book5 (В.И. Елисеев), страница 10

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯe ρeiφ (i + j )= e ρeiφ i + jρ e iφ= e ρeiφ i( )cos ρeiφ + je ρeiφ i( )sin ρeiφiφiφρ cos φ − ρ sin φ ρeiφ iρe ρe (i + j ) = e ρe i = ei= e − ρ sin φeОкончательно eρe iφ (i + j )= e − ρ sin φω = e ρ e iφ ( j + j ) = e iρeiφ+ jρe iφ = e ρeiφπ+ j 2 = e − ρ sin φ = e − ρ sin φ .Определим комплексные части функции при условии, что элемент ν определенв трехмерном комплексном пространстве цилиндрических координат:)(R (ρe iφ , re iφ ) = Im ω = e ρeW ρe iφ , re iφ = Re ω = e ρeiφiφ( )= sin(re iφ ).= cos re iφ ;Для проверки необходимых условий дифференцируемости в форме (1.27.)определим шесть производных:( )( )( )( )( )( )iφ∂W= e ρe e iφ cos re iφ ;∂ρiφ∂W= −e ρe e iφ sin re iφ ;∂riφiφ∂W= e ρe e iφ i cos re iφ − re iφ i sin re iφ e ρe ;∂φiφ∂R= e ρe e iφ sin re iφ ;∂ρiφ∂R= e ρe e iφ cos re iφ ;∂riφiφ∂R= e ρe ρe iφ i sin re iφ + e ρe rie iφ i cos re iφ .∂φ( )( )Сравнение этих производных в соответствии с условиями (1.27.) показываетсправедливость последних.

Функция является аналитической.Определим производную от этой функцииiφiφ∂e v∂W∂R= e −iφ+ je −iφ= e −iφ e ρe cos(re iφ ) + je −iφ e ρe sin(re iφ ) =∂v∂ρ∂ρ= e ρeiφ[cos(re )+ j sin(re )]= eiφiφρeiφ + jreiφ= ev .Таким образом, табличная производная для экспоненциальной функцииосталась в силе∂eν= eν∂ν(1.36.)Аналогично обстоит дело и в четырехмерном пространстве.50ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯE.

Рассмотрим логарифмическую функцию ln(ν).Проведем операции в трехмерном пространстве.Еслиiφiφv = ρeто+ jre ,)(ln v = ln R ⋅ e iF + jθ = ln R + iF + jθ ;Re(ln v ) = ln ρ 2 + r 2 + iφ ;rIm(ln v ) = arctg  .ρПроверяем необходимые условия дифференцирования функции в форме (1.27.):∂W∂Rρ= e −iφ= e −iφ=∂ρ∂rρ 2 + r2ρi + r 0∂ rR + ρW= − je −iφ= −ie −iφ;∂φ ρ 2 + r 2ρ 2 + r2− e −iφ∂R∂Wr= −e −iφ= − e −i φ=22∂ρ∂rρ +r∂W ∂R−rr∂∂φφ= −e −iφ= ie −iφ=2222ρ +rρ +rrir= ie −iφ= − e −iφ;ρ 2 + r2ρ 2 + r2e −i φНеобходимые условия дифференцирования выполняются.Определим производную∂(ln v ) = e −iφ ∂W + je −iφ ∂R = e −iφ 2 ρ 2 − je −iφ 2 r 2 =∂v∂ρ∂ρρ +rρ +r=ρ − jrρ 2 + r2e−iφ=e−iφ − jψρ 2 + r2ρ 2 + r2= e −iφ − jψ11= .ρ 2 + r2 vТаким образом,∂(ln v ) = 1 .∂vv(1.37.)Проведем операции в четырехмерном пространствеiφiψv = ρe+ jre.Выделение комплексных частей дает выражения:51ГЛАВА 1.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ)(rR (ρe iφ , re iψ ) = Im(ln v ) = arctg  e i (ψ −φ ) ;ρW ρe iφ , re iψ = Re(ln v ) = ln ρ 2 e 2iφ + r 2 e 2iψ ;Следовательно, для доказательства необходимых условий дифференцированияв формах (1.28.), (1.29.) вычислим восемь производных от функций W и R попеременным ρ, r, φ, ψ и сопоставим:2iφ∂W 12 ρe=;∂ρ 2 ρ 2 e 2iφ + r 2 e 2iψ∂Wre 2iψ=;2 2iφ2 2iψ∂rρ e+r e∂Wiρ 2 e 2iφ=;∂φ ρ 2 e 2iφ + r 2 e 2iψ∂Wir 2 e 2iψ=;∂ψ ρ 2 e 2iψ + r 2 e 2iψ∂R=−∂ρ∂  re iψr 2 e 2iψ ∂ρ  ρe iφ11+ρ 2 e 2iφre iφ e iψ=; ρ 2 e 2iφ + r 2 e 2iψρe iφ e iψ∂R=;∂r ρ 2 e 2iφ + r 2 e 2iψ∂Riρre iφ e iψ=;∂φ ρ 2 e 2iφ + r 2 e 2iψ∂Riρre iφ e iψ=;∂ψ ρ 2 e 2iφ + r 2 e 2iψЛегко проверяется, что необходимые условия для дифференцирования функциив пространстве выполняются.Определим производную в четырехмерном пространстве∂ ln v∂W∂R= e −iφ+ je −iφ=∂v∂ρ∂ρ=ρe −iφ2 2iφρ e2 2iψ+r e−jreiψ2 2iφρ e2 2iψ+r e=52ГЛАВА 1.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ=r− jarctg  eiψ −iφρρ 2 e 2iφ + r 2 e 2iψ e1= .vρ 2 e 2iφ + r 2 e 2iψТаким образом, и в четырехмерном пространстве табличная производнаяосталась в сипе∂(ln v ) = 1 .∂vv(1.38.)Рассмотрим логарифмическую функцию, определенную на выколотой осиделителей нуляln[ ρeiφ (i ± j )] = ln ρ + iφ + ln(i ± j ) = ln ρ + iφ + ln 0 ± jarctg (i ).F. Элементарные тригонометрические функции. Определим функции sin(ν) иcos(ν) через экспоненциальные функции eν:jve= cos v + j sin v;e − jv = cos v − j sin v.Оба выражения являются распространением формул (z) -плоскости впространство (ν).

Складывая и вычитая выражения друг с другом, получимe jv − e − jvsin v =;2je jv + e − jvcos v =.2Так как табличная производная от экспоненциальной функции осталась безизменения (1.34.), то легко определяются производные от sin(ν) и cos(ν):∂ (sin v )= cos v;∂v∂ (cos v )= − sin v;∂v(1.39.)Вид табличных производных остался без изменения. Остаются в силе итригонометрические зависимости:22sin v + cos v = 1;sin 2v = 2 sin v cos v,!G. Тригонометрические и гиперболические функции в пространстве Υ .В плоскости комплексного переменного z тригонометрические функцииопределяются через функции sin(z), cos(z), которые выражены формуламиe iz − e − ize iz + e − iz, которые являются следствиемsin z =, cos z =2i2формулы Эйлера. Мнимая единица j отличается от мнимой единицы i толькообозначением.

В пространстве Y эта единица фиксирует третье координатноенаправление. Алгебра этой единицы совпадает с алгеброй мнимой единицы i.Поэтому в силе остаются и формулы53ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯsin z =e jz − e − jze jz + e − jz, cos z =.2j2Далееформулыраспространяются в пространство Υ .e jυ − e − jυe jυ + e − jυsin υ =, cosυ =. При2j2переходеотυкjυ получаем гиперболические функции в пространстве Y.eυ − e −υeυ + e −υ, chυ =shυ =22υ−υυe −ee + e −υthυ = υ, cthυ = υe − e −υe + e −υГиперболические функции выражаются через тригонометрическиеshυ = − j sin jυ , chυ = cos jυthυ = − jtgjυ , cthυ = jcthjυОсобенность этих формул заключается в том, что они представляютфункции от двух комплексных переменных z, σ ,в силу комплексностипеременной υ .Это позволяет получить ряд зависимостей. Напримерe z + jσ − e − z − jσ=shυ = sh( z + jσ ) =21 z(e cosσ + je z sinσ − e − z cosσ + je − z sinσ ) =21= [(e z − e − z )cos σ + j sin σ (e z + e − z )] = shz cos σ + j sin σchz .2Аналогичные преобразования даютchυ = chz cos σ − jshz sin σ .

Определим первый модуль shυshυ = sh 2 z cos2 σ + sin 2 σch 2 z =sh 2 z cos2 σ + ch 2 z − cos2 σch 2 z == cos2 σ ( sh 2 z − ch 2 z ) + ch 2 z = ch 2 z − cos2 σ ,таккакизвестносоотношение в комплексной плоскости ch z − sh z = 1Комплексный аргумент будет равен2arg 2 shυ = arctg2sin σchz= arctg (tgσcthz )cos σcthzМожно продолжить выделение модуля от четырех переменныхshυ =ch 2 z − cos 2 σ , однако ввиду громоздкости и элементарностивыкладок в настоящий момент это не представляет интереса.Исследуем поведение функций sinν и cosν в особых точках пространства намножестве элементов делителей нуля.

Рассмотрим функцию sin(i±j) какфункцию от суммы двух углов i и jsin(i ± j ) = sin i cos j ± cos i sin j =54ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯe −1 − e +1 e −1 + e +1 e −1 − e +1 e −1 + e +1 e −2 − e +2=±=(i ± j ).2i22i24ijРасшифруем полученныйделителей нуля:результат.Функцияпринадлежитэлементамsin(i ± j ) ≠ 0;sin (i ± j ) = 0 ;arg (sin(i ± j )) = ± arctg (i ).Квадрат sin(i±j), равный(esin (i ± j ) =2−2− e +216) (− 2 + 2ij ),2также принадлежит элементам делителей нуля.Рассмотрим функцию косинус от делителя нуляcos(i + j ) = cos i cos j − sin i sin jпоследовательно заменяя на гиперболические функции получимe −1 + e +1 e −1 + e +1 e −2 + 2 + e +2=cos i cos j =224−1+1 −1+1−2e −e e −ee − 2 + e +2=sin i sin j =2i2j4 jiследовательно cos(i + j ) =e −2 + 2 + e +2 e −2 − 2 + e +2−44 jie −4 + e +4 6 e −4 + e +4 − 2+ −cos (i + j ) =888 ji2Сложение квадратов тригонометрических функций синуса и косинуса отделителей нуля получим cos2 (i + j ) + sin 2 (i + j ) = 1Определим аналогично функцию cos(i±j):−1+1 2−1+1cos(i ± j ) =(+eij e) − (e−e4ij);424(e −1 + e +1 ) − 2ij (e − 2 − e + 2 ) + (e −1 − e +1 )cos (i ± j ) =.216Таким образом, функция cosν, определенная на элементах делителей нуля, непринадлежит этим элементам.

Модуль комплекса cos(i±j) не равен нулю и неравен 11−1+1 4−1+1 4cos(i ± j ) =(e +e4arg cos(i ± j ) ≠ arctg (i ).) + (e−e);Таким образом, функции sinν и cosν - основные тригонометрические функции,приобрели в пространстве новые свойства, сохранив прежние, присущие им в zплоскости и на действительной оси без изменения.55ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯОсновное тригонометрическое равенство осталось без изменения и навыколотой осиcos2 (i ± j ) + sin 2 (i ± j ) =424(e −1 + e +1 ) − 2ij (e −2 − e + 2 ) + (e −1 − e +1 )=+162(e −2 − e + 2 ) (− 2 + 2ij )+=162e −4 + 12 + 2e 4 − 2ij (e −4 − 2 + e 4 )=−16(e −4 − 2 + e + 4 )2 − 2ij (e −4 − 2 + e 4 ) 12 + 4−== 1.Итак,21616cos (i ± j ) + sin 2 (i ± j ) = 1.Новые свойства функций sinν и cosν определяют и новые свойства остальныхтригонометрических функций.

Например,tg (i + j ) = 0 ;arg tg (i + j ) = arctg (i ).H. Функция arg υИсследуем поведение элемента пространства υ ,представив его всферических координатахiϕiψЕсли имеемυ = ρe + jre , то переходя к сферическим координатамполучимυ = Re iF + jΨ ,гдеR = 4 ρ 4 + r 4 + 2 ρ 2 r 2 cos 2(ψ − ϕ ) ,ρ 2 sin 2ϕ + r 2 sin 2ψ1,F = arctg 2ρ cos 2ϕ + r 2 cos 2ψ2rΨ = arctg e i (ψ −ϕ ) .ρ(1.40.)Точка υ в пространстве определена модулем R и двумя аргументамиF , Ψ или четырьмя независимыми переменными ρ , ϕ , r,ψ .

Однозначноеопределение точки в пространстве требует равенства четырех независимыхпеременных: υ 0 = υ1 когда ρ 0 = ρ 1 , ϕ 0 = ϕ 1 , r0 = r1 ,ψ 0 = ψ 1 .Функцию Lnυ = LnR + iF + jΨ можно рассматривать как функцию двухкомплексовα = LnR + iF ,β =Ψα = α ( z, σ ), β = β ( z, σ )Вэтомслучаефункциигдеα = Ln z 2 + σ 2 , β = arctgσ.z56ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯКомплекс υ представляется в полярных комплексных координатахυ = z + jσ , гдеz = R cos β ,σ = R sin β .βАргументкомплексный, а тригонометрические функцииcos β =zσ, sin β =z2 +σ 2z2 +σ 2также будут комплексными.Выведем формулу приращения комплексного аргумента на кривой γ .Определим дифференцеалы dz, dσdz = cos βdR − R sin βdβdσ = sin βdR + R cos βdβтак, что будем иметь Rdβ = − sin βdz + cos βdσ , а с учетомтригонометрических функций получим dβ = d arg υ =− σdz + zdσ.z2 +σ 2Рассмотрим интеграл ∫ d arg υ .