book5 (В.И. Елисеев), страница 8

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯНоль на плоскости есть 0 = 0eгде ψ может быть и± arctgi .Общий вид делителей нуляiϕ, ноль в пространстве есть 0 = 0eυ d = Reiϕ + jψ (i ± j ) ,где ψ ≠ ± arctgi .iϕ + jψ,(1.18.)Это выражение показывает, что любая точка в пространстве Υ окруженасферой из делителей нуля.1.1.8. Замкнутость пространственной комплексной алгебрыДокажем, что построенная алгебра с коммутативным умножением является замкнутой и элементы в ней определены однозначным образом независимоот способа их преобразования.Ввиду коммутативности умножения единичных векторов i, jij=jiкомплекс ν запишем в двух видах:(1.19.)ν 1 = ( x + iy ) + j (ξ + iη );ν 2 = ( x + jξ ) + i ( y + jη ).(1.20.)Согласно комплексной интерпретации пространственного числа по формуле (1.19.) геометрическая интерпретация соответствует цилиндрическим исферическим координатам с выколотой осью, перпендикулярной плоскости (z),а по формуле (1.20.) выколотая ось перпендикулярна плоскости (i, j).

Для наглядности первую ось можно рассматривать как лежащую в плоскости чертежа(рис. 13.), а вторую перпендикулярно плоскости чертежа.e j arc tg ijε2ejε2eiϕ2ν1jϕ3iϕjre ijr1e jϕiε1ejϕie j arc tg jν2ϕiε1eiϕ1ρeiϕiiϕρ1e 1ϕiϕ1Рис. 13. Изолированные направления в многомерномкомплексном пространстве.Первая ось имеет изолированное направление eное направление e± iactg ( j )± jarctg (i ), вторая - изолирован-.35ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯВ сферических координатах согласно формуле (1.6.) комплексы (1.19.),(1.20.) запишутся в виде:ν 1 = R1eiφ1 + jS1 + jiσ 1 ;ν 2 = R2 eiφ2 + jS2 + jiσ 2 ;Докажем, что точка в комплексном пространстве определяется единственным образом и ее расположение не зависит от ориентации изолированныхосей в пространстве. Преобразования комплексов (1.19.), (1.20.) инвариантныотносительно выбранных изолированных направлений.

Для этого следует доказать, чтоR1=R2, φ1=φ2, S1=S2, σ1=σ2.Доказательство. Произведем вычисление модулей комплексов (1.19.), (1.20.):ν 1 = ( x + iy ) + j (ξ + iη ) = ( x 2 − y 2 + ξ 2 − η 2 ) + 2i ( xy + ξη ) ;R1 = ν 1 = 4 x 4 + y 4 + ξ 4 + η 4 + 2 x 2 y 2 + 2 x 2ξ 2 ×× − 2 x 2η 2 − 2 y 2ξ 2 + 2 y 2η 2 + 2ξ 2η 2 + 8 xyξη;ν 2 = ( x + jξ ) + i ( y + jη ) ;R2 = ν 2 .Раскрывая модуль последнего выражения, получим:ν1 = ν 2 ;R1 = R2 .дуляУгол φ1 определяется аргументом выражения первого комплексного мо-2 xy + 2ξη.φ1 = arg ν 1 = 12 arctg  2222 x − y + ξ −η Углы S1 и σ1, выделяются, когда комплекс ν1 представлен в видеν1 = ν1 ejarctgξ +iηx +iy.Аргумент комплекса выразим через логарифмическую функциюξ + iηξ + iη 1x + iy= lnarctg.x + iy 2i 1 − i ξ + iηx + iy1+ iДействительная часть логарифма даст угол S1, а мнимая угол σ1.

Соответственны имеем:S1 =12 x ξ + 2 yηjarctg 2;2x + y2 − ξ 2 −η 22ln ν 11σ 1 = − ji.2 (x + η )2 + ( y − ξ )236ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯПрименяя последовательно тот же расчетный алгоритм к комплексу(1.20.), получим требуемые для доказательства равенства.Например, угол S2 определяется как аргумент комплекса ν 212 xξ + 2 yηS2 = arctg 2.2x − ξ 2 + y 2 −η 2Видно, что он равен углу S1, S2=S1 и так далее.Расчет показывает, что при любом представлении пространственногокомплекса ν точка в пространстве определяется единственным образом.Все операции в комплексном пространстве инвариантны относительнорасположения выколотых изолированных осей.Например.

Комплекс ν=ij=ji определяет единственную точку, котораялежит на сфере радиуса ν = R = 1 и фиксирована углами S =π/2, φ=π/2, σ=0.371.2. Функции пространственного комплексного переменногоОсновные понятия теории функций комплексного пространственногопеременного: понятие функции, ее предела, производной, понятиеаналитической функции, переносятся почти без изменения из теории функцийкомплексного переменного (z).

В частности, определения заимствованы из [7]. Всвязи с этим излишнее повторение понятий и представлений не делается, аобращается внимание на те особенности, которые корректируютустановившиеся понятия (без их в общем коренном изменении) в пространстве.В пространстве (Y) так же, как и в плоскости (z), центральное местозанимает теорема Коши - Римана. Реализация условий этой теоремы наэлементарных функциях, определенных в пространстве (ν), а также теоремКоши составляет содержание этого раздела.1.2.1.

Дифференцируемость функцийЗадать функцию в пространстве (Y) означает задать закон, по которомукаждой точке ν из рассматриваемой области G пространства (Y) ставится всоответствие точка ω из пространства (Y).Функцияω=f(ν),гдеν = x + iy + jξ + jiη ,ω = U + iV + jP + jiR.Следовательно, задание функции ω равносильно заданию от четырехдействительных переменных:U = U ( x, y , ξ ,η ) = Re Re ω (v );V = V ( x, y , ξ ,η ) = Re Im ω ( v );P = P ( x, y , ξ ,η ) = Im Re ω ( v );R = R ( x, y , ξ ,η ) = Im Im ω (v ).Определение предела и непрерывности функций полностью совпадает стеми, которые даются в плоском случае [7].Естественно пространственную комплексную функцию рассматриватькак функцию от двух комплексных переменных (z). Так что, еслиv = ρe iφ + jreiψ = z + jσ ,то функцию целесообразно записать в видеf ( v ) = W ( z,σ ) + jT ( z,σ ),где соответственно будут выполняться соотношения:W ( z, σ ) = Re f (v );T ( z, σ ) = Im(v ).Вкомплексномν → ν 0 существует, еслипространствепределфункцииf(ν)при38ГЛАВА 1.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯlim W ( z, σ ) = W0 ;z →σ 0σ →σ 0lim T ( z, σ ) = T0 ;z →σ 0σ →σ 0и, следовательно,lim f ( v ) = W0 + jT0 = f ( v 0 ).v → v0Остается в силе главное условие комплексного анализа (z) онезависимости предела от способа приближения точки v → v 0 . Если пределсуществует, то при любом способе приближения v → v 0 функция f(ν) будетприближаться к f(ν0). Если функция определена и в точке ν0, то она называетсянепрерывной в точке ν0.На все эти определения не оказывает влияние особенность комплексногопространства, обусловленная наличием конуса-фильтра дискретных точекделителей нуля.Функция f(ν), определенная в некоторой точке окрестности точки ν,дифференцируема в этой точке, если существует предел(1.21.)f (v + h ) − f (v)= f ' (v ).limhh→0Этот предел является производной функции, определенной в пространстве (ν).Условия дифференцируемости функции f(ν) в терминах комплексныхфункций W и T будут давать:ТЕОРЕМА 1.

Пусть функция f(ν)=W(z, σ)+jT(z, σ) определена в точке ν инекоторой окрестности ее, причем в этой точке функции Т, Wдифференцируемы в смысле комплексного переменного (z) и их частныепроизводные непрерывны∂W ∂W ∂T ∂T,,,,∂z ∂σ ∂z ∂σтогда для дифференцируемости функции в точке ν необходимо и достаточно,чтобы в этой точке имели место равенства:∂W ∂T=;∂z∂σ∂T∂W=−.∂z∂σ(1.22.)Эти условия являются аналогом условий Коши - Римана.Проведем доказательство условий (1.22.). Пусть существует производнаяf (v + h) − f (v).hh →0f ' ( v ) = limВоспользуемся независимостью предела от способа стремления h к нулю.А.

Пусть точка ν+h стремится к точке ν по комплексной оси z=x+iy.Тогда получим39ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯW ( z + S ,σ ) − W ( z ,σ )+SS →0∂TT ( z + S ,σ ) − T ( z,σ ) ∂W+ j lim=+j .∂z∂zSS →0f ' ( v ) = limБ. Найдем тот же предел в предложении, что точка ν+h стремится к ν покомплексной оси jσ, то есть что t→0 и h=jt, где t = ξ + iη . ПолучимW ( z,σ + t ) − W ( z,σ + t )itt →0∂W ∂TT ( z,σ + t ) − T ( z,σ )+ j lim=−j+.∂σ ∂σjtt →0f ' ( v ) = limТаким образом, имеем выражение для производной в двух видахf ' (v ) =∂W∂T∂W ∂T+ j=−j+.∂z∂z∂σ ∂σКомплексы в пространстве равны когда равны попарно составляющие ихкомплексы.

Откуда и вытекают соотношения (1.22.).Теорема может быть написана и в действительных переменных x, y, ξ,η.Однако этот вариант наиболее прост в изложении и более интересен вариант,когда комплексы представимы в цилиндрических трехмерных а). ичетырехмерных координатах. Напомним эти выражения:iφiφа) v = ρe + jre ;iφiψб) v = ρe + jre .Произведем вывод необходимых условий в координатах а).Функция f(ν) записывается в видеiφiφiφiφf ( v ) = W ( ρe , re ) + jT ( ρe , re ).Приращение переменной, ν при переходе к точке ν+h выразим какдифференциал вектора νiφiφiφiφh = dv = dρe+ ie ρdφ + jre idφ + jdre== dρeiφ + jdreiφ + ieiφ ( ρ + jr )dφ .Раскроем предел (1.21.) для трех специальных случаев стремления h→0:dρ → 0, dr = dφ = 0;dr → 0, dr = dφ = 0;dφ → 0, dr = dρ = 0.Первый случай соответствует пути по радиусу ρ при постоянном угле φ кпостоянной аппликате по оси jσ; второй - пути по образующей цилиндрическойоси iσ; третий - пространственной кривой, на которой изменяется только угол φ.Для первого случая φ=const, r = const, имеем40ГЛАВА 1.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ[] [()]W (ρ + ∆ρ )eiφ , re iφ − W ρe iφ , reiφ+f ' ( v ) = lim∆ρ → 0∆ρe iφ[] [()]T (ρ + ∆ρ )e iφ , re iφ − T ρeiφ , re iφ+ j lim=∆ρ → 0∆ρe iφ∂W∂T= e − iφ+ je −iφ.∂ρ∂ρ(1.23.)Для второго случая, ρ=const, φ=const, имеемW [ρe iφ , ( r + ∆r )e iφ ]− W [(ρe iφ , re iφ )]+f ' ( v ) = lim∆r →0j∆re iφT [ρe iφ , ( r + ∆r )e iφ ]− T [(ρe iφ , re iφ )]+ j lim=∆z →0j∆re iφ∂W∂T= − je −iφ+ e −iφ.∂r∂r(1.24.)Для третьего случая, ρ = const, r = const, имеемW ρeiφ + iρeiφ ∆φ , reiφ + ireiφ ∆φ − W (ρeiφ , reiφ )+f ' ( v ) = lim∆φ → 0i∆φ ( ρeiφ + jreiφ )[+ lim j∆φ → 0[]] []T ρeiφ + iρeiφ ∆φ , reiφ + ∆φ − T ρeiφ , reiφ+∆ρeiφ∂T e − iφ  ∂W++j=∂φ i( ρ + jr )  ∂φ∂W∂T∂W∂Tρ+r−ρr..∂φ∂φ∂φ∂φ= −ie −iφ+ jie −iφ.22ρ +rρ 2 + r2(1.25.)Выражения (1.23.), (1.24.), (1.25.) дают значения производной отпространственной комплексной функции f(ν) в цилиндрических координатах инеобходимые условия ее существования∂W∂T∂W∂T+ je −iφ= − je −iφ+ e −iφ=∂ρ∂ρ∂r∂r∂W∂T∂W∂Tρ+r−ρ..∂φ∂φ∂φ−iφ ∂φ+ jieρ 2 + r2ρ 2 + r2f ' ( v ) = e −iφ= −ie− iφПриравнивая действительные и комплексныенеобходимые условия дифференцирования функции:∂W ∂T∂ ρW + rT== −i−;∂ρ∂r∂φ ρ 2 + r 2∂T∂W∂ rW − ρT=−=i.∂ρ∂r∂φ ρ 2 + r 2(1.26.)части,получим(1.27.)41ГЛАВА 1.