tul2 (Лекции по теории управления)

Лекция 2.1. ОПИСАНИЕ И АНАЛИЗ НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМС ПОМОЩЬЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ1.1. ОДНОМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ ПРИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХВОЗДЕЙСТВИЯХ1.1.1. Описание сигналов и систем1. Описание сигналов. Сигналы, действующие в системах управления, во временной области описываются различными функциями, в том числе обобщенными. Выделяютдва типовых сигнала: импульсное воздействие, которое описывается дельта-функцией(t  ) , и единичную ступенчатую функцию 1 (t  ) .1. Дельта-функция (асимметричная) определяется формулой [20]ba f (  0) ,   [a, b ),f (t ) (t  ) dt   0 ,   ( , a)  [b,  ),(1)справедливой для любой кусочно-непрерывной функции f (t ) .Аналогично определяются производные дельта-функции:bf (t ) a(k ) (1)k f (k ) (  0) ,   [a, b ),(t  ) dt   0 ,   ( , a)  [b,  ),где f (t ) – любая функция, имеющая кусочно-непрерывную производную соответствующего порядка.2.

Единичная ступенчатая функция 1 ,1 (t  )   0 ,t  ,t  .(2)Момент  соответствует моменту приложения входного воздействия к системеуправления (рис. 1).Типовые сигналы связаны соотношением1(t  )t1 (  ) d  1(t  ) ,tт.е. дельта-функцию (t  ) можно считатьпроизводной от единичной ступенчатой функции 1(t  ) .Рис. 12. Описание систем. Непрерывныепроцессы, протекающие в системах управления, могут быть описаны обыкновеннымидифференциальными уравнениями с соответствующими начальными условиями. Тогда,1если известен входной сигнал, выходной сигнал определяется в результате решениязадачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.Одномерная линейная непрерывная нестационарная система управления описывается дифференциальным уравнениемan (t )d n x (t )dt n   a0 (t ) x (t )  bm (t )d m g (t )dt m   b0 (t ) g (t )(3)с начальными условиямиx (t 0 )  x 0 , x (t 0 )  x 0 ,..., x (n 1) (t 0 )  x 0(n 1) ,(4)где g (t ) – входной сигнал; x (t ) – выходной сигнал; t – время; an (t ) ,..., a0 (t ) ,порядкиbm (t) ,..., b0 (t ) – коэффициенты левой и правой частей уравнения; n и m –старших производных выходного и входного сигналов соответственно; t 0 – момент начала функционирования системы.Если коэффициенты уравнения постоянны, система называется линейной стационарной:and n x (t )dt n   a0 x (t )  bmd m g (t )dt m   b0 g (t ) .(5)В операторной форме уравнение (1.3) имеет видD(p,t) x(t) = M(p,t) g(t),d– символ, обозначающий операцию дифференцирования; D(p,t), M(p,t) – дифdtференциальные операторы левой и правой частей уравнения (1.3):где p D ( p, t )  an (t ) p n  a1 (t ) p  a0 (t ) ,M ( p, t )  bm (t ) p m  b1 (t ) p  b0 (t ) .Уравнение (1.5) в операторной форме имеет видD ( p) x (t )  M ( p ) g (t ) ,(6)где D ( p)  a n p n  a1 p  a 0 , M ( p)  bm p m  b1 p  b0 .Из операторной формы уравнения следует способ изображения стационарной системы на структурных схемах (рис.

2).gM ( p)D ( p)Рис. 22xСложные системы управления, как правило, состоят из элементарных и типовыхзвеньев.1. Усилительное звено (рис. 3,а) описывается уравнениемx (t )  K (t ) g (t ) ,(7)где K (t ) – коэффициент усиления. Если звено стационарное, то K (t )  K  const .Примеры усилительных звеньев:а) трансформатор (рис. 3,б), где выходное напряжение связано с входным соотношением: U "/.

(t )  KU ". (t ) ;б) редуктор (рис. 3,в), где угловые скорости выходного и входного вала связанычерез соотношение чисел зубьев шестерен:nn2  1 1  K (t ) 1 ,K (t )  K  1 .n2n22n1g (t )K (t )x (t )U ".U "/.1аn2бвРис. 32. Дифференцирующее звено (рис. 4) описывается уравнениемd g (t ).dtx (t ) (8)Выходной сигнал равен производной входного сигнала. Уравнение (8) в операторнойформе имеет вид x (t )  p g (t ) .g (t )px (t )g (t )1px (t )MаРис.

4бРис. 53. Интегрирующее звено (рис. 5,а) описывается уравнениемd x (t ) g (t ).dt(9)3Выходной сигнал получается в результате интегрирования входного. В операторной форме уравнение (9) имеет видp x (t )  g (t )илиx (t ) 1g (t ) .pДля примера рассмотрим процесс изменения угловой скорости  диска с моментоминерции J под действием управляющего момента внешних сил М из состояния покоя(рис. 5,б).dУравнение вращательного движения: J M , (t 0 )  0 .

Отсюда имеемdtMd M, а если положить x   , g , получаем уравнение (9).dtJJ4. Звено чистого запаздывания описывается уравнением x (t )  g (t  ) , гдевеличина запаздывания выходного сигнала относительно входного. –5. Апериодическое звено (рис. 6,а) описывается уравнениемTd x (t ) x (t )  g (t ),dt(10)где Т – действительное положительное число, называемое постоянной времени. Операторная форма записи уравнения (10) имеет вид(Tp  1) x (t )  g (t ) .В качестве примера рассмотрим схему с заданным сопротивлением R и емкостью C(рис.

6,б). В начальный момент времени емкость не заряжена.Rg (t )1Tp  1UCx (t ) U ".iаU ". (t )U "/.U "/. (t )tT  RCбвРис. 6Требуется составить дифференциальное уравнение, описывающее изменение выходного напряжения при условии подачи на вход постоянного напряжения единичнойвеличины.Запишем уравнение второго закона Кирхгофа, соотношение, связывающее ток инапряжение на емкости, и начальные условия:4U вых  iR  U вх ,i CdU вых,dtU вых (t 0 )  U вых (0)  0 .Отсюда следуетRCdU вых (t )dtU вых (0)  0 . U вых (t )  U вх (t ) ,Используя обозначения T  RC , x  U "/. , g  U ".

, получаем уравнение вида(10). Если g (t )  U ". (t )  1 (t ) , то решение этого линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет видx (t )  U вых (t )  1  etT,t  0.На рис. 6, в изображены входной и выходной (заметим, что он непериодический) сигналы.6. Колебательное звено (рис. 7,а) описывается уравнениемT2d 2 x (t )dt2dx (t ) x (t )  g (t ),dt 2T(11)где T  0 – постоянная времени;  – коэффициент демпфирования,   1 .Для примера рассмотрим схему с известными параметрами R, L, C (рис. 7,б).

Вначальный момент времени ток в цепи отсутствует, а емкость не заряжена. Требуется составить дифференциальное уравнение, описывающее изменение выходного напряжения.UU ". (t )RL1g (t )1T 2 p 2  2  Tp  1Cx (t ) U ".U "/. (t )U "/.tiабвРис. 7Запишем уравнение второго закона Кирхгофа, соотношение, связывающее ток инапряжение на емкости, и начальные условия:diL iR  U вых  U вх , U вых (0)  0,dtd U выхi C, i (0)  0 .dt5Отсюда получаемLCd 2U вых (t ) RCdt 2dU вых (t )dt U вых (t )  U вх (t ).R C, U "/.  x , U ".

 g .Гра2 Lфик типовой реакции рассматриваемой схемы на единичное ступенчатое входное напряжение при комплексных корнях характеристического уравнения с отрицательной вещественной частью и нулевых начальных условиях изображен на рис. 7,в.По сравнению с (11) здесь T  LC ,  7. Неустойчивое апериодическое звено (рис. 8,а) описывается уравнениемTd x (t ) x (t )  g (t ),dtгде T  0 – число, называемое постоянной времени.8. Неустойчивое колебательное звено (рис. 8,б) описывается уравнениемT2d 2 x (t )dt2 2Td x (t ) x (t )  g (t ),dtгде T  0 – постоянная времени;  – коэффициент демпфирования.9. Дифференцирующее звено первого порядка (рис. 8,в) описывается уравнениемx (t )  Td g (t ) g (t ),dtгде Т – постоянная времени.10.

Дифференцирующее звено второго порядка (рис. 8,г) описывается уравнениемx (t )  Tg1T p 1xg2d 2 g (t )dt12 2TxT 2 p 2  2Tp  1gd g (t ) g (t ).dtTp  1xgT 2 p 2  2Tp  1xРис. 8З а м е ч а н и е. Первые четыре звена называются элементарными, так какони не могут быть представлены через другие звенья.61.1.2.

Связь вход-выходРассмотрим систему, описываемую дифференциальным уравнениемan (t ) x (n) (t )    a0 (t ) x (t )  bm (t ) g (m) (t )    b0 (t ) g (t ) ;(12)с начальными условиямиx (t 0 )  x 0 , x (t 0 )  x 0 ,..., x (n 1) (t 0 )  x 0(n 1) .(13)Требуется по заданному входному сигналу и начальным условиям найти выходнойсигнал.Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции: эффект, вызываемыйсуммой нескольких воздействий, равен сумме эффектов каждого из воздействий в отдельности. Поэтому выходной сигнал линейной системы представляется в виде суммысвободного и вынужденного движений:x (t )  xc (t )  x"/… (t ) .(14)Свободное движение xc (t ) происходит при отсутствии внешнего воздействия( g (t )  0 ) вследствие ненулевых начальных условий.

Оно является решением однородного дифференциального уравнения, соответствующего исходному уравнению системы:an (t ) x (n ) (t )  ...  a0 (t ) x (t )  0(15)с начальными условиями (13). В случае, когда начальные условия нулевые, свободноедвижение в системе отсутствует ( x c (t )  0 ).Вынужденное движение x "/… (t ) происходит вследствие внешнего воздействияg (t ) при нулевых начальных условиях.

Оно является решением неоднородного уравнения (12) при нулевых начальных условиях. Вынужденное движение x"/… (t ) отлично отнуля только после приложения внешнего воздействия. Подчеркивая эту причинноследственную связь, вынужденное движение системы при внешнем воздействии, отличном от нуля при t  t 0 , будем обозначать x"/… (t )  1 (t  t 0 ) , где 1 (t  t 0 ) – единичная ступенчатая функция (2).Выходной сигнал системы будет иметь видx (t )  x“ (t )  x"/… (t )  1 (t  t 0 ) ,(16)где функции x“ (t ) , x"/… (t ) можно считать n раз непрерывно дифференцируемыми.З а м е ч а н и я.1. Общее решение однородного уравнения (15) находится по формулеx 0 (t )  c1 1 (t )    c n  n (t ) ,(17)где c1 ,...