book5 (В.И. Елисеев), страница 7

В пространстве вследствие наличия изолированного направления, выражаемого через функцию arctg в изолированной точке i, кореньиз нуля не равен тождественно нулю. Если корень из нуля приравнять к нулю,то в этом случае будет нарушены операция преобразования комплекса при переходе от цилиндрических к сферическим координатам.Комплексная алгебра расшифровывает очевидное равенство (1.10.) и нетребует накладывания на единичные векторы i, j и их произведения дополнительных ограничений, как это выполнено в алгебре гиперкомплексных чисел.[5]или в векторном исчислении,(1.11.)− jarctg (i )+ jarctg (i )0(i + j )(i − j ) =0e0e= 0 0e = 0.Порядок нуля сохраняется, неопределенность отсутствует.

Алгебра нетребует ограничений, отличных от обычных операций над действительнымичислами.Еще раз подчеркнем, что только наличие делителей нуля привело к созданию гиперкомплексных чисел, теория которых оказалась тупиковым вариантом. Векторное исчисление не привело к созданию аппарата наподобие аппаратакомплексных чисел и их теории аналитических функций.По существу, вскрыто свойство делителей нуля. Делители нуля - это числа, представляющие сумму двух комплексов плоских областей z, σ в пространстве (ν).

Комплексы z и σ имеют равные модули z=σ, arg z – arg σ = π/2 иаргументы, отличающиеся друг от друга на π/2. В цилиндрических координатахэлементы делителей нуля имеют равный корню из нуля модуль.С1С2Рис. 12. Прохождение цилиндрической комплекснойоси по прямым, расположенным на разных уровняхот начало координатНа рис. 8 суммарный комплекс изображен пунктиром. Суммарный комплекс νд разлагается на два не суммируемых вектора, имеющих равные модулии разные точки приложения в окрестности изолированной оси, повернутые от-30ГЛАВА 1.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯносительно друг друга на π/2. Векторы взаимно перпендикулярны, приложены вразных точках окрестности нуля, равны по величине. Вследствие этого суммарный вектор практически заменяется крутящим моментом (в инженерной терминологии).Таким образом, комплексное пространство имеет третью ось, также комплексную плоскость, свернутую, а цилиндрическую поверхность радиуса корняиз нуля. Эта ось заключает в себе изолированное направление ±arctg i.

Пространство внутри этой цилиндрической оси принадлежит пространству другогоизмерения. Пройти эту ось по прямой нельзя (рис. 12, прямая С2 ). Вдали от начала координат огибать эту ось необходимо по прямой С1 с криволинейнымучастком, огибающим цилиндрическую ось радиуса корня из нуля.1.1.7. Операция деления в комплексном пространствеНаличие в пространстве (ν) изолированного направления, как было показано, обусловливает появление в пространстве новых объектов - делителей нуля. Остановимся на свойствах этих объектов.Делители нуля обладают свойством нуля, для которого в действительнойи комплексной областях справедливо равенство(1.12.)a ⋅0 = b⋅0 = 0,где a и b могут быть и пространственными числами ν. Равенство (1.12.) сократить на нуль нельзя, Для делителей нуля есть аналогичное равенство, котороебудет дано ниже, поэтому на них сокращать нельзя так же, как сокращать (1.12.)на нуль.

Сокращение есть операция деления, поэтому делить на элементы делителей нуля нельзя так же, как делить на нуль. Следует отличать логический термин “делить нельзя” или “разделить невозможно”. Термин “делить нельзя” этоусловие алгебраического запрета на операцию. Термин “разделить невозможно”это тупик алгебраического построения, который возникает вследствие неправильного логического построения алгебраических операций.Покажем наличие в пространстве (ν) свойства делителей нуля, аналогичного свойству (1.12.) для нуля.

Рассмотрим произведение числа (ν) на делителинуля νд:νν д = ( x + iy + jξ + jiη )(i + j ) = [( x − y ) + i ( y − ξ )](i + j );νν д = ( x + iy + jξ + jiη )(i − j ) = [( x + η ) − i (ξ − y )](i − j ).(1.13.)Выражение (1.13.) получено на основе коммутативного умножения элементов. По смыслу выражение (1.13.) эквивалентно выражению (1.12.). Делитьна элементы νд=i±j нельзя так же, как и делить на пуль. Однако, как и нуль, делители нуля имеют обратные элементы1= ∞e ± jarctg (i ).νдВторое свойство нуляa+0=aдля делителей нуля не выполняетсяν +ν Д = ν + i ± j ≠ νТаким образом, в пространстве (ν) есть объекты, которые обладают каксвойством нуля (1.11.), так и свойством обычных элементов.

Обратным элементом для нуля является бесконечность31ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ1~ ∞,0для делителей нуля обратными элементами являются бесконечные делители1= ∞e # jarctg (i ).i± jНеобходимо отметить, что ноль в пространстве представим в видеiφ + jS + jiσ0 ~ 0e,где φ, S, σ могут быть любыми числами и даже изолированным направлением.Определим операцию деления как решение системы линейных уравнений, получаемых в пространстве комплексных чисел.Обозначим:ν = a + ib + jc + jid ;ν ' = a '+ib'+ jc'+ jid ' ;(1.14.)λ = x + iy + jξ + jiη.Элемент λ считаем неизвестным, его надо получить из решения системыλυ = υ ' (1.14)Раскрывая соотношение (1.14.), получим систему четырех линейныхуравнений с четырьмя неизвестными:ax − by − aξ + dη = a;bx + ay − dξ − cη = b' ;cx − dy + aξ − bη = c' ;dx + cy + bξ + aη = d '.(1.15.)Система (1.15.) получена на основе отделения действительных и мнимыхчастей в комплексном произведении υλ и комплексе v':Re Re(νλ ) = Re Reν ' = a ' ;Re Im(νλ ) = Re Imν ' = b' ;Im Re(νλ ) = Im Reν ' = c' ;Im Im(νλ ) = Im Imν ' = d '.Система имеет решение, когда ее определитель не равен нулю.

Определительсистемы (1.15.) оказался равным модулю комплекса ν , возведенному в четвертую степень. Опуская элементарные выкладки, запишем как фактabcd−ba−dc−c−dabd−c4=ν .−baСледовательно, система (1.14.) не имеет решения, когда выражение (1.15.) равнонулю. Для комплексного пространства (ν) определитель (1.15.) равен нулю вдвух случаях:ν = 0, что возможно при a=0, b=0, c=0, d=0;32ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯν = 0 , когда ν∈νд и комплекс является делителем нуля.Во втором случае, даже если ν’∈νд, делить нельзя, так как вступает в силу соотношение (1.13.).Таким образом, исследования решения системы линейных уравнений счетырьмя неизвестными, построенной на базе алгебры с коммутативным умножением, показали, что операция деления выполнима в комплексном пространстве, как в обычном действительном и плоском комплексном пространстве.Пространственная комплексная алгебра (ν) относится к алгебре с делением, к алгебре кольца класса вычетов [6] так же, как комплексная алгебра (z) еслисчитать нуль за идеал.

В пространстве (ν) вычет нуля эквивалентен вычету всехэлементов делителей нуля νд. Это следует из выражения (1.13.).Итак, доказано, что в пространстве (ν) за вычетом нуля и элементов делителей нуля возможно проведение операций, аналогичных операциям над действительными и комплексными (z) числами.Алгебра обладает свойством нормированной алгебры: норма произведения равна произведению нормν 1ν 2 = ν 1 ⋅ ν 2 .Теорема Фробениуса [5], которая запрещает обобщение поля действительных чисел, в своем доказательстве не учитывает свойств новых объектов чисел делителей нуля, поэтому она не применима к построенной алгебре. Теорема Фробениуса утверждает, что расширением поля действительных и комплексных чисел является квартенионы - всякое обобщение чисел приводит кизоморфизму квартенионов.Квартенионные единицы 1, i, j, k связаны следующими равенствами:i 2 = j 2 = k 2 = −1;ij = − ji = k ;jk = − kj = i;ki = −ik = j.Свойство квартенионных единиц не соответствуют коммутативностиумножения.В настоящее время уже очевидно, что это свойство и явилось тем ограничением, которое не позволило обобщить методы теории функций комплексного переменного (z) в комплексное пространство.Предлагаемая комплексная алгебра ν снимает это ограничение.Алгебра делителей нуля не требует введения ограничений на проведениеопераций с этими объектами, также как и введение новых.

Необходимо иметьтолько ввиду, что делители нуля обладают как свойствами обычных чисел, так исвойством нуля. Например произведем умножениеυυ d = Reiϕ + jψ ρeiϕ1 (1 ± ji ) = Reiϕ + jψ ρ 0e iϕ1 ± jarctgi == Rρ 0e iϕ +iϕ1 + jψ ± jarctgiНо известно соотношение arctgz + arctgz1 = arctgz ± z1, поэтому1− z1 z33ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯr i (ψ −ϕ )±ieρψ ± artgi = arctg=r i (ψ −ϕ )i1± eρr i (ψ −ϕ )±ieρ= arctg= arctgi ,r i (ψ −ϕ )− i (i ± e)ρ(1.16.)сложение изолированного аргумента с любам неизолированным дает изолированный, поэтому произведение элемента пространства на делитель нуля даетделитель нуля.υυ d = Rei (ϕ +ϕ1 ) ρ (1 ± ji )Возведение в степень делителей нуля дает следующую таблицу значений(i ±(i ±(i ±(i ±(i ±j ) 0 = 1 , перенесено из действительного анализа,j )1 = i ± jj ) 2 = 2i (i ± j )j ) 3 = −4(i ± j )j ) 4 = −8i (i ± j )…(i ± j ) = (2i ) n −1 (i ± j )(1.17.)n2Рассмотрим соотношение (i ± j ) = 2i (i ± j ) .

Сократить это равенствона делитель нуля нельзя, так как в этом случае делить нуля становится равнымобычному числу, возводя которое в степень не дает исходное равенство.(i ± j ) 2 = ±2i (i ± j ) ⇒ (i ± j )(i ± j ± 2i ) = 0 .Равенство выполняется только при произведении делителей нуля.

i ± j ≠ 0, i ± j ≠ ±2i .Если имеем в двух частях равенства делители нуля, возведенные в степень выше единицы, то сократить на делитель нуля в степени, чтобы в результате в одной из частей равенства осталась степень не меньше единицы возможно.Например, имеем(i ± j )5 = −8i(i ± j ) 2 ⇒ (i ± j ) 4 = −8i (i ± j ) .Извлечениекорняизделителейнулядает(i ± j ) 2 = 2i (i ± j ) ⇒ (i ± j ) = 2i (i ± j ) ⇒ (i ± j ) =делитель(i ± j ).2iнуляВ конечном счете ноль также является делителем нуля. В пространствеΥ при такой интерпретации нуля область нуля как делителя нуля расширяется иявляется неотъемлемой частью пространства, как ноль на плоскости и прямой.Если обычные числа имеют своим продолжением в плоскости и пространствечисла, которые подчиняются обычным алгебраическим операциям, то ноль какделитель имеет расширение как пространство делителей нуля.34ГЛАВА 1.