book5 (В.И. Елисеев), страница 9

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯЕсли функция f определена в четырехмерном пространстве, то необходимыеусловия ее дифференцирования записываются в виде:e −iφe −iφ∂W∂T∂W1i ∂T −iψ= e −iφ= − ie −iφ=−e ;∂ρ∂rρ∂φr ∂ψ∂T∂Wi ∂T −iφ i −iψ ∂W= − e − iψ=−.e = e∂ρ∂r∂ψr ∂φr(1.28.)Производная∂W∂T∂T∂W+ je −iφ= e −iψ− je −iψ=∂ρ∂ρ∂r∂r∂Wi ∂T iφ−je =!ρ ∂φ∂φf ' ( v ) = e −iφ=−1 −iφieρ(1.29.)Методика вывода выражений (1.28.), (1.29.) аналогична предыдущей.Условия (1.22.), (1.27.), (1.28.) являются необходимыми условиямисуществования производной от функции, определенной в комплексномпространстве. Достаточные условия доказываются как и в обычной (z)плоскости (как в двумерном случае).Замечание. Предел, определяющий наличие производной, необходимооценить в критических особых точках пространства - в элементах делителейнуля.Если точка ν+h стремится к точке ν по изолированному направлениюiφh = ∆ρe (i ± j ),Предел существует при рассмотрении выражения как единого символа ипри ∆ρ → 0 . Предел существует только при ∆ρ → 0 , так как (i ± j )iφпостоянная.

Поэтому необходимо рассматривать ∆ρe (i ± j ) как единыйсимвол.[]f v + ∆ρeiφ (i ± j ) − f (v )lim.∆ρ →0∆ρeiφ (i + j )(1.30.)В обычной комплексной плоскости (z) при рассмотрении пределаестественно выбрасывается ∆z=0. В пространстве вычет приращения h=0 влечетiφза собой и вычет элементов делителей нуля ∆ρe (i ± j ).Однако в пространстве (Y) более правильным будет производная поизолированному направлению.Каждая точка υ0 комплексного пространства Υ является исходнойточкой изолированного направления υ = υ 0 + z (1 ± ji ) . Геометрически этоозначает, что к точке υ0 прибавляется точка, не имеющая суммарного радиуса.Если выражение записать в виде υ − υ 0 = z (1 ± ji ) , то получаем переносизолированного направления в точку υ0 .

Для изолированного направленияпеременная z является модулем этого направления, остается в силе предельныйпереходlim z → 0 (υ − υ 0 ) = 0 , lim z → ∞ (υ − υ 0 ) = ∞(1 ± ji ) .42ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯДля определения производной от функции f (υ ) в изолированномнаправлении, приращение переменной необходимо рассматривать как единыйсимвол ∆υ = ∆υ (1 ± ji ) .Приращениефункциивыразитсяв виде∆f = f [υ 0 + ∆υ (1 ± ji )] − f (υ 0 ) , так что производная выразится как пределf [υ 0 + ∆υ (1 ± ji )] − f (υ 0 ), или∆υ (1 ± ji )f / (υ 0 ) = lim ∆υ → 0lim ∆υ → 0∆f= f / (υ 0 ) .∆υ (1 ± ji )Приращениепредставить в видефункциипоизолированномунаправлениюможно∆f = f [υ 0 + ∆υ (1 ± ji )] − f (υ 0 ) =∂f1 ∂2 f 2∆υ (1 ± ji ) +∆ (1 ± ji )2 + ..... + 0(∆υ (1 ± ji ))2∂υ 02 ∂ υ0Так , что ограничиваясь первым членом в разложении в ряд будем∂f∆υ (1 + ji )∂υ0= f ′(υ 0 )иметьlim ∆υ →0∆υ (1 + ji )Последнее соотношение означает, что для любого ε " 0 существует∆f− f / (υ 0 ) # ε имеет место,∆υ (1 ± ji )δ = δ (ε ) " 0 такое, что неравенствоесли0 # ∆υ (1 ± ji ) # δВэтомслучае∆f = f / (υ 0 ) ∆υ (1 ± ji ) + 0( ∆υ (1 ± ji )) ∆υ →0 , где0( ∆υ (1 ± ji )) есть величина более высокого порядка малости, чем ∆υ .Справедливо и обратное утверждение∆f = A∆υ (1 ± ji ) + 0( ∆υ (1 ± ji )) ,постоянная,независящаяот∆υ .ВгдеAестькомплекснаяэтом случае функция f (υ )дифференцируема в точке υ0 и A = f (υ 0 )/1.2.2.

Элементарные функцииРассмотрим классические функции анализа и распространим их определение вкомплексное пространство.Функции сохраняют свойства действительного и комплексного анализа иприобретают новые свойства, которые представляют интерес для практическихприложений.Наличие в пространстве выколотой оси по-новому ставит вопрос о циклическихсвойствах функций.В действительной и комплексной плоскости простейшей циклической кривойявляется окружность, центр которой находится в начале координат илиизолированной точке.В комплексном пространстве циклическую кривую необходимо определить. Нодля этого необходимо сформулировать критерии, которые определяют характерпространственной кривой.

В связи с этим исследование многозначности43ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯфункций произведем после установления интегральных теорем. Остановимся нааппарате комплексного пространства:а.) определение функций, выделение в них комплексных и действительныхчисел;б) аналитичность;с) таблица производных;д) поведение функций в особых точках.nA. Функции ω = v и ω = n v где n - любое целое положительное число,определены во всем пространстве (Y).Функция νn в пространстве (ν) за вычетом ε -туннеля дискретных точекпредставима в следующих выражениях:iF + jθn inφ + jnψRe=r e,(1.31.)откудаR = r n , F = nφ ,θ = nψ ,где величина ψ и соответственно θ могут быть комплексными.Можно воспользоваться формулой (1.6), тогдаiF + jθ + jiSn inφ + jnψ + jinσRe=r eи соотношения запишутся в виде:n(1.32.)R = r , F = nφ , θ = nψ , S = nσ ,где все параметры действительны.Соотношения (1.31.), (1.32.) показывают, что отображение, осуществляемоефункцией νn, сводится к повороту всех углов φ, ψ, σ на угол (n-1) argν иn −1растяжению радиуса вектора v = r в rраз.ϕ= 2πnψ= 2πnϕ= 2πnРис.

14. Отображение пространственного секторав полное пространствоВ трехмерном пространстве можно записатьRe iF + jθ = r n e inφ + jnψ .R = r n , F = nφ ,θ = nψ .44ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯПолученные соотношения не отличаются от формул (1.31.) с той лишьоговоркой, что ψ и θ - действительные числа. В этом случае поверхностьпространственного сектора на сфере r радиуса, ограниченная условиями2π,n2π0 <ψ ≤,n0<φ ≤n −1отображается на поверхность сферы радиуса, в rраз большего, иохватывает всю поверхность сферы (рис. 14).Для однозначного отображения выкалывается ось,действительная вположительном направлении.Докажем, что функция νn аналитична в пространстве (ν). Раскроем предел(1.21.)hv n −1h + h 2 ()(v + h ) n − v nn −1lim= lim= nvf ( v ) = v = ( ρe+ jre ) = ( ρ − r )ehhh →0h →0Таким образом, для любого ν существует предел и функция аналитична.Проверим условия дифференцирования функции на ее частном виде ν2.В цилиндрических координатах трехмерного пространства имеем2iφiφ 222 2iφ2iφ+ j 2rρe,откудаiφ) ( )(R (ρe iφ , re iφ ) = Im(v 2 ) = 2 ρre 2iφ .W ρe , re iφ = Re v 2 = ρ 2 e 2iφ − r 2 e 2iφ ;Проверяем условия дифференцирования в форме (1.26.):∂W∂R∂ ρW + rR= e − iφ= 2 ρe −iφ = −ie −iφ=∂ρ∂r∂φ ρ 2 + r 222 iφ2 iφ− r 2 ρ 2ie 2iφ−iφ ρρ 2ie−iφ r 2 ρr 2ie= −ie+ − ie=ρ 2 + r2ρ 2 + r22ρ= e iφ 2ρ 2 + r 2 = 2 ρeiφ ;2ρ +r∂R∂W∂ rW − ρR= −e −iφ= ie −iφ= 2re iφ .e −iφ∂ρ∂r∂φ ρ 2 + r 2e −iφ(())Определяем производную( )∂W∂K+ e −iφ= 2 v.f ' (v ) = v 2 ' = − je −iφ∂r∂rТаким образом, табличная производная осталась без изменения.В цилиндрических координатах четырехмерного пространства проверяемусловия дифференцируемости в формах (1.28.), (1.29.):22 2iφ2 2iψi (ψ +φ )f (v) = v = ρ e−r e+ j 2 ρre.Отделение комплексных частей дает:45ГЛАВА 1.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ)(R (ρe iφ , re iψ ) = Im f (v ) = 2 ρre i (φ +ψ ).W ρe iφ , re iψ = Re f (v ) = ρ 2 e 2iφ − r 2 e 2iψ ;В соответствии с условиями (1.28.), (1.29.) имеем:e −iφe −iφ∂W ∂R −iψ∂W11 ∂W −iψ== − ie −iφ= −i= 2 ρe iφ ;eeρ∂ρ ∂r∂φr ∂ψ∂W −iψ 1 ∂R −iφ 1 ∂W −iψ∂R= 2re +iψ .= i e = i=−eeρ ∂φ∂r∂ρr ∂ψОпределяем производную:f ' (v ) = e −iφ∂W∂R+ je −iφ= 2 ρe iφ + 2 jre iψ = 2v.∂ρ∂ρТаким образом, табличная производная осталась в силе.Функция νn определена на выколотой оси, то есть в дискретных точкахделителей нуляnn −1f (v ) = f (i + j ) = (i + j ) = (2i )Если(i + j ).v д = ρe iφ (i + j ).тоv дn = ρ n e 2inφ (2i )n −1 (i + j ).По-прежнему имеемv дn = 0 , arg v д = − arctg (i ).Функция n v является обратной функции νn.ЕслиiF + jθω = R⋅e,v = re iψ + jψ ,то1 φ ψi +jR ⋅ e iF + jθ = r n e n n .Соотношения, определяющие отображения, имеет вид:R = n r,φ,nψθ= .nF=Однако для этих отображений необходимо определить периодичностьизменения аргументов φ, ψ.

На этом остановимся после интегральных теорем.Для однозначных ветвей для функции n v существует табличная производная46ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ(1.33.)1∂ n v 1 n −1= v.∂vnФункция n v определена и в делителях нуля. Формально можно провестиоперации1 φ11i− jarctg (i )n v д = n ρe iφ (i + j ) = ρ n e n ⋅ 0 2 n ⋅ e n=1 φi= ρ n e n n 0 ⋅ e − jarctg (i ) .При операциях с такими комплексами необходимо следить за порядком нуля нкоэффициентом перед изолированным аргументом.B. Функция ω =1.vВ трехмерном пространстве цилиндрической системы координат запишем111== e −i φ=ρ + jrv ρeiφ + jreiφρr= e −i φ− je −iφ.ρ 2 + r2ρ 2 + r2ω=Выделение комплексных частей дает:()()ρW ρe iφ , re iφ = Re ω = e −iφ22;ρ +rrR ρe iφ , re iφ = Im ω = e −iφ.22ρ +rПроверяем условия дифференцируемости функции в форме (1.27.):22∂R−iφ ∂W− 2iφ r − ρ== e −iφ=ee∂r∂ρ22 2(ρ+r)∂ ρW + rR=∂φ ρ 2 + r 2ρρρ + ie −iφ r− ie −iφρ 2 + r2ρ 2 + r2−iφ== −ie22 2ρ +r= −ie −iφ= e −2iφe −i φr2 − ρ 2(ρ2+r)2 2();∂R∂W= −ie −iφ= e −2iφ∂ρ∂r2 ρr(ρ 2 + r 2 )2= ie −iφ∂ rW − ρR=∂φ ρ 2 − r 247ГЛАВА 1.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ= −ie(−iφ − ie− riφ(ρrρ − rρie −iφ2+r)2 2) = e−2iφ(ρ2 rρ2+r)2 2.Необходимые условия выполняются. Определим производную функции∂  1  −iφ ∂W∂R+ je −iφ= =e∂v  v ∂ρ∂ρ=e=e− 2iφ− 2i φr2 − ρ 2(ρ2+r(r +)2 2+ je −2iφ(ρ2 ρr2+r)2 2=2−2iφ [ j (− jr + ρ )]==e2 222 2jρ )2(ρ 2 + r )(ρ2+r) ρ 2 + r 2  −2 jarctg  r  eρ == − e −2iφ 2ρ 2 + r211= −e −2iφ −2 jψ=− .ρ 2 + r2v2)(Таким образом, и для этой функции остается без изменения вид табличнойпроизводной∂ 11 =− 2.∂v  v vОпределим функцию1в пространстве четырех переменных в цилиндрическихvкоординатахρe iφ11reω= ==− j.v ρe iφ + jre iψ ρ 2 e 2iφ + r 2 e 2iψρ 2 e 2iφ + r 2 e 2iψВыделение комплексных частей дает:ρe iφiφiψ= Re ω =;W ρe , re2 2iφ2 2iψ(()iφR ρe , reiψρ e)= Im ω = −+r ere iψρ 2 e 2iφ + r 2 e 2iψ.Нетрудно проверить, что комплексные части W, R удовлетворяют условиямдифференцирования в формах (1.28.), (1.29.).

Не останавливаясьнаэлементарных выкладках, определим производную в этом пространстве∂  1  −iφ ∂W∂R+ je −iφ= =e∂v  v ∂ρ∂ρ48ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ=−=ρ 2 e 2iφ − r 2 e 2iψρ 2 e 2iφ + r 2 e 2iψ+j2 rρeiψ +iφρ 2 e 2iφ + r 2 e 2iψ− ρ 2 e 2iφ + 2 jrρeiψ +iφ + r 2 e 2iψ2 2iφρ e2 2iψ+r e==2 ρ 2 e 2iφ + r 2 e 2iψ  −2 jarctg  r ei (ψ +φ )1 eρ= −=− .2v2ρ 2 e 2iφ + r 2 e 2iψ1Таким образом, вид производной от функции , определенной вv)(четырехмерном пространстве, соответствует табличному виду производной отфункции, определенной как в плоскости комплексного переменного (z), так идействительной области∂ 11 =− 2.∂v1  v v(1.34.)1в особых точках пространства не определена так же, как она неvопределена в точке О.

Вычет нулевой точки соответствует вычету всехэлементов делителей нуля, расположенных на цилиндрической выколотой оси.ФункцияC. Интерес представляет рассмотрение самого элемента пространства (v).Еслиv = ρe iφ + jre iφ , то Re v = ρe iφ , Im v = re iφ .Условия дифференцируемости в форме (1.23.) легко проверяются. Производнаяот функции∂(v ) = e −iφ ∂W + je −iφ ∂R = e −iφ e +iφ + 0 = 1.∂v∂ρ∂ρ(1.35.)В пространстве четырех переменных элемент выражается в видеiφiψiφiψv = ρe+ jre, Re v = ρe , Im v = re.Для него выполняются условия дифференцирования в формах (1.28.), (1.29.).Производная рассчитывается по формуле∂(v ) = e −iφ ∂W + je −iφ ∂R = e −iφ e +iφ + j ⋅ 0 = 1.∂v∂ρ∂ρD. Экспоненциальная функция eν определена во всем пространстве (ν), включаяэлементы делителей нуля и им эквивалентные числа. Нигде функция необращается нульω = e i ± j = e i cos1 ± jei sin1 = e i ⋅ cos2 1 + sin 2 1 = 1.Модуль комплекса равен 1.Рассмотрим также функцию от элементов делителей нуля49ГЛАВА 1.