book5 (В.И. Елисеев - Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного), страница 12

Поры в пространстве.Исключение из пространства выколотой оси равносильно исключению нуля в zплоскости. Наличие в пространстве (ν) выколотой оси ставит по-новому вопросо связности пространства кривых и поверхностей в нем.Рис. 16. Кривая a, не стягиваемая в точкуДля реализации интегральных теорем Коши необходимо рассмотреть вопрос ободносвязности поверхности, которая натягивается на циклическуюпространственную кривую.

В комплексном пространстве решающее значениеимеет характер кривой и ее расположение относительно выколотой оси.Реализация естественно зависит и от подынтегральной функции.В классическом анализе связность пространства определяется теоремамиСтокса и Остроградского. В z-плоскости реализована только теорема Стокса.63ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯДля применения теоремы Стокса требуется, чтобы Контур и поверхность,которая натянута на этот контур, целиком лежали в области, где выполненысоответствующие условия. Теорема Остроградского остается в силе и дляобъема с порами (рис.

15). Под термином "пора" понимается ограниченнаяобласть, целиком лежащая в рассматриваемой области и исключенная израссмотрения.На рис. 16, 17 даны примеры из классического анализа односвязного имногосвязного.В связном пространстве контур стягивается в точку непрерывным образом,причем и сама точка принадлежит рассматриваемой области. В односвязном,двухсвязном и многосвязных пространствах контур z не может быть стянут вточку непрерывным образом, как это показано на рис. 16, 17, не пересекая приэтом границы области. Это примеры общего логического плана.Рис.

17. Пример многосвязного пространстваВ комплексном пространстве выколотая ось, стянутая из точек мнимойповерхности конуса выступает как бесконечная трубка радиуса0,заключающая в себе пространство другого измерения, а ее поверхностьявляется границей раздела пространств разной по величине размерности (рис.18). Трубка приходит из бесконечности и уходит в бесконечность.L0Рис.

18. Изолированная ось в комплексномпространстве, обуславливающая его связность.Кривые С0, С1, С2 (рис. 19), охватывающие выколотую ось, нельзя стянуть вточку радиуса ноль, так как ноль в пространстве имеет окрестность радиусакорня из нуля.64ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯКривую С0 можно стянуть в точку, так как она охватывает выколотую ось (рис.20).Кривая С1, лежит в плоскости, параллельной плоскости (z), и стягивается вокружность радиуса 0 .Кривая С3 является простейшей пространственной кривой, на которую можнонатянуть непрерывным образом без точек самопересечения поверхность так,чтобы внутри содержался объем.Рис. 19.

Кривые C0, C1, C2, стянутые в точку из-заналичиявкомплексномпространствеизолированного направления.Рис. 20. Кривая C0, стянутая в точку, кривая С1, нестянутая в точку, и кривая С3 - простейшаяциклическая кривая в пространстве.Простейшей комплексной кривой в z-плоскости является окружность. Натянутьна окружность поверхность так, чтобы в ней был заключен объем, непредставляется возможным.Контур С3 является простейшим пространственным контуром, он состоит изкривой, идущей по внешней поверхности сферы, и кривой, идущей по внешнейповерхности выколотой оси.Пространство (ν) может быть сжато в комплексную плоскость с выколотымиосями по z, jσ Замкнутая кривая C4 будет обходить выколотые оси пополуокружностям.65ГЛАВА 1.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯКривая C состоит из двух окружностей, лежащих во взаимно перпендикулярныхплоскостях (см. рис. 21).ππC4πππРис.21.ПространственнаякриваяC4 ,охватывающая две изолированные оси. Внутреннийконтур кривой C3 можно деформировать так, чтоон пойдет по внутренней поверхности сферы, приэтом образуется оболочка толщиной δ (рис. 17).C3Рис.22.Деформацияпростейшейпространственной кривой C3 с выделениемповерхностного слоя δ.Оболочку можно увеличить до толщины S, как это показано на рис. 23. В этомслучае пространство будет заключено между двумя сферическимиповерхностями, соединенными между собой цилиндрической поверхностью66ГЛАВА 1.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯвыколотой оси. Иными словами, в любом случае простейшей поверхностьюстановится тороидальная поверхность.Дадим определение кривой C3 в пространстве (ν), которую назовем главнойпростой кривой в пространстве.Определение. Простой кривой в пространстве трех (четырех измерений будемназывать кривую С3 (рис. 20) которая получается деформацией из плоскойкривой длины 2πR0, путем натягивания ее на сферу с выколотым ε-туннелем,так, что часть кривой, равная 2Rε, проходит через ε-туннель, а остальная часть,равная 2πR0-2Rε, проходит по поверхности сферы так, что сфера прификсированном R0 имеет наибольший радиус.

При этом точка ν, проходящаяодин раз замкнутую кривую C3, делает в ε-туннеле и по поверхности сферы висчислении по углу φ два полных оборота 4π, а по углу ψ один оборот 2π.325C31, 7Рис.23.Деформацияпростейшейпространственной кривой С3 с выделениемшарового слоя S.Если двигаться по кривой C0 (рис. 20), то из точки вернемся в ту же точку безизменения аргументов.Кривые C0, C1, C2 (рис.

19) лежат в плоскости, параллельной z-плоскости,поэтому для них ψ=const и при обходе изменяется только аргумент φ, добавляяк своему значению за один оборот. 2π.Движение по кривой C3 (рис. 20) дает приращение аргументов ∆ψ = 2π ,∆φ = 4π . В общем случае, кривая Сi может иметь различные исчисления поаргументам φ, ψ в зависимости от того, как она проходит выколотую ось.1.3.2. Интеграл и первообразная.Определение интеграла вдоль кривой С в комплексном пространстве повиду ничем не отличается от определения интеграла в действительной икомплексной областях.67ГЛАВА 1.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯnlim ∑ f (ξ k )(υ k +1 − υ k ) = ∫ f (υ )dυ ,n→∞k =0Cгде υ 0 = a ,υ 1 !υ n +1 = b - точки, разбивающие С на n участков, а и бесть концы С, ξ k - произвольная точка, лежащая на участке [υ k ,υ k +1 ] кривой С.Предел предполагаетmax υ k +1 − υ k → 0 При доказательстве существования интеграла вкомплексной плоскости Z предел сводили к двум интегралам от действительныхфункций. В пространстве предел достаточно свести к интегралам откомплексных функций. В самом делеf (υ ) = Q ( z, σ ) + jR( z, σ )υ k = zk + jσ k , z k +1 − z k = ∆z k , σ k +1 − σ k = ∆σ kξ k = ζ k + iηk .

Обозначим также Q (ζ k ,η k ) = Qk , R (ζ k ,η k ) = Rk .Подставляя в интегральную сумму получимn∑k =0f (ξ k )(υ k +1 − υ k ) =nnk =0k =0∑ [Qk ∆z k − Rk ∆σ k ] + j ∑ [Qk ∆σ k + Rk ∆z k ]Переходя к пределам получим∫ f (υ )dυ = ∫ Qdz − Rdσ + j ∫ Rdz + QdσCCCСуществование интеграла в комплексном пространстве сводится ксуществованию двух комплексных интегралов∫ f (υ )dυ = ∫ (Q ( z,σ ) +γγjR( z,σ ))( dz + jdσ ) = ∫ Q ( z,σ )dz − R( z,σ )dσ +γ+ j ∫ Q ( z,σ )dσ + R ( z,σ )dzγФункции Q ( z, σ ), R ( z , σ ) определены на пространственной кривой γ иинтеграл зависит как от этих функций так и от кривой.

В свою очередьинтегралы сводятся к четырем интегралам от действительных переменных.Введем обозначенияU ( x, y , ζ ,η ) = Re elQ ( z, σ ) = Re elQ (( x + iy ), (ζ + iη ))V ( x, y , ζ ,η ) = Im Q ( z, σ ) = Im Q (( x + iy ), (ζ + iη ))P ( x, y , ζ ,η ) = Re elR( z, σ ) = Re elR(( x + iy ), (ζ + iη ))Φ ( x, y ,ζ ,η ) = Im R( z,σ ) = Im R(( x + iy ), (ζ + iη ))а также имеем dz = dx + idydσ = dζ + idη . Подставляя в интеграл и отделяя все интегралы смнимыми коэффициентами получим∫ f (υ )dυ = ∫ Udx − Vdy − Pdζγ+ Φ dη +γ+ i ∫ Vdx + Udy − Φ dζ − Pdη +γ+ j ∫ Pdx − Φ dy + Udζ − Vdη +γ68ГЛАВА 1.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ+ ji ∫ Φ dx + Pdy + Vdζ + Udη .γСуществование криволинейного интеграла свелось к существованию иопределению криволинейных интегралов от функций четырех действительныхпеременных. Для исследования этих интегралов необходимо обратиться ктеоремам Стокса, Грина, Остроградского.Рассмотрим формулу Грина. Пусть функции от двух действительныхпеременных U ( x, y ),V ( x , y ) и их частные производные∂U ∂Vнепрерывны,∂y ∂xв простой области G. Тогда справедливо равенство ∂V∫ Udx + Vdy = ∫∫  ∂xγG−∂U dxdy ,∂y гдекриволинейныйинтегралберется по границе γ области G в положительном направлении., так чтоформула Грина связывает интеграл по границе области с интегралом по самойобласти.

Важнейшим условием в определении интеграла является свойствообласти G. Введено определение. Область G на плоскости называетсяодносвязной, если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области,ограниченная им часть плоскости целиком принадлежат области G. Для такихобластей независимость криволинейного интеграла от пути интегрированияопределяется следующими условиями :1.Для любого замкнутого контура γ , расположенного в области G,справедливо равенство∫ Udx + Vdy = 0 .γ2. Для любых двух точек А,В в области G криволинейный интеграл∫ Udx + Vdy не зависит от кривых γ ,расположенных в этой области.АВ3.

Выражение Udx + Vdy является полным дифференциалом функцииF(x,y), существующей в области G, такой, что dF = Udx + Vdy . При этом длялюбой кривой γ из области G имеет место равенство∫ Udx + Vdy = F ( А) − F (B )АВВсе три условия эквивалентны равенству∂U ∂V, выполняемому в=∂y∂xобласти G.В пространстве трех действительных переменных имеет место формулаСтокса, сформулированная следующим теоремой :Пусть гладкая xyz проектируемая ориентируемая поверхность Фограничена кусочно-гладким контуром γ и расположена внутри области G, вкоторой функции U(x,y,z),V(x,y,z),P(x,y,z)Имеют непрерывные частные производные первого порядка. Тогдасправедлива формула69ГЛАВА 1.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ∫ Udx + Vdy + Pdz =γ ∂P ∂V= ∫∫ −∂∂zyG  ∂V ∂U  ∂U ∂P −−dxdydydz + dxdz + ∂∂∂∂zxxyгде контур γ обходится в положительном направлении. При,∫ Pdz = 0γполучается формула Грина. В пространстве x,y,z вводится понятиеповерхностно односвязной области G, такой, чтодля любого контура γ , лежащего в G найдется поверхность,ограниченная этим контуром.

С точки зрения комплексного пространствакривая γ должна соответствовать кривой пространственной кривой C3 .На вседругие кривые в пространстве нельзя натянуть поверхность без точексамопересечения, так чтобы она содержала внутри себя объем.Независимость криволинейного интеграла от пути интегрированиядоставляется также тремя условиями:1) если выполняется равенство ∫ Udx + Vdy + Pdz = 0 ;γ2) если выполняется условие ∫ Udx + Vdy + Pdz = ∫ Udx + Vdy + Pdz ;γγ13) если выражение Udx+Vdy+Pdz является полным дифференциаломнекоторой функции F(x,y,z), определенной в области GdF = Udx + Vdy + Pdz , так что∫ Udx + Vdy + Pdz = F (A) − F ( B )АВВсе три условия заменяются тремя равенствами∂P ∂V ∂U ∂P ∂V ∂U===,,∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂yПоверхность Ф в формуле Грина расположена на одной проекционнойплощадке.