Презентация 8. Структура решения СЛАУ (Лекции в виде презентаций)

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА12.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАксиомы линейного пространстваЛинейным (векторным) пространством называется множество V произвольныхэлементов, называемых векторами, в котором определены операции сложения векторов иумножения вектора на число, т.е. любым двум векторам u и v поставлен в соответствиевектор u + v , называемый суммой векторов u и v , любому вектору v и любому числу λпоставлен в соответствие вектор λv , называемый произведением вектора v на число λ , такчто выполняются следующие условия:1) u + v = v + u ∀u, v ∈V ;(коммутативность сложения)2) u + (v + w ) = (u + v ) + w∀u, v , w ∈V; (ассоциативность сложения)3) существует такой элемент o ∈V , называемый нулевым вектором, что v + o = v∀v ∈ V ;4) для каждого вектора v существует такой вектор (− v )∈V , называемыйпротивоположным вектору v , что v + (− v ) = o ;5) λ(u + v ) = λu + λv∀u, v ∈V6) (λ + µ ) v = λv + µv∀v ∈ V7) λ(µv ) = (λµ ) v∀v ∈ V, ∀λ ∈ R ;, ∀λ, µ ∈ R ;, ∀λ, µ ∈ R ;8) 1 ⋅ v = v ∀v ∈ V .Условия 1–8 называются аксиомами линейного пространства.

Знак равенства,поставленный между векторами, означает, что в левой и правой частях равенства представлен1один и тот же элемент множества V . Такие векторы называются равными.Линейное пространство – это непустое множество, так как обязательно содержитнулевой вектор.Операции сложения векторов и умножения вектора на число называются линейнымиоперациями над векторами.Разностью векторов u и v называется сумма вектора u с противоположнымвектором (− v ) и обозначается: u − v = u + (− v ) .Два ненулевых вектора u и v называются коллинеарными (пропорциональными),если существует такое число λ , что v = λu . Понятие коллинеарности распространяется налюбое конечное число векторов. Нулевой вектор o считается коллинеарным с любымвектором.В определении линейного пространства операция умножения вектора на числовведена для действительных чисел.

Такое пространство называют линейнымпространством над полем действительных (вещественных) чисел, или, короче,вещественным линейным пространством. Если в определении вместо поля действительных чисел взять поле комплексных чисел  , то получим линейноепространство над полем комплексных чисел, или, короче, комплексное линейноепространство.Далее, если не оговорено противное, будут рассматриваться вещественные линейныепространства. В некоторых случаях для краткости будем говорить о пространстве, опускаяслово линейное, так как все пространства, рассматриваемые ниже, – линейные.2Примеры линейных пространств1. Обозначим { o } – множество, содержащее один нулевой вектор, с операциямиo + o = o и λo = o .

Для указанных операций аксиомы 1–8 выполняются. Следовательно,множество { o } является линейным пространством над любым числовым полем. Этолинейное пространство называется нулевым.2. Обозначим V1 , V2 , V3 – множества геометрических векторов (направленных отрезков)на прямой, на плоскости, в пространстве соответственно с обычными операциями сложениявекторов и умножения векторов на число [3]. Выполнение аксиом 1–8 линейногопространства следует из курса элементарной геометрии. Следовательно, множества V1 , V2 , V3являются вещественными линейными пространствами. Вместо свободных векторов можнорассмотреть соответствующие множества радиус-векторов.

Например, множество векторовна плоскости, имеющих общее начало, т.е. отложенных от одной фиксированной точкиплоскости, является вещественным линейным пространством. Множество радиус-векторовединичной длины не образует линейное пространство, так как для любого из этих векторовсумма v + v не принадлежит рассматриваемому множеству.3. Обозначим  n – множество матриц-столбцов размеров n ×1 с операциями сложенияматриц и умножения матриц на число. Аксиомы 1–8 линейного пространства для этогомножества выполняются (см.

разд. 1.2). Нулевым вектором в этом множестве служит нулевойстолбец o = (0  0)T . Следовательно, множество  n – вещественное линейноепространство. Аналогично, множество  n столбцов размеров n ×1 с комплекснымиэлементами – комплексное линейное пространство.Множество матриц-столбцов с неотрицательными действительными элементами,напротив, не является линейным пространством, так как не содержит противоположныхвекторов.34. Обозначим {Ax = o} – множество решений однородной системы Ax = o линейныхалгебраических уравнений с n неизвестными (где A – матрица системы), рассматриваемоекак множество столбцов размеров n ×1 с операциями сложения матриц и умножения матрицна число. Заметим, что эти операции действительно определены на множестве {Ax = o} .

Изсвойства 1 решений однородной системы (см. разд. 5.5) следует, что сумма двух решенийоднородной системы и произведение ее решения на число также являются решениямиоднородной системы, т.е. принадлежат множеству {Ax = o} . Аксиомы линейногопространства для столбцов выполняются (см. п.3 в примерах линейных пространств).Поэтому множество решений однородной системы является вещественным линейнымпространством.Множество {Ax = b} решений неоднородной системы Ax = b , b ≠ o , напротив, неявляется линейным пространством, хотя бы потому, что не содержит нулевого элемента( x = o не является решением неоднородной системы).5. Обозначим  m×n – множество матриц размеров m × n с операциями сложенияматриц и умножения матриц на число. Аксиомы 1–8 линейного пространства для этогомножества выполняются (см.

разд. 1.2). Нулевым вектором является нулевая матрица Oсоответствующих размеров. Следовательно, множество  m×n является линейнымпространством.46. Обозначим P ( ) – множество многочленов одной переменной с комплекснымикоэффициентами (см. разд. В.4 в [4]). Операции сложения многочленов и умножениямногочлена на число, рассматриваемое как многочлен нулевой степени, определены иудовлетворяют аксиомам 1–8 (в частности, нулевым вектором является многочлен,тождественно равный нулю). Поэтому множество P ( ) является линейным пространствомнад полем комплексных чисел.Множество P ( ) многочленов с действительными коэффициентами также являетсялинейным пространством (но, разумеется, над полем действительных чисел).Множество Pn ( ) многочленов степени не выше чем n с действительнымикоэффициентами также является вещественным линейным пространством.

Заметим, чтооперация сложения многочленов определена на этом множестве, так как степень суммымногочленов не превышает степеней слагаемых.Множество многочленов степени n не является линейным пространством, так каксумма таких многочленов может оказаться многочленом меньшей степени, непринадлежащим рассматриваемому множеству.Множество всех многочленов степени не выше чем n с положительнымикоэффициентами также не является линейным пространством, поскольку при умножениитакого многочлена на отрицательное число получим многочлен, не принадлежащий этомумножеству.57. Обозначим C ( ) – множество действительных функций, определенных инепрерывных на  .

Сумма ( f + g ) функций f , g и произведение λf функции f надействительное число λ определяются равенствами: ( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ) , (λf ) ( x ) = λ ⋅ f ( x ) длявсех x ∈  . Эти операции действительно определены на C ( ) , так как сумма непрерывныхфункций и произведение непрерывной функции на число являются непрерывнымифункциями, т.е. элементами C ( ) .

Проверим выполнение аксиом линейного пространства.Из коммутативности сложения действительных чисел следует справедливостьравенства f ( x ) + g ( x ) = g ( x ) + f ( x ) для любого x ∈  . Поэтому f + g = g + f , т.е. аксиома 1выполняется. Аксиома 2 следует аналогично из ассоциативности сложения. Нулевымвектором служит функция o(x ) , тождественно равная нулю, которая, разумеется, являетсянепрерывной. Для любой функции f выполняется равенство f ( x ) + o( x ) = f ( x ) , т.е.справедлива аксиома 3.

Противоположным вектором для вектора f будет функция(− f ) ( x ) = − f ( x ) . Тогда f + (− f ) = o (аксиома 4 выполняется). Аксиомы 5, 6 следуют издистрибутивности операций сложения и умножения действительных чисел, а аксиома 7 – изассоциативности умножения чисел. Последняя аксиома выполняется, так как умножение наединицу не изменяет функцию: 1 ⋅ f ( x ) = f ( x ) для любого x ∈  , т.е. 1 ⋅ f = f .Таким образом, рассматриваемое множество C ( ) с введенными операциями являетсявещественным линейным пространством.

Аналогично доказывается, что C 1 ( ) , C 2 ( ) ,…,C m ( ) ,… – множества функций, имеющих непрерывные производные первого, второго и т.д.порядков соответственно, также являются линейными пространствами.612.2. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВПонятия линейной зависимости и линейной независимости векторовДля элементов линейного пространства были введены операции умножения вектора начисло (из некоторого числового поля) и сложения векторов. При помощи этих операций можносоставлять алгебраические выражения.Вектор v называется линейной комбинацией векторов v1 , v 2 ,…, v k , еслиv = α1v1 + α 2v 2 + ... + α k v k ,(12.1)где α1 , α 2 ,…, α k – некоторые числа.

В этом случае говорят, что вектор v разложен повекторам v1 , v 2 ,…, v k (вектор v линейно выражается через векторы v1 , v2 ,…, vk ), а числаα1 , α 2 ,…, α k называют коэффициентами разложения. Линейная комбинация с нулевымикоэффициентами v = 0 ⋅ v1 + 0 ⋅ v 2 + ... + 0 ⋅ v k называется тривиальной.Набор векторов v1 , v 2 ,…, v k из V называется системой векторов, а любая часть системывекторов – подсистемой.Система из k векторов v1 , v 2 ,…, v k называется линейно зависимой, если существуюттакие числа α1 , α 2 ,..., α k , не все равные нулю одновременно, что справедливо равенствоα1v1 + α 2v 2 + ...