tul6 (Лекции по теории управления)

Лекция 6.2.2. МНОГОМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ ПРИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХВОЗДЕЙСТВИЯХ2.2.1. Описание сигналов и систем1. Описание сигналов. Сигналы, действующие в системе, описываются функциями времени (см. разд. 1.2.1). Среди них выделяют два типовых сигнала: импульсное воздействие в виде дельта-функции (t  ) и единичную ступенчатую функцию 1(t  ) .2. Описание систем. Многомерные нестационарные системы описываются уравнениями состояния и выхода:x (t )  A(t ) x (t ) + B (t ) g (t ) ,y t   C t  x t  ,где x – n -мерный вектор состояния; g – r -мерный вектор входных воздействий; y – k мерный вектор выхода; t – время; A(t ) , B (t ) , C (t ) – матрицы размера (n  n) , (n  r ) ,(k  n) соответственно.Преобразование сигналов в системе отражено на рис.

1.Закон изменения i-й координаты вектора состояния при воздействииg j (t )  (t  ) на j-м входе, нулевых воздействиях на остальных входах и нулевых начальных условиях называется импульсной переходной функцией по состояниюK ixj (t , ) , i  1, , n ; j  1, , r .Закон изменения p-й координаты вектора выхода при воздействии g j (t )  (t  )на j-м входе, нулевых воздействиях на остальных входах и нулевых начальных условияхназывается импульсной переходной функцией по выходу K py j (t , ) , p  1,..., k ;j  1, , r .Импульсные переходные функции по состоянию и выходу представляются матри-цами K x (t , ) K ixj (t , ) , K y (t , ) K py j (t , )размера (n  r ) , (k  r ) соответст-венно.

Как и в случае одномерных систем (см. разд. 2.1.1), импульсные переходныефункции удовлетворяют условию физической реализуемости:K x (t , )  0 при t   ,K y (t , )  0 при t   ,а для стационарных систем, описываемых уравнениямиx (t )  A x (t )  B g (t ) ,y (t )  C x (t ) ,1зависят только от разности t     своих аргументов:K x (t , )  K x (t  )  K x () ,K y (t , )  K y (t  )  K y () .2.2.2. Связи вход-состояние и вход-выходИмпульсные переходные функции позволяют определить законы изменения векторов состояния и выхода при нулевых начальных условиях, т.е. вынужденное движениесистемы.Для многомерных нестационарных систем они находятся по формуламtx (t ) =txK (t , ) g () d ,y (t ) =t0K y (t , ) g () d ,(*)t0где t0 – момент начала функционирования системы (возможен случай t0    ).Для многомерных стационарных систем законы изменения векторов состояния ивыхода находятся по формуламtx (t ) 0ty (t ) 0tK (t  ) g () d   K x () g (t  ) d ,x0t(**)K y (t  ) g () d   K y () g (t  ) d.02.2.3.

Нахождение импульсных переходных функцийСравнивая (*) с формулой Коши при нулевых начальных условиях, получаем формулы для нахождения импульсных переходных функций:K x (t , )  (t , ) B () ,K y (t , )  C (t ) (t , ) B () ,где (t , ) – переходная матрица.Для стационарных систем имеемK x ()  () B ,K y ()  C () B .2.2.4. Анализ выходных процессовПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть заданы:а) входной сигнал g (t ) ;б) система, описываемая уравнениями состояния и выхода;в) нулевые начальные условия.Требуется найти законы изменения вектора состояния x (t ) и вектора выходаy (t ) .2АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ1.

Найти переходную матрицу (одним из трех способов).2. Найти импульсные переходные функции.3. Определить законы изменения векторов состояния и выхода системы по формулам (*) или (**).Глава 3. ОПИСАНИЕ И АНАЛИЗ НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМС ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ3.1. ОДНОМЕРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ ПРИДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ. ПРИМЕНЕНИЕПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА3.1.1. Описание сигналов и систем1. Описание сигналов.

Для описания сигналов используется преобразование Лапласа:G (s )  L[ g (t )] g (t ) e  st dt ,0где g (t ) – сигнал (оригинал); G (s ) – его изображение по Лапласу.2. Описание систем. Рассматриваются линейные одномерные стационарные системы управления, описываемые дифференциальным уравнениемan x (n) (t )    a0 x (t )  bm g (m) (t )    b0 g (t ) ,где g (t ) и x (t ) – входной и выходной сигналы; m и n – порядки старших производныхвходного и выходного сигналов соответственно; an ,  , a0 , bm ,  , b0 – коэффициенты,не зависящие от времени.Импульсная переходная функция k (t , ) стационарной системы является функциейразности своих аргументов k (t , )  k () ,   t   (см.

разд. 2.1.1).Передаточной функцией W ( s ) стационарной линейной системы называется преобразование Лапласа импульсной переходной функции k () :W (s )  L[k ()]  k () e sd .0Передаточная функция является функцией комплексного переменного s .По дифференциальному уравнению системы передаточная функция находится следующим образом:3M ( p)W (s ) D ( p)psbm s m    b1 s  b0an s n    a1 s  a0,(*)где D ( p)  an p n  a1 p  a0 ; M ( p)  bm p m  b1 p  b0 – дифференциальные операторы левой и правой части уравнения.Корни числителя передаточной функции, удовлетворяющие уравнению M (s )  0 ,называются нулями передаточной функции.

Корни знаменателя передаточной функции,удовлетворяющие уравнению D (s )  0 , называются полюсами передаточной функции.При выводе формулы предполагается, что на вход системы, описываемой уравнением, подается сигнал g ()  () при нулевых начальных условиях. Поэтому выходомсистемы является импульсная переходная функция k () :an k (n ) ()  ...

 a0 k ()  bm  (m) ()  ...  b0 () ,k (i ) (0)  0,i  1,..., n  1 .Применим преобразование Лапласа к левой и правой частям уравнения, используясвойства:а) линейности:nL[  ck f k () ] k 1n ck L[ f k ()] ,k 1где f1 (),..., f n () – оригиналы; c1 ,..., c n – числа;б) дифференцирования оригинала:L[ x (n ) (t )]  s n X (s )  s n 1 x 0    s x 0(n  2)  x 0(n 1) ,где X (s )  L[x (t )] , а x (0)  x 0 , x (0)  x 0 ,..., x (n 1) (0)  x 0(n 1) – начальные условия. Принулевых начальных условиях справедливо равенствоL[ k (i ) () ]  s i L[ k () ]  s i W (s ),L[ x (n ) (t )]  s n X (s ) , например,i  1,..., n;в) преобразования дельта-функции и ее производных:L[ () ]  1,L[  ( j ) () ]  s j , j  1,..., m .В результате получаемan L[k (n) ()]  ...

 a0 L[k ()]  bm L[ (m) ()]  ...  b0 L[()]илиan s nW (s )  ...  a0W (s )  bm s m  ...  b0 ,W (s ) (an s n  ...  a0 )  bm s m  ...  b0 .Отсюда следует связь передаточной функции с дифференциальным уравнением.Пользуясь формулой (*) и уравнениями звеньев можно получить передаточныефункции элементарных и типовых звеньев:а) усилительного: W (s )  K ;4б) дифференцирующего: W (s )  s ;1;s1;г) апериодического: W (s ) T s 11;д) колебательного: W (s )  2 2T s  2T s  1в) интегрирующего: W (s ) е) неустойчивого апериодического: W (s ) ж) неустойчивого колебательного W (s ) 1;T s 11T 2 s 2  2T s  1;з) дифференцирующего первого порядка: W (s )  T s  1 ;и) дифференцирующего второго порядка: W (s )  T 2 s 2  2 T s  1 ;к) чистого запаздывания: W (s )  e   s .Заметим, что последняя формула следует из вида импульсной переходной функцииk ()  (  ) звена чистого запаздывания и свойства запаздывания.3.1.2.

Связи вход-выходВыходной сигнал представляется в виде суммы свободного и вынужденного движений с помощью формулы, следующей из (1.27) при t 0  0 :x (t )  x“ (t )  x"/… (t )  1 (t ) ,(3.5)где функции x“ (t ) , x"/… (t ) – n раз непрерывно дифференцируемы.Обозначим X (s )  L[ x (t )] , X “ (s )  L[ x“ (t )] , X вын (s )  L[ x вын (t )  1 (t )] – изображения по Лапласу выходного сигнала, свободного и вынужденного движения соответственно.С использованием свойств преобразования Лапласа получаем:L[ x c(n) (t )]  s n X c (s )  s n 1 x 0    s x 0(n  2)  x 0(n 1) ,(3.6)L[{x"/… (t )1 (t )}(n) ]  s n X "/… ( s ) .Из (3.6) и (3.5) имеемL[ x (n) (t )]  s n [ X c (s )  X вын (s )]  s n 1 x 0    s x 0(n  2)  x 0(n 1) .При n  0 из (3.5) и (3.6) следует, что(3.7)X (s )  X “ ( s )  X "/… ( s ) .

ПоэтомуL[ x (n) (t )]  s n X (s )  s n 1 x 0    s x 0(n  2)  x 0(n 1) .5Выполним преобразование Лапласа от левой и правой частей дифференциальногоуравнения (3.2):,используя (3.7) и свойство L[ { g (t ) 1 (t ) }(m) ]  s m G (s ) .В результате получаемL[ an x (n ) (t )    a0 x (t ) ]  D (s ) X (s )  D н (s ) ,L[ bm { g (t ) 1 (t ) }(m)    b0 { g (t ) 1 (t ) } ]  M (s ) G (s ) ,D ( s )  an s n  a0 ;гдеM (s )  bm s m  b0 ;D … (s )  x 0 (a1  a 2 s  a n s n 1 )  x 0 (a 2  a 3 s  a n s n  2 )  x 0(n  2) (a n 1  a n s )  x 0(n 1)a n  s n 1 a n x 0  s n  2 [ a n x 0  a n 1 x 0 ]  [a n x 0 (n 1)  a n 1 x 0 (n  2)  a 2 x 0  a1 x 0 ].(3.8)Окончательно имеем:D (s ) X (s )  D н ( s )  M (s ) G ( s )или с учетом (3.3):X (s )  X c (s )  X вын (s ) D н (s )D (s )D (s )M (s )G (s )  н W (s ) G ( s ) .D (s )D (s )(3.9)Если начальные условия нулевые, то D … ( s )  0 и выходной сигнал совпадает с вынужденным движением:X (s )  W (s ) G (s ) .(3.10)Из (3.10) следует эквивалентное определение передаточной функции как отношения изображения по Лапласу выходного сигнала к изображению входного сигнала принулевых начальных условиях.3.1.3.

Передаточные функции соединенийНАХОЖДЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ ПО СТРУКТУРНОЙ СХЕМЕЕсли система представляет собой соединение звеньев, то передаточная функциясистемы определяется с помощью формул:для последовательного соединения (см. рис.1,а):W ( s )  W1 (s ) W 2 (s ) ;для параллельного соединения (см.

рис.1,б):6W (s )  W1 ( s )  W 2 (s ) ;для соединения с обратной связью (см. рис. 3.1,в):W (s ) W1 (s )1  W1 (s )  W 2 (s ),где знак «плюс» для отрицательной обратной связи, а «минус» – для положительной;W1 (s ) , W 2 (s ) – передаточные функции первого и второго звеньев.X 1 (s )X 1 (s )G (s )W1 ( s )X (s )X (s )G (s )W 2 (s )W1 (s )W 2 (s )аX 2 (s )бG(s)E (s )W1 ( s )X (s )W 2 (s )X 2 (s )вРис. 1С целью получения формулы W (s )  W1 (s ) W 2 (s ) следует воспользоваться связьювход-выход для первого и второго звеньев:X 1 (s )  W1 (s ) G (s ) ,X (s )  W 2 (s ) X 1 (s ) .Отсюда следует формула для нахождения передаточной функции последовательного соединения:X (s )  W1 (s )W 2 (s ) G (s ) .W (s )Для доказательства формулы W (s )  W1 ( s )  W 2 (s ) следует воспользоваться связью вход-выход для первого и второго звеньев, а также записать уравнение сумматора(см. рис.