book5 (В.И. Елисеев - Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного), страница 14

В цилиндрическихкоординатах когда комплексы, составляющие элемент пространства имеютразные углы ϕ ≠ ψ поворот около изолированной оси одного комплекса z,относительно другого можно охарактеризовать появлением контура типа 1—2—3—4 (Рис. 24). Контур интегрирования 1—3—4 или контур 1—2—4 можетбыть заменен кривой 1—4, находящейся на цилиндрической поверхности,выделенной контуром 1—2—3—4. Отрезок контура 4—5 в этом случаехарактеризуетсяследующимипараметрамиρ = const, r = const, ϕ = const, δ = ψ − ϕ . Это находится в строгомсоответствии с представлением комплекса в виде.υ = e iϕ ( ρ + jre i (ψ −ϕ ) ) .

Комплекс, стоящий в скобках ρ + jre iδ ,состоитиз отрезка ρ ,идущего по действительной оси и криволинейного отрезка,находящегося на цилиндрической аппликате радиуса0 и имеющего начало в76π6=ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯточке ρ ,которая имеет угол равный нулю, и точки reiδ ,которая находится навысоте r и закручена по этой цилиндрической аппликате на угол δ . Этоткомплекс повернут как одно целое на угол ϕ .Каждая точка z на плоскости Z в пространстве Υ представима какокружность радиуса 0 на расстоянии ρ от начала координат.

На этой εокружности точка фиксируется дополнительно углом ϕ . В координатах x, iy,jσ точка имеет свое отображение. Точка 2 (Рис. 24) имеет свой аналог точку 2’.Поэтому путь интегрирования в пространстве непрерывен 1—2’—3—4—5.jσ534(6)(Z)02'12ϕ=π/6Рис. 24. Независимость криволинейного интегралаот пути в пространстве.Вычисление криволинейного интеграла в пространствепроводить в два этапа :1) в плоскости Z, приняв σ = 0 ;2) в плоскости σ , приняв z = const .следует1.3.3.

Распространение интегральных теорем на многосвязные области.Если функция f (υ ) определена в области G пространства Υ и ееконструкция имеет особенность в этой области, то теорема о равенстве нулюкриволинейного интеграла по замкнутому контуру неверна. Так функция1в комплексной плоскости аналитична всюду в кольце 0 # z # 2 . Вυпространстве функция аналитична в сфере 0 # υ # 2f (υ ) =То есть в области сферы с удаленной из нее областью изолированной осирадиуса ε = 0 и изолированным направлением ± arctgi .В сферическихкоординатахξ = Re iϕ + jψ .77ГЛАВА 1.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯdξ, где интеграл будемξ1υСоставим логарифмическую функцию Lnυ = ∫брать по кривой C 3 .Имеем dξ = eiϕ + jψdR + ieiϕ + jψ Rdϕ + jeiϕ + jψ Rdψ , где R = ξ , тогдаe iϕ + jψ dR + ie iϕ + jψ Rdϕ + je iϕ + jψ Rdψинтеграл будет равен Lnυ = ∫=Reiϕ + jψγdR=∫+ i ∫ dϕ + j ∫ dψ = ln υ + i∆ C3 arg1 υ + j∆ C3 arg 2 υ , гдеC3 RC3C3∆ C3 arg 1 υ -- приращение аргумента ϕ вдоль кривой C3 ,.∆ C3 arg 2 υ --приращение аргумента ψ вдоль кривой C3 .Многозначный характер логарифмической функции в пространствеопределяется двумя аргументами. ИтакLnυ = ln υ + i∆ C3 ϕ + j∆ C3ψ .

Для замкнутой кривой C3Lnυ = ln υ + 4πi + 2πj .Обобщением предыдущего интеграла служит J n =∫ (υ − a )ndυ , гдеCρCρ -пространственная кривая типа C 3 около точки a, так что (υ − a ) = ρ ,ρ $ 0 . Уравнение кривой C ρ запишется в виде υ − a = ρe iϕ + jψ , так чтоизолированная ось перенесена в точку a. Тогдаdυ = iρe iϕ + jψ dϕ + jρe iϕ + jψ dψ . При n=-1 интеграл равенJ=∫Cρ4π2π1 −iϕ − jψ iϕ + jψρee(idϕ + jdψ ) = ∫ idϕ + ∫ jdψ = 4πi + 2πjρ00Приn ≠ −1 получаем J =∫ρie i ( n +1)ϕ + j ( n +1)ψ dϕ + ρ n +1 je i ( n +1)ϕ + j ( n +1)ψ dψ .n +1ВCρинтеграле можно произвести отделение комплексных частей, однако ненарушая общего подхода в изложении, будем рассматривать мнимые числа i, jкак обыкновенные постоянные.

В этом случае к интегралу можно применитьформулу Грина.()J = ∫∫ ρ n +1 ( n + 1)ijei ( n +1)ϕ + j ( n +1)ψ − ρ n +1 (n + 1)ijei ( n +1)ϕ + j ( n +1)ψ dϕdψ = 0s1.3.4. Интегральная формула Коши.Выведем аналог интегральной теоремы Коши в пространстве Υ .Теорема. Пусть функция f (υ ) дифференцируема в односвязной областиG пространства Υ и пусть кривая C 3 замкнута, лежит в G и ориентированапротив часовой стрелки. Тогда для любой точки υ , лежащей внутриповерхности S, натянутой без точек самопересечения на кривую C 3 ,справедлива формула78ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ1f (ξ )dξ∫4πi + 2πj γ ≅C3 ξ − υf (ξ )Доказательство. Функциядифференцируема по ξ в области G сξ −υf (υ ) =выколотой точкой υ .Область G в пространстве Υ это область ограниченная поверхностью S,натянутой на кривуюγ без точек самопересечения.

В любом пространстве кривая должнапроходить через ε туннель, так как в противном случае она при стягивании в δсферу выродится в точку не содержащую область G пространства. Через точкуυ проведем ε туннель и окружим ее кривой γ ρ типа кривой C3 , так чтобы онацеликом лежала в области G вместе с поверхностью S ρ , натянутой на этукривую. В этом случае изолированная ось будет проходить через точку υ иδ сферу, радиус которой ≥0 .То есть зададим ξ − υ = ρ ≥ 0 и границуγ ρ .Тогда согласно интегральным теоремам будем иметьJ==1f (ξ )dξ1f (ξ )dξ==∫∫4πi + 2πj C3 ξ − υ4πi + 2πj γ ρ ξ − υ1f (ξ ) − f (υ ) + f (υ )dξ =∫ξ −υ4πi + 2πi γ ρ= J1 +J1 =f (υ )dξ= J 1 + f (υ ).

Где остается доказать, что∫4πi + 2πj γ ρ ξ − υ1f (ξ ) − f (υ )dξ = 0 .∫4πi + 2πj γ ρ ξ − υДлядоказательствавоспользуемся оценкой модуля этого интеграла.Функция f (ξ ) непрерывна в точке υ , поэтому найдется соотношениеf (ξ ) − f (υ ) < ε , при ξ − υ < δ ,где δ = δ (ε ) > 0 , а ε > 0 , в томчисле и по изолированному направлениюf (ξ ) − f (υ ) < ε (1 ± ji ) ,при ξ − υ < δ (1 ± ji ) ,где δ = δ (ξ ) >0,аε > 0 .Следовательноf (ξ ) − f (υ )11 εJ1 ≤dξ <∫∫ dξ .ξ −υ2 3π γ ρ2 3π ρ γ ρИнтеграл ∫ dξ = 2 3πρ ,адляизолированногонаправленияγρ∫dξ = 2 3πρ (1 ± ji ) , ноγρ79ГЛАВА 1.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯВ этом случае ξ − υ < ρ (1 ± ji ) . Вследствие этого во всех возможныхвариантах интеграл имеет одну оценкуJ 1 < ε .Поэтому при стремленииε → 0 и в том случае когда ε → 0 , как коэффициент при делителях нуля,интеграл равен нулю. Формула доказана.Если область G заключена между двумя поверхностями S , S1 ,натянутыми на эквидистантныеПространственные кривые γ , γ 1 , то для точек этой области справедливаформула1f (ξ )1f (ξ )dξ −dξ∫∫4πi + 2πj γ ξ − υ4πi + 2πj γ 1 ξ − υИнтегрирование по кривым γ , γ 1 идет в противоположных направлениях.f (υ ) =Если точка υ лежит вне замкнутой поверхности S, то подынтегральнаяфункция аналитична всюду и интеграл равен нулю.

Итак1f (ξ ) f (υ ),υ ∈ Gdξ = .∫υ∉4πi + 2πj γ ξ − υ0,G1.3.5. Интегральные теоремы КошиТеорема 1 Если функция f(ν) имеет производную в односвязной области Gкомплексного пространства (ν), то для всех кривых, лежащих в этой области иимеющих общие концы, интеграл ∫ f (v )dv имеет одно и то же значение.CДоказательство. Определение интеграла переносятся без изменений из zплоскости.Рассмотрим интегральную теорему 1 в пространстве по кривой С3 и еемодификациям, как главной пространственной кривой, которая лежит водносвязной области G пространства (ν), так как поверхность сферы иповерхность выколотой оси принадлежат одной области G с однимпространственным измерением.Рассмотрим комплексное пространство в цилиндрических координатахv = ρe iφ + jreiψ .Дифференциал элемента ν равенiφiψiφdv = e dρ + je dr + ie ρdφ + jireiψ dψ .Функция f(ν) распадается на сумму двух комплексных частейiφiψiφiψ(f (v ) = W ρe , re)+ jR(ρeСоставим интеграл l =∫ f (v )dv ., re).CРазобьем его на два комплексных интегралаl = l1 + jl2гдеl1 = ∫ Weiφ dρ − iWρeiφ dφ − R ⋅ eiψ dr − iRreiψ dψ ;(1.44.)C80ГЛАВА 1.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯl2 = ∫ Weiψ dr + ieiψ Wrdψ − R ⋅ eiφ dρ − iRρeiφ dφ .(1.45.)CВ интегралах l1 и l2 сделаем переход по формуле Стокса к поверхностныминтегралам. Условий, которые ограничивали бы применение формулы Стокса ксоставленному интегралу, в пространстве нет. Четырехмерное пространствоимеет шесть проекционных площадок, которые до настоящего времени неудалось установить.

В комплексном пространстве эти площадки удалосьвыявить.Итак, имеем: ∂∂l1 = ∫∫  We iφ −iWρe iφ∂φ∂ρσdρdφ +∂∂+  We iφ −R ⋅ e iψ dρdr +∂ρ ∂r∂ ∂+ We iφ −iR ⋅ e iψ r dψdρ +∂ρ ∂ψ∂∂+  iWρe iφ −R ⋅ e iψ drdφ +∂φ ∂r∂ ∂+ iWρe iφ −R ⋅ e iψ r dψdφ +∂φ ∂ψ∂ ∂+  −R ⋅ e iψ + iR ⋅ e iψ r drdψ ;∂r ∂ψ ∂∂l 2 = ∫∫ We iψ − Wr drdψ +∂ψ∂r σ(1.46.)∂ ∂+  We iφ − R ⋅ e iφ dρdr +∂r ∂ρ ∂∂+  We iψ − iρe iφ R dφdr +∂r ∂φ ∂∂ iφ +  ie iψ rW −e R dρdψ +ρψ∂∂ ∂∂+  Wie iψ r −iρe iφ R dψdφ +∂ψ ∂φ ∂∂ iφ + R ⋅ e iφ r −ie ρR dφdρ .∂ρ ∂φ(1.47.)В подынтегральных выражениях (1.44.), (1.45.) содержатся необходимыеусловия дифференцирования функции в формах (1.28.), (1.29.).

Таким образом,81ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯесли входящая под знак интеграла функция имеет производную в каждой точкеповерхности σ четырехмерного пространства (ν), то оба интеграла равны нулю.Рассмотрим вариант цилиндрических координат в трехмерном пространстве.Еслиiφiφv = ρe+ jre ,тоf (v ) = W ( ρeiφ , re iφ ) + jR( ρeiφ , re iφ ).Составим интеграл l = ∫ f (v )dv и рассмотрим его реализацию на различныхCiкривых Сi в пространстве.А. На кривых C0, C1, C2 (рис.

19) контур лежит в плоскости, параллельной zплоскости, поэтому у негоr = const;φ = var; ρ = var .Определим дифференциалiφiφdv = iρe dφ + e dρ + jireiφ dφ .Составим интеграл •l=∫ (W +jR )(iρe iφ dφ + eiφ dρ + jireiφ dφ ) = l1 + jl2 =C0= ∫ Wiρeiφ dφ + Weiφ dρ − Rireiφ dφ +C0+ j ∫ Riρeiφ dφ + R ⋅ eiφ dρ + iWreiφ dφ .C0Последовательно рассматриваем оба интеграла l1, l2:l1 = ∫ Wiρeiφ dφ + Weiφ dρ − Rireiφ dφ =C0 ∂Weiφ∂iφiφ )(−Wρe i − Riredφdρ = ∂φρ∂σ∂W iφ∂R iφ ∂W iφ= ∫∫ e + ie iφ W −ie ρ − We iφ i +ireφρρ∂∂∂σ= ∫∫ ∂W iφ ∂W∂R iφ= ∫∫ ρie iφ +e −ireρρρ∂∂∂σl2 =∫ (RiρeC0iφ)dρdφ =dφdρ ;− iWreiφ dφ + R ⋅ e iφ dρ =∂R ∂R∂W iφ= ∫∫  e iφ + ie iφ R −iρe iφ − R ⋅ e iφ i − ire∂φρρ∂∂σ ∂R ∂R∂W iφ= ∫∫  e iφ +iρe iφ − ireφρρ∂∂∂σdρdφ =dρdφ .82ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯКриволинейный интеграл сведен к поверхностному по области σ.Если подынтегральные функции∂W∂W ∂R− ρi+ir;∂φ∂ρ ∂ρ∂R∂R∂W− ρi+ irP2 =;∂φ∂ρ∂ρP1 =(1.48.)(1.49.)оказываются равными нулю, то контур С0 можно последовательно стянуть вконтур С, охватывающий цилиндрическую ось.Для аналитических функций в пространстве операторы (1.46.), (1.47.) равнынулю, так как они легко получаются из условий (1.27.), необходимых длядифференцирования функций.В.

Рассмотрим интеграл по контуру C5, лежащему на цилиндрическойповерхности ρ = const (рис. 20).iφiφiφИмеем дифференциал dv = ρie dφ + jire dφ + jdre . Составим интеграли по формуле Грина перейдем к поверхностному интегралу.Имеемl=∫ f (v )dv = ∫ (W +C5jR )( ρieiφ dφ + jireiφ dφ + jdreiφ ) = l1 + jl2 =C5= ∫ Wρieiφ dφ + jreiφ Rdφ − eiφ Rdr +C5+ j ∫ ρieiφ Rdφ + irWeiφ dφ + Weiφ Rdr.C5ρ =constC5σ∗Рис. 25. Кривая C5 и поверхность σ, лежащие нацилиндрической поверхности.Рассмотрим последовательно каждый из полученных интегралов:l1 = ∫ ( ρieiφ W − ireiφ R )dφ − eiφ Rdr =C583ГЛАВА 1.