book5 (В.И. Елисеев), страница 6

3. Комплексное пространство.Комплексное пространство впервые введено в работах [1], [2], [3], [4].Оно может быть интерпретировано как в цилиндрических, так и сферическихкоординатах в соответствии с формулами, его определяющими.Раскроем комплексы z и σ, входящие в формулу (1.3. и 1.4.).В комплексной плоскости имеемz = ρe iφ ,σ = re iψ ,где ρ, r - модули комплексных чисел z, σ:σ = z,r=σ;где φ ,ψ - аргументы комплексных чисел.При таком обозначении комплексы z, σ определяются через свои полярные радиусы, соответственно равные:21ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯz = ρ = x2 + y2 ;σ = r = ξ 2 +η2 ,и аргументы φ = arg z, ψ= arg σ, которые определены с точностью до любого слагаемого, кратного 2π:y+ 2 kπ ;xηψ = arg σ = arctg + 2kπ .ξφ = arg z = arctgСледовательно, имеемν = z + jσ = ρeiφ + jreiψ .Так как единичные векторы i и j (мнимые единицы) связаны в пространстве законом коммутативного умножения ij=ji, то комплекс может быть преобразован и к следующему виду:ν = x + iy + jξ + jiη = ( x + iξ ) + j ( y + iη ) = ρ1e jφ1 + ir1e jψ 1 ,где соответственно имеем уже:ρ1 = x + jξ ;r1 = y + jη ;φ1 = arg( x + jξ );ψ 1 = arg( y + jη ).В дальнейшем будет показано, что в пространстве комплексных чиселнет выделенного направления и обе записи эквивалентны.Далее, применяя к пространственному комплексу ν формулу Эйлера, получимν = ρe iφ + jre iψ = R1e jβ .где R1 определен как комплексный модуль, равныйR1 = z 2 + σ 2 ;β - комплексный аргумент, равныйβ = argν = arctgr i (ψ −φ )e,ρпериодические свойства, которого будут выявлены в дальнейшем.Преобразуем комплексный модуль по законам комплексной алгебры.Выделение действительного модуля дает выражениеν = R1 = R = 4 ρ 4 + r 4 + 2 ρ 2 r 2 cos 2(φ − ψ ) ,а действительного аргумента α - выражениеρ 2 sin 2φ + r 2 sin 2ψ1α = arg R1 = arctg 2.

Таким образом, про2ρ cos 2φ + r 2 cos 2ψстранственный комплекс записывается в видеν = Re ia + jβ .(1.5.)22ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯгде R, α - действительные числа; а β - в общем случае комплексное число.Перейдем к геометрической иллюстрации комплексного пространства.Рис.

4. Построение цилиндрической комплекснойсистемы координат четырехмерного пространства. Сложение мнимых векторов в четырехмерномпространстве Υ .iϕ+jθν=ReiyθxРис. 5. Построение цилиндрической комплекснойсистемы координат четырехмерного пространства. Сложение мнимых векторов в трехмерном пространстве Y.23ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯВ цилиндрических координатах (рис. 4) в соответствии с формулой (1.3.)iφiψк плоскости z=ρe восстановим из начала координат вектор jσ=jre , так чтомодуль r будет фиксировать расстояние от этой плоскости (z).iψПри такой интерпретации вектор jσ=jre при изменении− ∞ ≤ r ≤ +∞- и аргумента ψ0 ≤ arg σ ≤ 2πопишет цилиндрическую ось, сечение которой будет иметь некоторыйстрого положительный радиус ε, ε>0, в том числе и сколь угодно малый на любом сечении, параллельном плоскости (z). Таким образом, вектор jσ будет идтипо образующей, фиксированной углом ψ на этой цилиндрической оси.Конкретная точка ν в цилиндрических координатах представляет суммуiφjψдвух векторов: вектора ρe , лежащего в плоскости (z), и вектора jre , лежащего на цилиндрической оси.

В простейшем случае построенное четырехмерноепространство переходит в трехмерное. Это происходит при равенстве аргументов в плоских комплексах z, σ.νΨa)б)Рис. 6. Построение сферической комплексной системы координат: а- комплексная сферическая система координат трехмерного пространства; б делители нуля в комплексной системе.В этом случае все параметры, определяющие точку ν, становятся действительнымиν = ρ 2 + r 2 eiφ + ja ,rгде a = arctg- теперь тоже действительное число.ρИзображение такой точки представлено на рис. 5, где угол a обозначенчерез θ.

В этом случае точка определена тремя независимыми переменными r, ρ,φ;ν = ρeiφ + jreiφ = eiφ ( ρ + jr ).24ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯiφОбразующая, по которой идет вектор jre , фиксирована углом φ, равным углукомплекса, лежащего в плоскости (z). Все три вектора лежат в одной плоскости:iφiφдва составляющих z=ρe , σ=jre и суммарный вектор νРис. 7. Сферическая система координат трехмерного пространства: сфера в трехмерном комплексном пространстве.π/2Рис. 8. Сферическая система координат трехмерного пространства: мнимый суммарный радиусвектор делителей нуля.При постоянном модуле ν = R и изменении аргументов a, φ в пределах− π / 2 ≤ a ≤ π / 2,0 ≤ φ ≤ 2π .суммарный вектор ν опишет сферу с выколотыми вершинами по оси jσ (рис.

6,рис. 7.а.). Точка ν в пространстве (ν) фиксирована тремя действительными параметрами R, φ, a.25ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯФормула (1.5.) определяет сферические пространственные комплексныекоординаты:x = R cosφ cos a;y = iR sin φ cos a;z = j Reiφ sin a.Третья координата имеет вращение вокруг оси.(Этот вариант не рассматривается в квантовой механике, а вводится другими условиями, чтобы результат соответствовал эксперименту).1.1.6. Пространство делителей нуля.

Геометрическая иллюстрация.Преобразуем аргумент a комплекса v в формуле (1.5.), Положимra = arctg ( ei (ψ −φ ) ) = S + iσ ,ρтогда (здесь, a - угол)ν = Reiα + jβ = Reiα + jS + jiσ .(1.6.)В формуле (1.6.) комплекс v имеет все параметры R, α , S, σ - действительные числа.Исследуем комплекс (1.6.). Положимν = ( x + iy ) + j (ξ + iη ),тогдаR = ν = 4 x 4 + y 4 + ξ 4 + η 4 + 2 x 2 y 2 + 2 x 2ξ 2 + ×× + 2 y 2η 2 + 2ξ 2η 2 − 2 x 2η 2 − 2 y 2ξ 2 + 8 xyξηДалее, если, ξ = η = 0 , тогда S=σ=0,R = ρ = x2 + y 2 ,ν = ρeiφ .Значит, угол φ есть угол между проекцией ρ вектора R на плоскость (1, i) и осьюi, то есть, имеем обычную комплексную плоскость;если y=η=0, тогда ν=x+jξ,φ = 0,σ = 0, R = Rz = x 2 + ξ 2 ,ν = Re jS ,откуда следует, что угол S есть угол между проекцией R2 вектора R наплоскость (1, j) и осью 1;пусть y=ξ=0, тогда iη jarctg  22ξ ν = x + jiη = x − η e;и согласно (6) будем иметь φ=0, S=0,R = R3 = ν ,ν = R3e jiσ .Значит, σ - угол между проекцией R3 вектора R на плоскость (1, ij) и осью1.

Формула (1.6.) показывает, что пространственный модуль является действительной величиной. Кроме того, выполняется соотношение26ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯρeiφ + jreiψ ≤ ρeiφ + jreiφ(1.7.)или444 ρ + r + 2 ρ 2 r 2 cos 2(φ − ψ ) ≤ ρ 2 + r 2 .Следовательно, элементы пространства, у которых аргументы φ, ψ вкомплексах Z, σ не равны φ ≠ ψ , будут внутренними элементами пространства,у которых φ=ψ.C0C1C2γKgν2γ1Рис.

9. Конус-фильтр делителей нуля в четырехмерном комплексном пространствеВ цилиндрических координатах пространство (ν) является пространством выколотых ε - цилиндров, восстановленных к плоскости (z). Каждая точкапространства имеет в качестве окрестности окружность радиуса ε> 0, котораялежит в плоскости, параллельной плоскости (z), рис. 4, 6.Если arg z = arg σ, то окружность вырождается в точку, так же, как вырождается в точку радиус центральной оси ε → 0.Комплексное пространство (v) содержит подпространство делителей нуля. Делители нуля выделяются из пространства при соблюдении двух условий,когдаπσ = z , arg z ± arg σ = ± .2(1.8.)27ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯЕдиничный элемент делителя нуля изображен на рис. 6, на рис.

8 приведен комплексный делитель нуля. На рис. 7 показано пространственное расположениемножества элементов делителей нуля. При условии (1.8.) комплекс выразится ввидеν = ρeiφ ± jireiφ = ρeiφ (1 ± ji ) = jρeiφ ( − j ± j ) = jρeiφ ( − j ± i ) = "iφСоставляющий вектор jρe (аппликата) идет по образующей, которая фиксиро-вана на цилиндрической оси углом φ, и повернут относительно комплекса, лежащего в плоскости (z) на π/2.

Модули составляющих комплексов равны по величине r=ρ (рис. 8).Множество элементов делителей нуля образуют в пространстве в цилиндрических координатах конус-фильтр дискретных точек (см. рис. 9, 10, 11).iφКонус-фильтр элементов ρe (i ± j ) делит пространство на две части, причемэтот конус можно рассматривать как поворот поверхности конуса, у которогоr=ρ, относительно другой поверхности этого же конуса - на π/2. В результатеобразуется двойная граница, которая и представлена на рис.

9, 10, 11. Двойнаяграница не изолирует обе части друг от друга.Из одной части пространства можно пройти в другую часть по непрерывным кривым или прямым типа y1, С1, С2 на которых не соблюдаются условия (1.8.). Двойная граница конуса-фильтра может быть пройдена в окрестноститочек, которые создают эту двойную границу:либо в окрестности точкиiφiφν = ρe= ji (ρ + ε )e ,1ν1Рис. 10. Построение двойной границы конусафильтра делителей нулялибо в окрестности точкиiφ + iεiφν = ρe+ je .28ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯКонус-фильтр в сферических координатах сворачивается в цилиндрическую осьрадиуса 0 , равного корню из нуля. Эта ось содержит в себе изолированноенаправление ±arc tg i, согласно формулам (1.5.), (1.8.).(1.9.)ν = ρe iφ (i ± j ) = 0 ρeiφ e ± jarctg (i ).дФормула (9) определяет все элементы делителей нуля в сферических координатах.При коммутативном умножении векторов ij=ji имели очевидное равенство(1.10.)(i + j )(i − j ) = ii + ji − ji = −1 + ji − ij + 1 = 0.В этом равенстве нет неопределенности.

Однако до настоящего времени открытвопрос о равенстве произведения двух чисел нулю, если ни один из них не равен нулю. В пространстве чисел имеемi + j ≠ 0, i − j ≠ 0,однако(i + j )(i − j ) = 0.C1γκC2C1C2Рис. 11. Двойная граница конуса-фильтра в четырехмерном пространствеПреобразуем сумму и разность единичных векторов по формуле (1.9.).Делители нуля не равны тождественно нулю и их запись по формуле (1.9.) неэквивалентна неопределенному выражению:29ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯν д = ρeiφ (i + j ) = 0 ρeiφ e − jarctg (i ) ≠ 0;ν д = ρeiφ (i − j ) = 0 ρeiφ e + jarctg (i ) ≠ 0.Модули делителей нуля равны корню из нуля, также не равному тождественнонулю ввиду наличия в комплексе изолированного направления аргументаν д = 0;argν д = ± arctg (i ).В действительном и плоском комплексном пространстве корень из нуля тождественно равен нулю.