book5 (В.И. Елисеев - Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного), страница 11

Интеграл определяет разность значенийγаргумента между конечной и начальными точками на кривой γ .∆ γ arg υ = ∫γ− σdz + zdσ.z2 +σ 2В пространстве знаменатель подъинтегральной функции имеет двечторавносильноточкисособенности:1)z = 0, σ = 0 ,ρ = 0, r = 0 ,фиксирующей начало координат ;= 0 , раскрывая это соотношение между модулями2) ρ e + r eкомплексов и аргументами получим ,что соотношение выполняется при22 iϕ22 iψравенстве ρ = r,ψ − ϕ =π.2Полученные соотношения определяют изолированную ось впространстве .Таким образом , выбрасывая из рассмотрения начало координатнеобходимо учитывать изолированную ось делителей нуля как особенность впространстве Область Д за вычетом этих особенностей является односвязнойобластью и для каждой кривой γ 1 , γ имеет место равенство∫ Ρdz + Qdσ = ∫ Ρdz + Qdσγ1γσz, Q ( z, σ ) = 22z +σz +σ 2dΡ dQ=и выполняется равенствоdσdzТаким образом , если кривые γ , γ 1 выходят из одной точки и приходят вгде Ρ( z, σ ) = −2одну точку ,оставаясьВобласти∆ γ arg υ = ∆ γ 1определения,тоимеетместоравенствоarg υ .Кривые γ , γ 1 можно непрерывно деформировать впространстве .В комплексном пространстве аргументы57ГЛАВА 1.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯF , Ψ имеют комплексную периодичность 4πi + 2πj , так что комплексν имеет видυ = Re iF + jΨ + 4kπi + 2 kπj , где к=0,1,2,….есть целое. Эта периодичностьследует из закона извлечения квадратного корня из+1 в пространстве чисел ипространственной кривой C3 .Рассмотрим комплексный аргумент Ψ как комплексную функцию вплоскостигдедляудобствавведеныобозначенияz = τe iδ ,τ=r, δ = ψ − ϕ . ФункцияρΨявляетсяаналитическойфункциейврасширенной плоскости z с выколотыми точками ± i ,которые являютсялогарифмическими точками ветвления .Ψ = arctgr i (ψ −ϕ )eρr i (ψ −ϕ )eρ1= Ln.2i 1 − i r e i (ψ −ϕ )ρ1+ iУсловия выделения изолированной оси или иначе говоря конусаделителей нуля выражаемые равенствомπr = ρ ,ψ − ϕ = ±показывают,чтовпространствеимеется2логарифмическая ось ветвления. Произведем выделение действительной имнимой части комплекса Ψ = η + is .

Преобразуя Lnпо законам комплексной алгебры Z получим2rr1 − 2 sin δ +  ρ1ρs = Ln22rr1 + 2 sin δ +  ρρσ =1arctg22rcos δρr1−  ρ2представляет сумму аргументов числителя изнаменателяКомплексный аргумент имеет вид2rr1 − 2 sin δ +  ρ1iρψ = σ + is = arctg+Ln2222rrr1−  1 + 2 sin δ +  ρρρ r2 cos δρ(1.41.)При обходе цилиндрической оси комплексный аргумент имеетприращение только по действительной части. Мнимая часть представляет58ГЛАВА 1.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯоднозначную логарифмическую функцию, приращение которой дает нуль. Ввершинах пространственной сферы при ρ = 0 при любом r.δ и любом r имеем dLnr2= 0 . Действительная часть в вершинахr2сферы равнаσ ρ→01= arctg22rcos δρ11⇒ arctg 0 = ( ±π )22r1−  ρ(1.42.)2При условиях выделения изолированной оси r = ρ ,ψ − ϕ = ±± 2 ⋅1 1  π π1= ±  = ±arctg21−1 2  2 411$ 2 +1= $∞s = ln21± 2 +1πимеем2σ =Рассмотрим значение параметров σ , s в особых точках пространства:1)Еслиρ = 0,топрилюбомδимеем1r2s = ln 2 = 0 .В этом случае2rπ2 ρr cos δ 1= arctg 0 = ±σ = arctg 2222ρ −rπ± jπiϕiϕаргумент ψ = ± и комплекс υ = e 2 re 1 = ± jre 1 .

Если принять2ρ = 0 = 0 ,то σ = 0 ,комплекс υ = reiϕ1 .π,ρ ≠ r,тоивэтомслучаеберем2πρ±r1i,аргумент ψ в этом случае состоит изσ = arctg 0 = ± , s = Lnρ $r2222)Еслиδ =±действительной и комплексной частей ψ = ±π+ is .2π, ρ = r то действительная часть аргумента ψ становится2iнеопределенной, так как мнимая часть равна мнимой бесконечности ± ∞ .2Последнее означает, что ψ = ± arctgi . Эта величина также определяет3) Если δ = ±комплексную бесконечность.

В пространстве Υ при этих условиях можнорассматривать аргумент ψ , выражаемый равноценными значениямиπψ = ± ji∞ = ± jiarctg = ± jarctgi. Таким образом, доказано, что изолированная2πось определена направлением ± arctg .259ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯπππ,то σ = ± , s = 0 , аргумент ψ = ± .222Свойство введенного пространства раскрываются при анализеинтегрального представления функции arctgυ .Функция при действительном4) Если ρ = 0 , δ =xпеременном x допускает интегральное представлениеПереходяυdξкυпространству Υ ,выразимυфункциюdt.2+1t0arctgx = ∫черезлогарифм11111 1 + iυ.dξ + ∫dξ = ln∫−ξ+ξ−υ21i21i2i1io001 1 + iυи функция аналитична вСледовательно arctgυ =ln2i 1 − iυпространстве с выколотыми точками ± i.Аналогичные выкладки дают и для точек ± j.

Так , что1 1 + jυarctgυ =ln. Функция в пространстве имеет еще две выколотые2 j 1 − jυточки ± j.∫1+ξ 2=Функция (1 + Ζ 2 ) регулярна во всей комплексной плоскости Ζ свыколотыми точками ± iΖdξФункция arctgΖ = ∫аналитична в комплексной плоскости с2+ξ10выколотыми точками ± i−1Функция (1 + υ 2 ) регулярна во всем пространстве Υ за исключениемчетырех точек υ = ±i ,υ = ± j.

Поэтому целесообразно разложить дробь на четырепростейшие дроби11 1111 = +++.21+ ξ4  1 − iξ 1 + iξ 1 + jξ 1 − jξ При таком разложении каждая дробь не регулярна в одном из полюсов .Делители нуля также исключаются из рассмотрения , так как подстановканерегулярной точки в другие дроби невозможно ибо в этом случае дробь непринадлежит разложению исходной дроби .Точки ± ji не являются корнями знаменателя исходной дроби.Функцию arctgυ в пространстве Υ следовательно можно записать ввиде−11υ  1111 +++dξ =arctgυ = ∫ 4 0  1 − iξ 1 + iξ 1 + jξ 1 − jξ 1 1 + iξ 1 1 + jξ= ln+ ln4i 1 − iξ 4 j 1 − jξТаким образом, функция arctgυ в пространстве Υ выражается суммойлогарифмов.60ГЛАВА 1.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯТаблица производных элементарных функций классического анализа,определенных в комплексном пространствеСведем формулы (1.29.) – (1.35.) . в таблицу:∂v = 1;∂v∂ω = v 2 , v 2 = 2 v;∂v∂ω = v n , v n = nv n −1;∂v1 ∂ 11ω = ,  =− ;v ∂v  v v2∂1ω = ln v, (ln v ) = ;∂vv∂ω = ev , ev = ev∂vf (v ) = v,(1.43.)( )и так далее.Из таблицы видно, что классические функции анализа имеют таблицупроизводных, которая ничем не отличается от таблицы производных этихфункций, определенных в z плоскости и на действительной оси.611.3. Интегральные теоремы Коши в комплексном пространстве1.3.1. Связность комплексного пространстваПространственные комплексные координаты, введенные в исследование, поновому определили точку в пространстве связность, непрерывность этогопространства.iφКомплексная ось jreявляется естественным продолжением впостроении системы комплексных координат, ибо к плоскости (z)восстановлена плоскость, только свернутая в цилиндрическую поверхность срадиусом корня из нуля.

При построении комплексной плоскости (z) оси x и yтопологически равноценны и выступают как обозначения, которые можнопереставить. Продолжая этот принцип к плоскости (z), была восстановленатакже плоскость (σ), свернутая в цилиндр, на поверхности которого остаются всиле все метрические соотношения, заданные на плоскости: сумма угловтреугольника по прежнему равна 180 град., равными остаются расстояниямежду вершинами и величина площади. Гауссова кривизна цилиндра равнанулю. В этом смысле декартова система координат становится совершеннонепригодной из-за того, что третья ось не несет топологии плоскости, к которойона восстановлена.На внешней поверхности выколотой оси jσ можно получить все точкиплоскости (z).

В цилиндрических координатах, каждая точка ν имеетокрестность γr, с радиусом ε r ~ 0 , которая расположена от плоскости (z) нарасстоянии r. (см. рис. 4, 5, 6, 7). Поверхность выколотой оси jσ содержитπ. Тогда согласно формуле (1.5.) можно записать2π π = R ⋅ e iα cos  + jR ⋅ e iα sin  = jR ⋅ eiα .22точки, у которых угол β = ±v = R ⋅ e iα + jπ / 2Поэтому изолированное направление ±j arctg(i) следует считать заключеннымвнутри этой выколотой оси, а бесконечное множество делителей нуля νдобразует внутреннюю поверхность выколотой оси. Все это бесконечноемножество, расположенное на конусе с мнимой поверхностью вцилиндрической системе координат, собирается в выколотую ось в сферическихкоординатах.

Мнимый конус-фильтр состоит из окрестностей точек γr,поверхность которых повернута относительно поверхности обычных точек ν наπ/2 согласно условию (1.8.).Точка делителей нуля в цилиндрических координатах имеет место (рис. 8),однако в нее нельзя провести радиус-вектор, поэтому поверхность,образованную множеством этих точек, считаем мнимой. Эта поверхностьобразована множеством не суммируемых, взаимно перпендикулярных векторовс равными по величине модулями и имеющих начало в равных точкахокрестности нуля ε r ~ 0 , повернутых одна относительно другой на угол π/2.Из классического анализа известно, что для получения взаимно однозначногоотображения необходимо из пространства координат исключить некоторуюобласть: в простейшем случае это нуль, в сферических координатах это линия, вкомплексной z - плоскости это окрестность нуля.62ГЛАВА 1.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯСогласно формуле (1.5.) сферические комплексные координаты выражаются ввиде:x = R cosφ cosψ ;y = iR cosψ sin φ ;σ = jR ⋅ eiφ sinψ .Якобиан отображения пространства ν в пространство ν(R, φ, ψ) будет равен∂ (x , y ,σ )= jiR 2eiφ cosψ .∂ (R,φ ,ψ )Формула показывает, что якобиан равен нулю в следующих случаях:R = 0; ψ = ±π; R = 0.2Первый случай тривиален, второй рассмотрен выше и указывает на исключениеиз рассмотрения поверхности выколотой оси. Третий случай говорит о том, чтоесли из пространства (ν) выбросить выколотую ось радиуса ε r ~ 0 , товследствие наличия в якобиане квадрата радиуса на пространства одновременновыбрасывается все множество делителей нуля νд, которые характеризуютсяуглами ψ, равными изолированному направлению arctg i.Рис. 15.