законы изменения вектора состояния x (t ) и вектора выходаy (t ) .6АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ1. Найти изображение входного сигнала: G (s )  L g (t ) .2.

Найти матрицы  sE  A  , C  sE  A 11и передаточные функции по формуламW x (s )   sE  A  B ,1W y (s )  C  sE  A  B .13. Используя связи вход-состояние и вход-выход, найти изображение по Лапласузаконов изменения векторов состояния и выхода:X (s )  sE  A 1 x 0  W x (s ) G (s ) ,  X c (s )X вын ( s )Y (s )  C sE  A 1 x 0  W y (s ) G (s ) .  Yc ( s )Y вын ( s )4. Найти законы изменения векторов состояния и выхода с помощью обратногопреобразования Лапласа:x (t )  L1 X (s )  x c (t )  x вын (t ) ,y (t )  L1 Y (s )  yc (t )  y вын (t ) .При выполнении пп.

1 и 4 применяются табл.1 преобразования Лапласа и его свойства.7.